Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 704

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

209. Докажите, что если несократимая рациональная дробь

	m	является корнем многочлена	f (x) a xn a		xn 1 ... a x a
		является корнем многочлена	f (x) a xn a	n 1	xn 1 ... a x a
	q		n	n 1	1 0
	q
с целыми коэффициентами, то: 1)			a0 m ; 2) an	q ;	3) f (k) (m kq)
при любом целом k .

210.Пусть f (x) an xn an 1xn 1 ... a1x a0 - многочлен

сцелыми коэффициентами. Пусть существует простое число p

такое, что: 1)		p	не делит		an ;	2) p делит ai при всех
i 0,1,..., n 1;		3) p2 не делит a . Докажите, что тогда много-
					0
член f (x) неприводим над полем						рациональных чисел.
	211. Докажите,		что для любого простого числа p много-
член x p 1 x p 2 ... x 1				неприводим над полем .
	212. Используя признак Эйзенштейна, докажите неприво-
димость над полем			следующих многочленов:
1)	x4 8x3 12x2 6x 2 ;					2) x5 12x3 36x2 12 ;
3) 6x5 7x4 14x3 28x2 7x 35 ;						4) xn 5 .
	213. Установите, какие из следующих многочленов непри-
водимы над полем			рациональных чисел:
1) 2x5 6x4 9x2 12 ;				2) 3x4 4x3 8x 10 ;
3)	x2 3x 4 ;		4) x3 12 ;			5) x3 x 2 ;
6)	x3 3x 5 ;		7) x4 2x 3.
	214. Разложите многочлены на неприводимые над полем
	множители:
1)	x3 3x 2 ;				2) x3 x 1;
3)	x4 x3 6x2 3x 6 ;				4) x4 3x3 4x2 18x 18 ;
5)	x4 x3 11x2 5x 30 ;				6) x4 2x3 13x2 38x 24 ;
7)	x5 x4 6x3 14x2 11x 3;				8) x4 4x3 2x2 12x 9 .

215. Найдите все рациональные корни многочленов: 1) x3 6x2 15x 14 ; 2) x4 2x3 8x2 13x 24 ;

3) 3x5 2x4 2x3 7x2 7x 3; 4) x6 6x5 11x4 x3 18x2 20x 8 ; 5) 2x5 6x4 x3 12x2 15x 6 ; 6) 24x5 10x4 x3 19x2 5x 6 ; 7) 6x4 19x3 7x2 26x 12 ; 8) 8x5 2x4 26x3 11x2 11x 6 ;

9)10x4 13x3 15x2 18x 24 ; 10) 6x4 17x3 26x2 37x 30 .

216.Найдите каноническое разложение данных многочле-

нов над полем :

1)x3 32 x2 3x 2 ; 2) x5 233 x4 443 x3 433 x2 59x 30 .

217.Найдите все корни и их кратности для многочленов:

1)	4x6 24x5 29x4			37x3 34x2	39x 9		над полем		;
2)	x7 4x6	4x5	2x4 4x3 3x2		3x 4	над полем		5	;
								5
3)	x6 2x5	3x4	x3	4x 3 над полем		7	.
						7

218. Методом перебора найдите все корни данного многочлена и разложите его на неприводимые множители над данным полем P :

1)	x3 x 1,	P	2	;					2)		x5 x3 x2 1,			P		2	;
			2													2
3)	x3 2x2 4x 1,			P		5	;		4)		x4 x3 x 2 ,			P	3	;
						5									3
5)	x4 3x3 2x2 x 4 ,				P		5	;
							5
6)	x6 x5 2x4 3x3 2x2 2x 1,								P		5	;
											5
7)	x5 5x4 x3 6x2 6x 4 ,						P		7	;
									7
8)	x4 2x3 2x 6 ,		P		7	.
					7
	219. С помощью критерия Батлера определите, приводимы
или нет над полем P данные многочлены. В случае приводи-
мости разложите их на неприводимые над P множители:
1)	f (x) x2	1,	g(x) x3				x 1 ,				P GF (2) ;
2)	f (x) x3	x2 1,			g(x) x4				x3		x 2 ,		P GF (3) .

