6. Прямая на плоскости

6.1. Общее уравнение

В плоскости зададим прямоугольную систему координат и прямую , не параллельную оси . Если на плоскости фиксирована произвольная декартова прямоугольная система , то всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяют относительно этой системы прямую линию:

Ах + Ву + С = 0 (6.1)

- общее уравнение прямой, где произвольные постояные, причем из постоянных и хотя бы одна отлична от нуля.

Эта прямая ортогональна вектору = – нормальному вектору прямой.

В самом деле уравнение (6.1) имеет хотя бы одно решение х₀, у₀, т. е существует точка (х₀,у₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (6.1):

Ах₀ + Ву₀ +С = 0.

Вычитая это уравнение из (6.1), получим

А(х – х₀) + В(у – у₀) = 0 (6.2)

– уравнение прямой, проходящей через точку.

Это уравнение определяет прямую, проходящую через точку (х₀,у₀) и перпендикулярную вектору = . Если точка (х, у) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению (6.2), так как вектор и = ортогональны и их скалярное произведение равно нулю.

Замечание. Если два общих уравнения и определяют одну и ту же прямую, то их коэффициенты пропорциональны .

Общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 называется полным, если все коэффициенты ¹ 0. Если хотя бы один из них равен нулю, то уравнение называется неполным.

Например.

С = 0: Ах + Ву = 0 – прямая, проходящая через начало координат.

В = 0: Ах + С = 0 – прямая, перпендикулярная оси х

( = перпендикулярен оси у).

В = 0; С = 0: Ах = 0 – ось у (прямая совпадает с осью у).

Полное уравнение прямой может быть приведено к виду:

, (6.3)

– уравнение прямой в отрезках, где = - ; = - .

Числа и равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях и у от начала координат, соответственно. Это уравнение удобно для построения прямой на чертеже.

Расстояние d от произвольной точки М₀ (x₀;y₀) до прямой (6.1) определяется формулой

Пример 6.1. Даны вершины треугольника Составить уравение высоты AD.

Решение. Так как высота AD перпендикулярна стороне BC , то вектор является вектором нормали для прямой . Тогда обшее уравнение прямой имеет вид

или

6.2. Каноническое уравнение прямой

Введем понятие направляющего вектора прямой, это любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой

= .

Очевидно, что точка ( , ) лежит на этой прямой тогда и только тогда, когда векторы = и

= коллинеарны, т. е., когда координаты этих векторов пропорциональны:

(6.4)

– каноническое уравнение прямой.

Отношение следует понимать как ,

т. е. если l = 0, а m ¹ 0, то х – х₁ = 0.

Отсюда уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х₁, у₁), (х₂,у₂):

. (6.5)

Пример 6.2. Составить каноническое уравнение медианы АЕ треугольника, вершинами которого являются точки

Решение. Медиана АЕ делит сторону ВС пополам. Тогда, используя формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном соотношении (4.9), найдем координаты точки Е.

Зная координаты точки и координаты вершины , составим каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки

.

Тогда или - каноническое уравнение медианы АЕ.

Пример 6.3. Даны вершины треугольника: Составить уравнение биссектрисы угла А.

Решение. Пусть точка D – точка пересечения биссектрисы со стороной ВС. Из свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника следует, что .

Но ,

Следовательно,

Так как известно отношение, в котором точка D делит отрезок ВС , то координаты точки D определятся по формулам ,или , т.е. . Задача сводится к составлению уравнения прямой, проходящей через точки А и D : , т.е.