Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 704

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

319. ( 1, 0, 1) .																																0 ;						0,
319. ( 1, 0, 1) .													321. Да.													322. 1)						0 ;			2)			0,								2 .
323.	x 2e 2e								e			,		y 3e				e	2	3e			3	.
		1					2				3						1		2				3
										2		2			3											1		4			3
324.	1)		T							1			1		0	,		T 1								1		5			3		,	x			4		e			2	e			3e			,
324.	1)		T							1			1		0	,		T 1								1		5			3		,	x					e				e		2	3e		3	,
			B B															B B																		3				1		3			2			3
									1			2												1					6			4				3						3
									1			2			1									1					6			4
x			31	e		11e							44	e ;
x				e		11e								e ;
		3			1				2			3		3
		3										3
						1 0						0 1											0					1 1						1

2) T							1 1					0 1			,		T 1					1						1				0 0 .
	B B						0 1					1 1						B B							0			0				0		1

							0 0					1 0													1			1 1					1
							2				1				1
325.	1)	T						0				1		2 ,				x 5e				4e				6e				,	x		7	e	8e					6e ,						y L ;
325.	1)	T						0				1		2 ,				x 5e				4e			2	6e			3	,	x			e	8e					6e ,						y L ;
			B B																	1					2				3				2	1				2				3
								0				0																					2
								0				0			1
2)	T					1			1			, x 2e					2	, x e					e				,	y 2e ,						y e				e .
	B B																2					1				2						1				1					2
						1				1
	2				0,5		1						0		1			3						1					2			3			0							4, 5
		1			1,5		0							0	0			2		;	3)			0			,		1		,		2			0				;	4)			6, 5
326. 1)		1			1,5		0	;			2)			0	0			2		;	3)			0			,		1		,		2	,		0				;	4)			6, 5			.
		0			0,5		0							1	2			5						0					0				5			1								1, 5
		0			0,5		0							1	2			5						0					0				5			1								1, 5

327. 1) Поменяются местами две строки; 2) поменяются местами два столбца; 3) произойдет симметричное отражение матрицы относительно ее

центра.
329. 1) Да; 2) нет.	330. Нет.	331. 1) Да; 2) нет.

332.1) dim A 2 ; a1,a2 ; 2) dim A 3 ; a1 ,a2 ,a4 ; 3) dim A 3 ; a1 ,a2 ,a5 .

333.dim A 3 ; базис f1, f2 , f3 .

334.	2)	dim A dim B 3 ,		dim(A B) 4 ,		dim A	B 2 ;	базисы:
A a1, a2 , a3 ;			B b1,b2 ,b3 ;	( A B) a1, a2 , a3 ,b2 ;
A B : e1 2a1 a2 a3 , e2 5a1 a2 2a3 .
3) базис (A B) : a1, a2 , a3 ,b1 : базис A					B : (1,1,1,1,1) ,		(0, 2,3,1, 1) .
335.	dim A dim B 2 , dim(A B) 3,				dim A	B 1; базисы:		A a1, a2 ;
B b1,b2 ; (A B) a1, a2 ,b1 ;				A B -	a1 или	b2 ; x A B .
338.	(0,0),	(0,1),	(1,0), (1,1). Имеется		шесть	базисов:	1) (0,1), (1,0);

2) (1,0), (0,1); 3) (0,1), (1,1); 4) (1,1), (0,1); 5) (1,0), (1,1); 6) (1,1), (1,0).

191

344. Линейные 1, 3;											нелинейные 2, 4.
346.	(2x1 2x2						6x3 , 3x1 2x3 , 4x2												2x3 ) .
				22				13			37				15				23		7										2		3			2
347.	1)			39			16				25		;	2)		2			8		4		;	3) C		O ;				4)		1	0			4
347.	1)			39			16				25		;	2)		2			8		4		;	3) C		O ;				4)		1	0			4	.
				1					0		6					7			1 7													3	0 2
				1					0		6					7			1 7													3	0 2
348.	1)		A 1		A ;				2)		A 1	не существует, т.к.											\| A \| 0 ;
3) A 1x ( x 2x x , x 3x 2x , 2x 3x 2x ) ; 4) A 1																																			1	A .
3) A 1x ( x 2x x , x 3x 2x , 2x 3x 2x ) ; 4) A 1																																				A .
								1			2	3		1		2				3		1			2		3							9
																																		9
	1			0 0										2 0						1 0										1			2			2
							.								1	4			8		7						351.						1			2 .
349.		0		2	0		.				350.				1	4			8		7			.			351.				3		1			2 .