220. Определите, приводимы или нет над полем GF (3)

данные многочлены. В случае приводимости разложите их на неприводимые множители:

1) x5 x2 2x 1;

2) x4 x3 x 1;

3) x5 x 1;

4) x5 x2 1;

5) x5 x3 1 .

221. В поле

3[x]

найдите сумму,

произведение и об-

ратные

элементы

для

классов

[a(x)] f

[b(x)] f ,

если

a( x) x2 2x 1 ,

b( x) x2 1 ,

f ( x) x3 2x2 1 .

222. В поле

[x]

, где f (x) x

, выполните де-

x2 x

ление

x2 x 1

223. Укажите неприводимый многочлен над полем

3 , и с

его помощью постройте поле из девяти элементов. Составьте таблицы Кэли для операций сложения и умножения в этом поле. Для каждого ненулевого элемента укажите обратный.

224. Постройте таблицы сложения и умножения для коль-

ца	2[x]	f , где	f (x) x	3	x	2	x . Определите, будет ли это

кольцо полем. Найдите число его элементов, укажите все обратимые элементы и найдите обратные к ним.

225. Укажите, сколько элементов содержится в кольце

GF (3)[x]	. Обратим ли в этом кольце элемент			[2x 1] ?
(x2 1)	. Обратим ли в этом кольце элемент			[2x 1] ?
226. Покажите, что кольцо		GF (2)[x]	, где f (x) x4	x3 x 1,
		f

не является полем. Найдите число его элементов, укажите все обратимые элементы и найдите обратные к ним.

227. Покажите, что GF (7)[x](x2 x 1) является полем.

Найдите элемент, обратный к [1 x] .

228.Выясните, существует ли поле, количество элементов

вкотором равно указанному числу:

1) 5;	2) 6;	3) 32;	4) 36;	5) 125;	6) 144;		7) 243.
229. Для каждой степени n 4 постройте все неприводи-
мые многочлены степени n над полем						2 .
230. Для каждой степени n 3 найдите число неприводи-
мых унитарных многочленов степени						n над полем		3 . По-
стройте все такие многочлены.
231. Существует ли простое число						p такое, что многочле-
ны x5 2x 1 и x8			8x2 1 совпадают как функции на					p	?

232. Постройте многочлен f					[x] наименьшей степени

по данной таблице его значений, используя интерполяционную формулу Лагранжа:

1)	x	1	0		1		2		3		; 2)			x		1				2				3			4	6			; 3)	x	1	0		1		2		.
	x	1	0		1		2		3					x		1				2				3			4	6				x	1	0		1		2
																																	1
	f (x)	6		5		0		3		2				f (x)			5				6				1	4			10			f (x)	1		3		3		5
	233. Постройте многочлен																					f				[x]					наименьшей степени
по данной таблице его значений:
																						1				i	.
														x	1				i			1

													f (x)		1			2					3			4
	234. Постройте многочлен																					f				5[x]					наименьшей степени
такой, что				f (0) f							(1) f (4) 1 ,														f	(2)				f (3) 3 .
	235. Постройте многочлен																				f					11[x]					наименьшей степени
такой, что				f (0) 3 ,								f (1) 2 ,										f (2) 1,									f (3) 2 .

ГРУППА ПОДСТАНОВОК

236. Составьте таблицу умножения для симметрической группы S3 . Каждый элемент этой группы разложите в произ-

ведение независимых циклов. Для каждого элемента группы найдите обратный.

