5.5. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Пусть две плоскости заданы общими уравнениями

А₁х + В₁у + С₁z +D₁ = 0, А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0.

Вопрос об определении угла между ними сводится к определению угла между их нормальными векторами .

Тогда, используя формулу для косинуса угла между векторами, имеем

(5.8)

- угол между двумя плоскостями.

Условие параллельности плоскостей эквивалентно условию коллинеарности векторов и имеет вид :

(5.9)

и заключается в пропорциональности координат этих вектров. Если , то плоскости совпадют.

Условие перпендикулярности плоскостей вытекает из формулы (5.8), когда cosj = 0 или ( , ) = 0, т.е.

. (5.10)

Пример 5.1. Составить уравнение плоскости,проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Так как плоскость перпендикулярна вектору , то он является вектором нормали для искомой плоскости. Применяя формулу (5.2), для плоскости, проходящей через заданную точку, получаем . Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем искомое уравнение плоскости 4x-5y+7z=0.

Пример 5.2. Дан тетраэдр с вершинами . Найти длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение. Искомая высота равна расстоянию от точки до плоскости, проходящей через точки Составим уравнение этой плоскости:

.

Раскрывая определитель по первой строке, получаем . Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем .

По формуле (5.5) находим расстояние от точки до плоскости:

.

Пример 5.3. Определить отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

Решение. Переписав уравнение в виде ,

и, разделив обе части его на 4, получим

или .

Получили уравнение плоскости в отрезках, откуда - отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат , соответственно.

Пример 5.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3;-1;-5) и перпендикулярной плоскостям и .

Решение. Так как плоскость перпендикулярна двум данным плоскостям, то ее вектор нормали также перпендикулярен нормальным векторам и . Следовательно,

Далее, используя уравнение плоскости,проходящей через данную точку М(3;-1;-5) перпендикулярно вектору , получаем , или .

Вопросы для самопроверки

1. Как записывается общее уравнение плоскости, уравнение плоскости в отрезках?

2. Как записывается уравнение плоскости в нормальном виде?

3. Как вычисляется расстояние от точки до плоскости, отклонение точки от плоскости?

4. Как записывается уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки?

5. Как вычисляется угол между двумя плоскостями?

6. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей?

Задачи для самостоятельного решения

1. Определить, лежат ли точка М (1;1;-9) и начало координат по одну или по разные стороны от плоскости

Ответ. Точка М и начало координат лежат по одну сторону от данной плоскости.

2. Составить уравнение плоскости, проведенной через точку К (1;5;2) параллельно плоскости, проходящей через три точки L (4;-3;1), M (3;4;0), N (-1;-1;5).

Ответ. .

3. Найти угол между двумя плоскостями и .

Ответ. .

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;3;5) и перпендикулярной вектору .

Ответ. .

5. Найти уравнение плоскости,проходящей через начало координат и через точки P (4;-2;1) и Q (2;4;-3).

Ответ. .

6. Найти расстояние от точки М (1;3;-2) до плоскости .Как расположена точка М относительно плоскости?

Ответ. d = , начало координат и точка М лежат по разные стороны от плоскости.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (5;4;3) и отсекающей равные отрезки на осях координат.

Ответ. .

8.Уравнение плоскости привести к нормальному виду.

Ответ. .