		0		0 3											1		4			6		4									2		3
		0		0 3											1		3			4		7									2		3			1
															1		3			4		7
				0	1			0				0		1	1
352.	1)			0	0			2			2)		0	0		2
352.	1)			0	0			2	;		2)		0	0		2	.
				0	0			0					0	0		0
				0	0			0					0	0		0
				60	12							0		0					25			10						1		6			0
353.	1)									;	2)				;		3)								;	4)								.
353.	1)									;	2)				;		3)								;	4)								.
				48			12						0	0						40		15						4		5			6
354.	1) Да;				2) нет;					3) нет; 4) да.
355.	1)			Да;		1 2 , ( 3								4,1) ;				2		5 ,			(1,1) ;			2) да;						1,2		9 ,			ФСР:
(1 2,1, 0)						, (1, 0,1) ;						3		9 , (1,1 2,1) ;								3) нет,				т.к. для 1,2								3 имеется
лишь один собственный вектор (1, 3, 2) ;																								3 2 ,				(0,1, 1) .
356.	1) Да; 1 2 ,									(0,1, 0) ;				2	3 ,			(1,1, 2) ;				3 3 , (1,-1/5,-4);
2)		да; 1 1 ,							(1,1,1) ;				2,3		2 ,			ФСР: (1, 0, 3) ,								(0,1, 3) ;						3)		нет,			т.к. для
1,2			1 имеется лишь один собственный вектор (1,1, 0) ;																												3 2 ;
4)			1 i ,					2		i ;				над					неприводима,										над					приводима,
X1 (1,i 2) ,										X2 (1, 2 i) ;							5) да, т.к.							1,2 1 соответствуют два ли-
нейно независимых собственных вектора (0,1,0) и (1,0,2),																																	3	1;
6) неприводима, т.к. для 1,2																1 имеется лишь один собств. вектор;
7) да;				1	1 , (0,1,0);							2		2 , (2,-1,3);							3		1, (2,-1,0);
8) да,				1,2,3			2 , (1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1);																		4	2 , (1,-1,-1,-1).
357.			5 ,		X		1	(1, 2) ;						1		, X		2	(1, 1)					;	1		1 .
		1					1						2					2
																									2	1

192

358.	1) Нет; 2) да;										3) да.												359. Да.
360.	Прямая с базисным вектором																					a1 (2, 2, 1) ;										любая прямая плоскости
L	с	базисными										векторами							a2 (1,1, 0) ,										a3 (1, 0, 1) ,										т.е. плоскости
x1 x2 x3					0 ;			сама эта плоскость														L ; любая плоскость, проходящая через
вектор a1 ; все пространство; нулевое подпространство.
362.	Да, если 1							2 .
		3			0			0							2 0				0				1				0		0		0
		3			0			0							2 0				0					0			1		1		0
368.	1)		0		1			1			; 2)					0	1		0	; 3)				0			1		1		0	.
																							0				0		1		1
			0		0											0 0
			0		0		1									0 0			1					0			0		0		1
																								0			0		0		1
																																										3) 450 .
372.	1) Да;				2) нет;						3) да.						373. 1) 18;								2) \|\| x \|\| 3								2 , \|\| y \|\| 6 ;									3) 450 .
																		arccos								3									f (x) c								c x c x2			,
375.		f			11 ,						g					5 ,										3			.	Пусть


																										55															0	1			2
g(x) d					d x d								x2													55
g(x) d				0	d x d							2	x2		, тогда ( f , g) 3c d											0	2c d				2c d				2	2c d				2	2c d			0	.
				0		1						2												0		0			1	1		2			2			0		2		2		0
378.	Да, если 0											;	нет, если 0 .																	379.				1			(2, 3, 9,1) .


																																		95
																																		95
380.	1) f		g ,				f						1	( 2, 2, 1) ,						f			(6, 3, 6) ;
380.	1) f		g ,				f		2					( 2, 2, 1) ,						f	3		(6, 3, 6) ;
		1			1				2				3								3
													3
2)		f1 g1 ,				f2 (2,3, 3, 2) ,													f3 (2, 1, 1, 2) ;
3)		f1 g1 ,				f2 (2,5,1,3) ;
4)		f1 g1 ,				f2 (3, 2, 3, 1) ,													f3 (1,5,1,10) .
381.	1) Базис: a ,a										,a			;	f		1		a ,	f				1				(3, 2, 3, 1) ,							f			1					(1,5,1,10) .
381.	1) Базис: a ,a										,a			;	f				a ,	f								(3, 2, 3, 1) ,							f								(1,5,1,10) .
						1				3			4		1		15		1		2				23											3		127

382.Можно добавить векторы:

1)(2, 2,1, 0) , ( 5, 2, 6,1) ; 2) (1, 2,1, 0) , (25, 4, 17, 6) .