237. Найдите произведение подстановок:

	1	2	3	4	5 1 2	3 4 5
1)						;
	3	4	1	5	2 5 3	1 2 4
	1	2	3 4 5 6 1			2 3 4 5 6
2)							.
	3	6	4 5 2 1 2			4 1 5 6 3
	238. Найдите подстановки, обратные к данным:
	1	2	3	4	5 6	1 2	3 4 5 6
1)					;	2)		.
	5	4	1	2	3 6	2 4	3 5 6 1

		239. Найдите				a 1 ,	b 1 ,		b 2a3 , a 3b2 ,					если:
			a		1 2 3			4		b	1 2			3 4
			a						,	b				.
					2 1 4			3			4 1			2 3
		240. Для данных подстановок a,b S5 найдите ab , ba ,
aba , a 1b ,				a3 , a 3b2 , b 124 :
			1 2 3 4					5			1 2			3 4 5
			a						,	b					.
				3 5 1 4				2			1 5			4 2 3
		241. Для данных подстановок a,b S										n	найдите a 1 ,		b 1 ,	ab :
												n
		1	2	3	...	n 1	n			1		2		3 ...	n 1	n
a								, b			n 2			n 3 ...		.
		2	3	4	...	n	1		n 1		n 2			n 3 ...	1	n
		242. Запишите данные подстановки в виде произведения
независимых циклов и транспозиций:
1)	1 2 3				4 5 6 7			;	2)	1 2 3				4 5 6 7		;
1)								;	2)							;
		3 1 6			7 5 2 4					4 3 6				7 1 5 2
	1 2 3 4 5 6 7							8		1 2 3				4 5 6 7 8
3)									; 4)							.
	1 7 4 5 3 6 8							2		4 6 8				7 2 5 1 3

243.Запишите в каноническом виде данные подстановки:

1)(1, 3, 6)(2, 4, 7) ; 2) (1, 4, 7)(2, 3, 5, 6) ;

3)(1, 6, 5, 4, 2, 3, 7) ; 4) (1, 3, 5, ... , 2n 1)(2, 4, 6, ... , 2 n) .

244.Найдите произведение подстановок, записанных в виде произведения независимых циклов:

1) (1, 3, 5)(2, 4, 6, 7) (1, 4, 7)(2, 3, 5, 6) ;

2)(1, 3)(5, 7)(2, 4, 6) (1, 3, 5)(2, 4)(6, 7) .

245.Найдите подстановку x S7 из уравнения:

1)	ax b ,			2) axb c ,				3) bxa c ,			4)	a2 x 1b c ,			где
	1		2 3		4	5 6		7		1	2	3	4	5	6	7
a									,	b							,
		3	1 2		7	4 5		6		7	3	2	1	6	5	4
	1		2	3	4	5	6	7
c		5	1	3	6	4	7	2	.
		5	1	3	6	4	7	2
	246. Найдите подстановку x S7										из уравнения:
1)	(1, 7, 3, 5) x (2, 6)(3, 5, 7) ;

2)(1, 3, 5)(2, 6) x (2, 3, 6, 7, 5) (1, 2) .

247.Определите четность данных подстановок тремя способами: а) по определению, б) по декременту, в) при помощи транспозиций.


1) 1	2	3	4	5	6	7	8	; 2)		1	2	3	4	5	6	7	8	;
3	7	8	4	5	6	2	1			1	6	2	8	7	3	5	4
3) 1	2	3	4	5	6	7	8		; 4)	2	1	3	4	5	9	8	6	7	.
8	7	6	4	5	3	2	1			1	2	4	5	3	8	9	7	6

248. Выполните умножение подстановок, ответ запишите в виде произведения независимых циклов.

					...		n	1		2 , ... , n )					...		n
1)		1		2			n		( 1,	2 , ... , n )		1		2			n	;
		1	2		...	n						1	2		...	n
	1		2		3 ...				n 1	(2, 3, 4)	1	2		3	...		n
2)			2		3 ...					(2, 3, 4)		2	3					.
	1		2		3 ...				n		1	2	3		...	n

249. Найдите четность и декремент подстановки x S5 , если известно, что x 1 a 1b3c 2ba , где a (1, 5)(2, 4) ,

b 1 (1, 4)(2, 3, 5) , c (1, 3, 5) .

