ТФКП Краснов 2003

На прак.тике при нахождении коЭФФициенТоf} с стараются иэбеrать

применеимя формул (23) , так как они приводят к rр(>..оэдким выкладкам.

Обычно, если это возможно, ксполъзук>тся

roroвьre разложения · 8 ряд

Тейлора элементарных функций.

< 2 функцию

Пример• 1 2.

Разложить в ряд Лорана в кольце О· fz - ll

1

.

.

.

/(z) = (z2 - 1)2 .

.

1

Решение; П е р в ы й

с п о с о б .

Функция

/(z) = (z2 - l)2

Является ана-

лиrической в кольце О <

/z - 11

< 2. Коэффициенты ряда Лорана находим

по формуле (23)

·l

· · .

. dz .

(z2 ...:1.)2

с,. = 21!'i

1г

(z - l)n+1

dz

= 211'il

·1г (z ,- 1)"+3(z + 1)2 '

где Г - любая окружность с центром в точке z0 = 1 , лежащая в данном кольце.

.

1

ли

+ 3

т. е. n

3

о

одынте

на

фун

ия

n

О,

-

,

(z _ I)iнЗ(z + l)2

Ес

, т

n

граль

кц

будет аналитической

всех точках, заключенных внутри окружности Г, в том

чисЛе и в точке z = 1 .воВ этом случае

·

:J:. е.

О при n

r

(z ·_ l)" (z

1)2 = 0•

т. е.

n > -3,

с,.

=

=

J.

. . .

Е

О

т

формулу (2) из

§ 6 для производной Любого nорядка от аналитической функции,

§ 7. Ряды в компЛексной областн

65

ней (положительных

Нам нужно представить

f(z)

Иреобразуем J.tстеле­

В т о р о й

с п о с о б .

в вИде суммы

и отрицательных)

разности

(z - 1).

аиную

.· функцию следующим образом:

1 (

1

l

) 2

=

1

4

z -- 1

- z + l

=

-1-.

-

1

]

1

]

-

+

1

---1 .

.

-

-

-- +

- -

-

(24)

4 (z - 1)

2

4 z

1

4 z + 1

4 (z

+

1 )2

вляют собой степени разности

(24)

имеют нужный

BИJ.t, так как nредста­

Первые два слаrаемщ в nравой части

Последние два слагаемых

запищем в виде

(z - 1 ) .

1

1

z - 1

] -2

·

1

z

[.

(

1 )2

= 4

1 +

--).

·

-(z:------ 1 ):,+---2 = -2

---:-. (z +

2

1 +

-

. Применяя формулу

(12),

1

2-

(1 1 )

nри

аz

1

z

а затем формулу

= -2. nолучим

·

z

l

= H1

-

;

+

C ; • Y - (

;

Y + . .

.] .

(25)

1

2

[1

_ 2 .

z - l

+ -2(-2 - l}

( z -

1 )

2 +

(z + 1 )

4

2

2!

.

·

2

]

Подставляя

и

.+

-2 -

31

!) ( -2

2

1 )

3

+ . . .

.

(26)

(25)

(26)

в

-2{

найдем

2) (z -

.

1

(24),

1)

1

z

]

1

(z -1

..,....,,-,...=

- -- - -

-· - +

(

z

2 -

1)2

4

2

4

- l

)'

-{'

;')'

. ,

. J +

+ н - , ,

1

+ (' ; 1

+

или

+ 1 [l

- (z - 1) + ;2(z - 1 )2 - ; (z. - 1)3

+ . . . J.

l

1

1

l

3

1

(z2 - 1 )

2

4 (z .:..1)2 - 4z -

1

+ 1 6

в <z - l } +

3

(z.

-

l)

2

-

3

(z - l)

+ . . . .

+

5

64

t>

64

Пример 1З.

Разложить-

функциiQ

в рядJlopaнa

'

f(z)

1

= z2 cos -

в окрестности точки zo = О.

z

Решение.

Для любого комnлексного ' имеем

cos '

= - 2! +

! -

6!

+ . . . .

1

'2

'44

'6

Полагая <;

получим

)

l

z

2

l

= -z ,2

(

1

-

. 1

+

l

l

+ . . .

= z

2

1

1

+ . .: '

cos - = z

-,

""'i"4- -6,

- -2, +

"'12- -6,

или

. z

.

2

.z

2

4.z

.z

6

.