383. 1)		Базис: a ,a						,a		; f		1		(1, 0,1, 1, 2) ,				f			1				(2, 0, 2, 2, 3) ,
383. 1)		Базис: a ,a					2	,a	3	; f				(1, 0,1, 1, 2) ,				f	2						(2, 0, 2, 2, 3) ,
			1				2		3	1		7							2		21
												7									21
f				1	(1, 0, 0, 5, 4) ;						2)	f				1	(3,0, 1, 2,0) ,					f			(0,1, 0, 0, 0) .
	3												4										5
	3		42										4		14								5
			42												14
384. 1)		(1,2,-1,0),				(0,0,1,1).									385. (1, 2, 0,1) , (0,-1,-1,0).
386. 1)		Базис: (0,-1,1,0), (0,1,0,1);															y2 y3								0	;
386. 1)		Базис: (0,-1,1,0), (0,1,0,1);													система			y2		y4				0		;
																		y2		y4				0

193

2)	6 y1	9 y2 y3	0	;
2)		y2 y4 0		;
		y2 y4 0

3)		y1 y2	y3 y4 0		.
3)					.
	18 y1 y2		18 y3 11y4	0

387.	1) (1, 1, 1,5) , (3,0,-2,-1);																									2) (3,1, 1, 2) ,										(2,1, 1, 4) ;
3)			(0, 3					2,3 2, 0) , (7, 5 2, 5 2, 2) .

			1						3			3		5					2				1
389.					,					x ,						x									.
389.					,					x ,						x									.
			2					2				2			2								3
						3				6					36									37				15								2					2		2
390.	1)					3				6	;	3)					30								30			14				;		4)				2					3
390.	1)										;	3)					30								30			14				;		4)	2			2					3		.
				1					3								26								27				9							3					2		0
																	26								27				9							3					2		0
391. Ортогональный, не является самосопряженным.
392.	2)			De						0	1			;			3)				De* DeT									0					1	, т.е.						D* D ,							явный вид:
392.	2)			De						1		0		;			3)				De* DeT											1				, т.е.						D* D ,							явный вид:
										1		0																				1			0
D* f Df									f (x) ; 4) Указание: проверить равенство																																				D 1		D* .
																																													e					e
398.	A*f					1				1					A*			не является эрмитовым оператором.
398.	A*f								2 i			;			A*			не является эрмитовым оператором.
						i			2 i
399.	1) Да;							2) нет;					3) да;										4) нет;						5) да. Указание: проверить равенство
		T A .																																400. При								1 .
	A	T A .																																400. При								1 .
																																								k
401.	1) Да;						2) нет. Указание: проверить равенство A* A I .
406.	1) 4x2						4x2				2x2 , канон.базис:																		1				( 1,1, 0) ,				1					(1,1,1) ,					1		(1,1, 2) ;
406.	1) 4x2						4x2				2x2 , канон.базис:																						( 1,1, 0) ,									(1,1,1) ,							(1,1, 2) ;
						1				2			3																	2							3										6
																														2							3										6
2)			4x2			x2 2x2 ;								3)					x2			x2 10x2 ; 4)													3x2 6x2								9x2			;
				1				2				3							1						2				3							1						2			3
5)			5x2			6x2 9x2							;			6) 3x2									6x2 .
				1					2			3									1				2
407.	1) x 2 x 2 x 2												;		x			x								1	x				5		x ,		x			1	x					1	x	,		x			1	x ;
				1					2			3		1							1				2			2		6				3	2		2					2	6		3		3				3	3
2)			x 2			x 2 x 2 ;								x					1	x					x			,	x x						x			, x x								x .
2)			x 2			x 2 x 2 ;								x						x					x			,	x x						x			, x x								x .
			1					2			3			1					2				1		2				2					2		3					3				2		3
408.	1) Положительно определена; 2) отрицательно определена;																																																	3) общего
вида;						6) положительно определена;																										7) общего вида.
	1) 2 ;									2) \| \|																		0,8 0 ;									4) таких нет.
409.	1) 2 ;									2) \| \|							5 3 ;								3)			0,8 0 ;									4) таких нет.
410.	1) Таких нет;														2) 1 ;													3) \| \| 4 ;								4)		5 .
	СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
AT	- матрица, транспонированная к матрице A ;

194

[a]m

A - взаимная (присоединенная) матрица для матрицы A ; diag( 1, 2 ,..., n ) - диагональная матрица с элементами

1, 2 ,..., n на главной диагонали; rang A - ранг матрицы A ;