250. Для данных подстановок a,b,c, d, f S8 найдите a3 ,

b2a , cdf , c4d 2 , fdc , где a (1, 2, 3)(4, 5, 6,8) ,

b (3, 4)(5, 2, 6,1,8) ,

c (1,5, 7, 2,3, 6)(4,8) , d (1, 4,3,8,5) , f (8, 7, 4,3,1, 2)(5, 6) .

251.Как меняется четность подстановки при умножении

еена транспозицию?

252.Докажите, что четные подстановки образуют под-

группу An					группы Sn . Чему равен порядок этой группы? Вы-
пишите все элементы группы A4 .
						ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП
	253.			Докажите,				что		множество								1	2	3
	253.			Докажите,				что		множество						подстановок				,
																		1	2	3
1	2	3			1		2	3
					,			образует группу относительно опера-
2	3	1			3		1	2
ции умножения.
	254. Докажите, что множество, состоящее из комплексных

чисел				1,				1	i		3	,			1	i	3	, образует группу
чисел			0	1,		1		2	i	2		,	2			i		, образует группу
			0			1							2	2		2
														2		2

относительно операции умножения.

255.Докажите, что группы, рассмотренные в задачах 253 и 254, изоморфны.

256.(Четверная группа Клейна) Докажите, что множество

подстановок K4 e,	(1, 2)(3, 4), (1,3)(2, 4),	(1, 4)(2,3)		с опера-
цией умножения является группой.
257. Пусть G -	множество матриц	вида	a	0	, где
257. Пусть G -	множество матриц	вида			, где
			0	b

a, b { 1; 1} . Докажите, что множество G относительно операции умножения образует группу.

258.Докажите, что группы, рассмотренные в задачах 256 и 257, изоморфны.

259.Докажите, что группы G1 и G2 изоморфны, если:

– множество матриц вида

, где

, с опера-

цией умножения; G2 ( , ) ;

– множество матриц вида

, где

a 0 , с

операцией умножения;

G2 (

\ {0}, ) ;

– множество матриц вида

a 0 , с

, где a, b

операцией сложения;

G2 – множество матриц вида

где x, y

, x 0 , с операцией сложения;

a2 b2

0 ,

– множество матриц вида

, где a, b ,

с операцией умножения; G2 – множество чисел вида a b3 ,

где a, b , a2 b2 0 , с операцией умножения. 260. Найдите порядок данной подстановки:

1)	1 2 3 4 5						6		;			2)		1			2 3	4 5 6	;
1)									;			2)							;
		2 3 1 5 4					6							2			3 4	5 1 6
	1 2 3 4 5						6		7 8					1			2 3 4 5 6 7 8
3)											;	4)									.
		8 6 1 3 2					5		7 4					3			4 1 5 8 7 6 2
		261. Для данной подстановки a вычислите an :
		1 2 3 4 5					6						a		1		2 3	4 5 6		100 ;
1)	a							, n 72 ;				2)	a					, n		100 ;
		4 5 2 1 3					6									5	6 2	1 4 3
		1		2	3	4	5		6	7		8	9				95 ;
3)	a		7	9	6	8	2		3	4		1	5	,	n		95 ;
			7	9	6	8	2		3	4		1	5

