решение

Задание 2. Исследовать на сходимость ряды

в) ; г) .

Решение:

в) Применим к ряду признак Даламбера, для чего вычислим предел:

.

Так как , то заданный ряд сходится.

г) Запишем очевидную цепочку неравенств:

.

Таким образом, общий член заданного ряда не превосходит общий член такого ряда:

. (*)

Из сходимости ряда (*) следует сходимость заданного ряда. Докажем, что ряд (*) сходится, для чего применим интегральный признак Коши – Маклорена. Рассмотрим несобственный интеграл

. (**)

Ряд (*) и интеграл (**) сходятся (или расходятся) одновременно. Докажем, что (**) сходится. По определению несобственный интеграл равен

.

Выполним замену , тогда . Пределы интегрирования изменятся так: , . Если , то и :

.

Предел – конечное число, значит, интеграл (**) сходится, а значит, сходится ряд (*), в с ним и заданный ряд.

Ответ: в) сходится на основании признака Даламбера; г) ряд сходится.

Задание 5. Разложить в ряд Фурье функцию по косинусам.

Решение:

Искомое разложение по косинусам на указанном промежутке выглядит так:

,

где , а коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

.

Заданная функция является кусочно-заданной, значит, интегралы выше разбиваются на суммы интегралов для каждого куска. Вычисляем коэффициенты:

,

.

Вычислим интегралы отдельно. Второй интеграл вычисляем непосредственно:

.

Первый интеграл берем по частям:

.

Коэффициенты Фурье:

.

Искомый ряд Фурье:

.

Ответ: .

3