Mn (P) - множество всех квадратных матриц n -го порядка над полем P ;

GLn (P) - множество невырожденных матриц n -го порядка над

полем P ;

{1, 2, 3,...} - множество натуральных чисел;

0{0,1, 2,3,...} - множество целых неотрицательных чисел;

{0, 1, 2, 3,...} - множество целых чисел;

-множество рациональных чисел, т.е. чисел, представимых

в виде	a	, где a	, b	;
	b

-множество действительных чисел;

-множество комплексных чисел;

m - множество всех чисел вида mk , где m - фиксированное натуральное число, k - любое целое число;

ab - число a делится на число b ;

ba - число b делит число a ;

НОД (a, b) - наибольший общий делитель чисел a и b ; НОК (a, b) - наименьшее общее кратное целых чисел a и b ; rm (a) - остаток от деления числа a на число m ;

a b (mod m) - целые числа a и b сравнимы по модулю m , m , если rm (a) rm (b) , или (a b) m ;

m - кольцо классов вычетов по модулю m ; - кольцо вычетов по модулю m ;

или a - класс вычетов по модулю m , содержащий число a ;

195

K[x] - кольцо многочленов от переменного x с коэффициентами из кольца K ;

P[x](n) - множество всех многочленов степеней, не превосходящих n , над полем P ;

P[x] f - кольцо классов вычетов кольца многочленов P[x] над полем P по модулю фиксированного многочлена f (x) ;

[a(x)] f ( x) - класс вычетов кольца P[x] f , содержащий много-

член a(x) ;

Sn - симметрическая группа подстановок степени n ;

An - знакопеременная группа степени n (группа четных подстановок);

K * - множество всех обратимых элементов, принадлежащих множеству K ;

ord a - порядок элемента a данной группы G ;

H G - множество H является подгруппой группы G ;

H G - подгруппа H является нормальным делителем группы G ;

GF (q) - конечное поле, состоящее из q элементов (поле Галуа);

LP - линейное пространство над полем P ; dim L - размерность пространства L ;

a1, a2 ,..., an - линейная оболочка (т.е. множество всех линейных комбинаций) векторов a1, a2 ,..., an ;

L - ортогональное дополнение к подпространству L .

196

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данное пособие дополняет учебники [1] и [2], предназначенные для студентов вузов, обучающихся по укрупненной группе направлений подготовки и специальностей «Информационная безопасность», а также комплекс учебных пособий [3- 6], изданных ранее авторами в Воронежском государственном техническом университете. Надеемся, что настоящее пособие будет способствовать качественному усвоению теоретического материала и приобретению практических умений и навыков по всем темам курсов «Алгебра» и «Алгебра и геометрия».

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Глухов, М. М. Алгебра [Текст] : учебник. В 2 т. / М. М. Глухов, В. П. Елизаров, А. А. Нечаев. – 2-е изд., испр. и

доп. – СПб. : Лань, 2015. – 608 с. – ISBN 978-5-8114-1961-6.

2.Глухов, М. М. Алгебра и геометрия [Текст] : учеб. пособие / М. М. Глухов. – М. : Гелиос АРВ, 2012. – 392 с. –

ISBN 978-5-85438-203-8.

3.Майорова, С. П. Алгебра [Текст] : учеб. пособие.

В4 ч. Ч. 1. / С. П. Майорова, М. Г. Завгородний. – Воронеж :

ВГТУ, 2005. – 128 с.

4.Майорова, С. П. Алгебра [Текст] : учеб. пособие.

В4 ч. Ч. 2. / С. П. Майорова, М. Г. Завгородний. – Воронеж :

ВГТУ, 2007. – 130 с.

5.Майорова, С. П. Алгебра [Текст] : учеб. пособие.

В4 ч. Ч. 3. / С. П. Майорова, М. Г. Завгородний. – Воронеж : ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2008. – 102 с.

6.Майорова, С. П. Алгебра [Текст] : учеб. пособие.

В4 ч. Ч. 4. / С. П. Майорова, М. Г. Завгородний. – Воронеж : ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2009. – 145 с.

197

7. Проскуряков, И. В. Сборник задач по линейной алгебре [Текст] : учеб. пособие / И. В. Проскуряков. – 13-е изд.,

стер. – СПб. : Лань, 2010. – 480 с. – ISBN 978-5-8114-0707-1.

8. Сборник задач по алгебре : учебник для вузов [Текст] / В. А. Артамонов и др.; под ред. А. И. Кострикина. – 3-е изд., испр. и доп. – М. : Физматлит, 2001. – 464 с. – ISBN ISBN 5- 9221-0020-3.

