1.2.3. Транспонирование матриц

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки).

Пусть дана исходная матрица А

А = .

Тогда, согласно определению, транспонированная матрица А^Т имеет вид

А^Т = . (1.5)

Сокращенная форма записи операции транспонирования матрицы:

А= , А^Т = ; i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Отметим две закономерности операции транспонирования матриц.

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:

.

2. При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций, т.е. главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.

Важную роль в алгебре и ее приложениях играют симметрические матрицы – квадратные матрицы, у которых элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, т.е. . Транспониравание таких матриц не меняет их вида, так что равенство

также можно полагать определением симметрической матрицы.

Пример 1.3. Пусть даны матицы А и В

А = , В = .

Тогда соответствующие транспонированные матрицы имеют вид

А^Т = , В^Т= .

1.3. Умножение матриц

Произведением АВ двух квадратных матриц А и В одного порядка называется третья квадратная матрица С того же порядка, составленная по следующему правилу: элемент , стоящий в матрице С на пересечении k-й строки с l-м столбцом, есть сумма произведений элементов строки матрицы А на соответствующие элементы l-го столбца матрицы В:

. (1.6)

Определение произведения можно распространить на неквадратные матрицы, у которых число столбцов матрицы множимого А равно числу строк матрицы множителя . При соблюдении этого условия множимого А может иметь любое число (m) строк, а матрица В – любое число (n) столбцов. Матрица С = АВ будет иметь m строк и n столбцов, ее элементы вычисляются по формуле (1.6).

Пример 1.4. Найти произведения АВ и ВА матриц

А = , В =

Решение. По формуле (1.6) получаем элементы

матрицы АВ:

Итак,

АВ = .

По формуле (1.6) получаем элементы матрицы ВА:

Итак, ВА= .

Сравнивая матрицы АВ и ВА и пользуясь определением равенства матриц, заключаем, что .

Пример 1.5. Найти произведения АВ матриц

А = , В = .

Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы , поэтому можно умножать матрицу А на матрицу . По формуле (1.6) находим:

Следовательно: АВ = .

1.4. Свойства произведения матриц

Пусть А, В и С – матрицы соответствующих размеров (чтобы произведение матриц были определены), а - действительное число. Тогда имеют место следующие свойства произведения матриц:

1. АВ ВА.

2. (АВ)С = А(ВС).

3. (А + В)С = АС + ВС.

4. А(В + С) = АВ + АС.

5. (АВ) = ( А)В = А( В).

Нетрудно убедиться, что в алгебре квадратных матриц единичная матрица играет роль единицы, т.е. можно отметить еще два свойства, связанных с умножением на эту матрицу слева и справа:

6. АЕ = А.

7. ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.