4)	1		2	3	4	5	6	7	,	n 102 ;
	a	2	4	7	5	6	1	3

5)	1		2	3	4	5	6	7	,	n 137 ;
	a	4	7	1	3	5	2	6

6)	1		2	3	4	5	6	7	8	9	, n	51 ;
	a	7	3	1	8	6	9	4	5	2

7)	1		2	3	4	5	6	7	8	9	, n	352 .
	a	9	5	4	3	1	7	6	8	2

	262. Пусть				1 2 3			4 5 6 7 8				b	1 2 3
	262. Пусть				a						,	b
						2 3 4		8 1 5 7 6					8 7 5
Вычислите				a100 , b100 , (ab)100 .
	263. Найдите порядки элементов:
	1 2		0		1		1 1
1)		,				,		в группе GL2 (					3 ) ;
	0 1		2		0		1 2
2)	1	1 ,	1		2	в группе GL (				5	) ;
									2	5
	0	1		0	1
3)	1 1		,	i	0		1	0		2 1		в группе
3)			,				,	,				в группе
	0	1		0	i		0	1		1 1

4	5	6	7	8	.
3	2	1	4	6

GL2 ( ) ;

4)3 i , 1 i в группе * . 2 2 2

264.Существует ли в группе S6 элемент порядка 8?

265.Выясните, какие порядки имеют элементы группы S4 , и сколько в S4 имеется элементов заданного порядка.

266.В группе GL2 ( ) укажите два элемента конечного порядка и два элемента бесконечного порядка.

267.	Найдите порядок каждого элемента в группах *8 ,
12 , 7 .
268.	Найдите наибольший из порядков элементов группы

Sn для каждого n 10 .

269.Укажите элементы второго порядка в группе: 1) S4 ;

2)A4 ; 3) 8 - комплексных корней восьмой степени из 1;

4) GL2 ( ) - невырожденных матриц второго порядка с комплексными элементами.

270. Докажите, что множество матриц вида	0	0	, где
270. Докажите, что множество матриц вида			, где
	x	y

x, y , относительно операции сложения является группой.

Укажите несколько ее подгрупп. Среди найденных подгрупп отметьте циклические и укажите их порождающие элементы.

	271. Докажите,						что в группе GL2 (						)	множество		H всех
				a		b	, где a, b				, a 0 , является подгруппой.
матриц вида							, где a, b				, a 0 , является подгруппой.
				0		1
	272. Выясните, какие из следующих множеств образуют
подгруппу в группе S4 :
1)	1 2 3 4				, 1		2	3	4	,	1	2	3	4	, 1 2	3 4		;
	1 2 3 4					4	3	1	2		2	1	4	3	3 4	2 1
2)	1 2 3 4				, 1		2	3 4		, 1 2			3 4		, 1 2	3 4	;
	1 2 3 4					2	1	4 3			2 1		3 4		1 2	4 3
3)	1	2	3	4	, 1		2	3	4	,	1	2	3	4	, 1 2	3 4		;
	1	2	3	4		4	3	1	2		2	1	4	3	4 3	2 1
4)	1	2	3	4	, 1		2	3	4	.
	1	2	3	4		2	1	3 4

273. Найдите в аддитивной группе вычетов по модулю 12 наименьшую по порядку подгруппу, содержащую:

а) 2; б) 3; в) 4; г) 1; д) 5; е) 7; ж) 8.

274.Для группы S3 постройте подгруппу H , порожденную подстановкой a (1, 3) .

275.Докажите, что в группе S3 множество {e, (1, 2)} - ко-

нечная циклическая подгруппа и ее образующий элемент ра-

вен (1, 2) .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022346.35 Кб3Методическое пособие 70.pdf
#
30.04.20224.89 Mб13Методическое пособие 700.pdf
#
30.04.20224.94 Mб2Методическое пособие 701.pdf
#
30.04.20224.98 Mб8Методическое пособие 702.pdf
#
30.04.20224.98 Mб3Методическое пособие 703.pdf
#
30.04.20225 Mб4Методическое пособие 704.pdf
#
30.04.20225.06 Mб5Методическое пособие 705.pdf
#
30.04.20225.09 Mб4Методическое пособие 706.pdf
#
30.04.20225.18 Mб3Методическое пособие 707.pdf
#
30.04.20225.18 Mб4Методическое пособие 708.pdf
#
30.04.20225.27 Mб4Методическое пособие 709.pdf