9. Фаддев, Д. К. Задачи по высшей алгебре [Текст] : учеб. пособие / Д. К. Фаддев, И. С. Соминский. – 12-е изд.,

стер. – СПб. : Лань, 1998. – 288 с. – ISBN 5-8114-0113-2.

10. Бутузов, В. Ф. Линейная алгебра в вопросах и задачах [Текст] : учеб. пособие / В. Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, А. А. Шишкин; под ред. В. Ф. Бутузова. – 3-е изд. – СПб. :

Лань, 2008. – 256 с. – ISBN 978-5-8114-0846-7.

11. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчёты [Текст] : учеб. пособие / Л. А. Кузнецов. – 13-е изд., испр. – СПб. : Лань, 2015. – 240 с. – ISBN 978-5-8114-0574-9.

12. Рябушко, А. П. Индивидуальные задания по высшей математике [Текст] : учеб. пособие. В 4 ч. Ч. 1. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной / А. П. Рябушко и др. ; под общ. ред. А. П. Рябушко. – 6-е изд. – Минск :

Вышэйш. шк., 2011. – 304 с. – ISBN 978-985-06-1999-0; 978- 985-06-2000-1.

13. Баранова, Е. С. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты [Текст] : учеб. пособие / Е. С. Баранова, Н. В. Васильева, В. П. Федотов. – 2-е изд. – СПб.:

Питер, 2012. – 400 с. – ISBN 978-5-496-00012-3.

14. Ковалевская, М. Е. Семестровые задания по алгебре для студентов 2 курса математического факультета [Текст] : учеб.-метод. пособие / М. Е. Ковалевская. – Кемерово: ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет», 2006. – 32 с.

198

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение …………………………………………..……..... 3

Часть 1. Задания к практическим занятиям ……….… 5

Элементы комбинаторики ………………………….…	5
Определители ………………………………………….	6
Действия с матрицами …………………..…………….	12
Обратная матрица ………………………….………….	14
Ранг матрицы. Линейная зависимость векторов ….....	16
Системы линейных уравнений …………………….....	18
Системы линейных неравенств ……………………....	22
Основные алгебраические структуры: группы,
кольца, поля …………………………………..………..	23

Комплексные числа ……………………………………. 28 Кольцо целых чисел. Кольца классов вычетов ……..... 31 Кольцо многочленов …………………………………... 37 Группа подстановок ……………………………………. 45 Основы теории групп …………………………….…… 47 Кольца и идеалы. Поля ………………………………. 53 Линейные пространства …………………………….... 55 Линейные операторы ….………………………….….. 61 Евклидовы пространства …………………………….. 65 Квадратичные формы ………………………………… 72

Часть 2. Задания к типовым расчетам ………………... 74

Правила оформления типовых расчетов ………..……. 74 Векторная алгебра и аналитическая геометрия

(задачи 1-18) ……………………………………………. 75

Определители и матрицы (задачи 19-29) ………..…… 89 Системы линейных уравнений (задачи 30-33) ……..… 105 Системы линейных неравенств (задачи 34-35) …...…. 113

199

Основные алгебраические структуры (задачи 36-39)	115
Комплексные числа (задачи 40-43) …………….….….. 121
Теория делимости в кольце целых чисел
(задачи 44-54) ……………………………………….…. 124
Кольцо многочленов (задачи 55-61) …….………….… 131
Основы теории групп, колец (задачи 62-75) …………. 137
Линейные пространства (задачи 76-82) .......................	156
Линейные операторы (задачи 83-88) ...........................	166
Евклидовы пространства (задачи 89-91) ………….….	172
Квадратичные формы (задачи 92-93) …………………. 176
Ответы к заданиям части 1 ………………………….……. 178
Список использованных обозначений …………………... 195
Заключение ………………………………………………... 197
Библиографический список ………………………….…… 197

200

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022346.35 Кб3Методическое пособие 70.pdf
#
30.04.20224.89 Mб13Методическое пособие 700.pdf
#
30.04.20224.94 Mб2Методическое пособие 701.pdf
#
30.04.20224.98 Mб8Методическое пособие 702.pdf
#
30.04.20224.98 Mб3Методическое пособие 703.pdf
#
30.04.20225 Mб4Методическое пособие 704.pdf
#
30.04.20225.06 Mб5Методическое пособие 705.pdf
#
30.04.20225.09 Mб4Методическое пособие 706.pdf
#
30.04.20225.18 Mб3Методическое пособие 707.pdf
#
30.04.20225.18 Mб4Методическое пособие 708.pdf
#
30.04.20225.27 Mб4Методическое пособие 709.pdf