- •Введение
- •Матрицы и операции над ними
- •. Понятие матрицы
- •Матрицы и одинакового размера называются равными, если попарно равны их соответствующие элементы .
- •1.2. Линейные операции над матрицами
- •1.2.1. Сумма матриц
- •Свойства операции суммирования матриц
- •1.2.2. Умножение матрицы на действительное число
- •Свойства произведения матрицы на число
- •1.2.3. Транспонирование матриц
- •1.3. Умножение матриц
- •1.4. Свойства произведения матриц
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Определители
- •Операции над определителями
- •Пусть дана матрица
- •2.2. Основные свойства определителя
- •2.3. Ранг матрицы
- •Матрица (2.5) имеет ступенчатый вид , где , * - некоторые числа.
- •2.4. Вычисление обратной матрицы
- •3.1. Общий вид и свойства системы уравнений
- •3.2. Матричная форма системы уравнений
- •3.3. Метод обратной матрицы и теорема Крамера
- •3.4. Метод Гаусса Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований матриц получить матрицу вида:
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Векторная алгебра
- •4.1. Понятие вектора
- •4.2. Линейные операции над векторами
- •4.2.1. Операция сложения векторов
- •Свойства операции сложения векторов
- •4.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве
- •4.4. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису. Проекция вектора на ось и ее свойства
- •Линейные свойства проекций
- •4.5. Декартова прямоугольная система координат
- •4.6. Формулы деления отрезка в данном отношении р ассмотрим в пространстве две точки и и прямую, определяемую этими точками.
- •4.7. Произведение векторов: скалярное, векторное, смешанное
- •4.7.1. Скалярное произведение
- •Теорема. Два ненулевых вектора и составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно). Алгебраические свойства скалярного произведения
- •4.7.2. Векторное произведение векторов
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения в декартовых координатах
- •4.7.3. Смешанное произведение трех векторов
- •Геометрический смысл
- •Пример 4.4. Упростить выражение .
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Плоскость в пространстве
- •5.1. Общее уравнение плоскости
- •5.2. Уравнение плоскости в нормальном виде
- •5.3. Уравнение плоскости в отрезках
- •5.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •5.5. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Прямая на плоскости
- •6.1. Общее уравнение
- •6.2. Каноническое уравнение прямой
- •6.3. Параметрическое уравнение прямой
- •6.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •6.5. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •6.5.1. Прямые заданы общими уравнениями
- •6.5.2. Прямые заданы каноническими уравнениями
- •6.5.3. Прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
- •Вопросы для самопроверки
- •7.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
- •7.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости
- •7.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •7.7. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола
- •8.1. Каноническое уравнение эллипса, окружности
- •8.2. Каноническое уравнение гиперболы
- •8.3. Каноническое уравнение параболы
- •8.4.Эксцентриситет эллипса и гиперболы
- •8.5. Директрисы эллипса, гиперболы
- •8.5.1. Директрисы эллипса
- •8.5.2. Директрисы гиперболы
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9. Преобразование систем координат
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11. Полярные координаты
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Лр № 0668515 от 25.08.99. Подписано к изданию 18.03.02.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
8.1. Каноническое уравнение эллипса, окружности
Рассмотрим каноническое уравнение эллипса (8.2).
Эллипс представляет собой линию пересечения кругового конуса с плоскостью, пересекающей все прямолинейные образующие одной плоскости конуса.
О пределение: Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых суммы расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Если фокусы совпадают, то эллипсы представляют собой окружность.
Рис.
18.
Пусть постоянная, о которой говорилось в определении, равна 2а, F1 и F2 - фокусы. Точки F1 и F2 имеют координаты: F1=(-c,0); F2=(c,0). Пусть расстояния от выбранной точки плоскости М(х,у) до F1 и F2 равны r1 и r2 , соответственно.
Тогда r1+r2=2а - есть необходимое и достаточное условие расположения точки М на эллипсе.
Так как r1=MF1= ; r2=MF2= , то
Преобразуем
;
;
;
.
Обозначая 2 = а2 – с2, имеем
- = + ; .
Тогда
, а ³ > 0
- каноническое уравнение эллипса.
Если в уравнении заменить х на – х; у на – у, то уравнение не изменится. Это значит, что эллипс - кривая симметричная относительно оси х и у.
Величины а и называются большой и малой полуосями эллипса, т.к. а > . (Эллипс проходит через точки (0, ) и (а,0) или (0, - ) и (- а,0), которые называются вершинами эллипса). Эллипс - непрерывная замкнутая кривая, которая находится внутри прямоугольника £ а; |у| £ .
Если полуоси эллипса а = , то эллипс трансформируется в окружность радиуса R = а = с центром в начале координат. Эллипс может быть получен путем равномерного сжатия окружности радиуса а.
8.2. Каноническое уравнение гиперболы
Гипербола представляет собой линию пересечения кругового конуса с плоскостью, пересекающей образующие обеих полостей конуса.
О пределение.
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Пусть F1(- c, 0), F2(c, 0) фокусы, М – точка плоскости с координатами (х, у). – согласно определению является необходимым и достаточным условием расположения точки М на данной гиперболе.
Тогда
Обозначая =с2 – а2, имеем
,откуда
- каноническое уравнение гиперболы.
Величины и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Так как величины и в четных степенях, то уравнению (8.4) удовлетворяют не только координаты точки М(х;у), но и координаты точки (х; -у), (-х; у), (-х; -у) – симметричных относительно осей координат и центра координат. Таким образом, гипербола обладает свойством симметрии.
Главными осями гиперболы, заданной каноническим уравнением (8.4) являются оси координат, а центром гиперболы – начало координат.
Ось 0х - действительная ось гиперболы (так как пересекает гиперболу в двух точках) : у = 0 Þ ; 0у – мнимая ось (так как не имеет с гиперболой общих точек) : х =0 действительных решений нет.
Точки А(-а,0) и В(а, 0) – вершины гиперболы, точки, в которых гипербола пересекает ось 0х. Фокусы гиперболы располагаются на действительной оси.
Рассмотрим прямоугольник, диагонали которого определяются уравнениями и . Ветви гиперболы приближаются к диагоналям прямоугольника, которые называются асимптотами гиперболы.