4.z

.z

4

2

1

1

2

1

1

z

cos -

=

--2

+ z + -4,.z2 - -6,.z4 + . . . .

z

разложение справедливо

любой точки z ' # О. В данном случае «кольцо•

пр дставляет собой всю комплекснуюдля

плоскость с одной Qыброшенной точкой

Это

z = О.

01

•кольцо• можно оnределИТь с помощью следующего соотношения;

<

Здесь

r

Данная функция является

О

lz

-

< +оо.

= О, В = +оо,

zo =

О.

t>

аналитической в указанном «кольце•,

Пример 1 4.

Рассмотреть различные разложения в ряд Лорана функ-

ции

2z + 1

f(z) =

,

nриняв zo = О.

z2 + z - 2

Решен111е.Функция

/(z) имеет две особые точки:

z1 = -2 и z2

= 1 . Следо*

вательно, имеется три «кольца• с центром в точке

zo = О,

в каждом из которых

f(z)

является аналитической:

а)

круг lzl<1;

б}

кольцо

l < lzl<2;

в)

2

< lrl

< +оо - внешность круга lz\ . 2.

Это разложение является рядом Тейлора функции j(z).

1

.·

б)

Раэ.ложение в колъuе l <. lzl < 2.

РЯд

(30) для функции

-1 + z 12

остается

сходящи ся вэтомкодъце, так как

lzl

<

2 .

Ряд (29)для функции

1

расходится

- z

для Jzl

> 1 . Поэтому nреобразуем f(z)

следующим образом:

в) Р11ожение д1fЯ

'

lzl

> 2.

Ряд (30)

для функции 1 + z/2

при

lzl > 2

·

.

l

так

.

lzl >

рас)(одится, а ряд (32)

дл

функции

--1.1-z

будет сходиться,

как если

2,

то и подавно lzl > 1 .

1 -

'

Функцию f(z) представим в таком виде:

, ..

1

1

1

1

z

1

z

1

1

1

.f(z) = -

z

= -

--2

-- + - --

z

1 +

·

1 -

z

(

1 + ; + -1 --;т

Используя формулу (12), получим

'

. .'· · · .

' )

1

(

2

4

8

1

+

1

1

.. . )

1

'

1

5

7

+

.

.

z

z

+ z2

z3 + . . . +

1 + -z

-z2

+ -z3 +

z ("

2

- z

+ z2

-

z3

.

)

,

j(z) = -

1 - -

.;,_ - ----'

= - '

-

-

-

или

2z

+

1

=

2

-

1

+

5

7

2

z2

z3 - z4

+ ··· ·

z

+ z - 2

;

,

-

Этот пример показы ает, что для одной и той же фунКции f(z) ряд Лорана,

вообще говоря, имеет разный вид для разных колец.

·

1>

·.

2z - 3 2

· Пример 1 5. Разложить в ряд Лорана функцию

J(z) = z2 - 3z +

в окрестности ее особых точек.

Решение.

Особые точки функции f(z): z1 = 1,

z2 = 2 .

<

1 .

Разложение /(z) в окрестности точки z 1 =

е . в кольце О < lz - 11

Представим1)

функцию /(z) в виде суммы элементарных1 , т. дробей

§ 7. .Ряды в ·комплексной области ·

69

z

sin z

· 1

261 .

-(z. + l)2· ,

z0 = - 1 . 262.

---z - 2 , ,:-z0 :::::2. 263.

z0 -i.

§ 8.

Бесконечные произведения·· и их

1 ° .

при,менение к анапитическ " функциям

Бесконечные произведения. Пусn. дана последователь­

ность комплексных или действительных чисел

Ut, U2, . . · , Un, ·

,'

· ·

Рассмотрим произведен е n иенулевых числовых сомНfi>Жителей

(1 + u1)(1 + и2) . . . (1 + Un),

которое будем обозначать символом Pn, то есть

n

Pn = (1 +Ut)(l + и2) . . .

(1 + Un) =

п(l + Uk).

( 1)

Полагая n равным 1, 2, 3,

k=ol

. . . , получим nоследовательность комrщексных

(или действительных) чисел Pt . Р2· . .

. , Pn• . . . , отличных от нуля.

Определение 1 .

Предел (если он существует)

n

00

lim Pn = lim

П1 <t

+ Uk) = р,

n-+oo

: n-+oo k=

называется значением бесконечного произведения п(1 + uk)

и запи-

сывается следующим образом

оо

k=l

= р.

n

lim Pn

Hm П(1 + uk)

П(1 + uk)

(2)

n-+oo

= n->oo k=1

= k=1

§ 8, . Бесконечн е ·проиэведения

71