ТФКП Краснов 2003

ГЛАВА

4tункции комплексного .

переменнаго

Комплексное число

z = :z: - iy называется

сопряженны.м

комплекс• .

ному числу z = :z:

iy.

Комплексные+числа

у

ZJ :::::+:liJiy1

И

Z2 = Z2 + iy2

считаются равными тогда и только тогда,

когда z, = :z:2,

Yl = Yl·

Компле,::сное исло .z = ж + iy изо­

бражается в nлоскости

ХОУ

точкой М

·с координатами (::е,

у)

либо вектором, на­

х

чало которого находится в точке О(О, О},

Рис.1

а конец в точке М(а:,

у)

(рис. 1). Длина р

вектора ОМ

называется модулем

комплексного числа и ·обозначается

lz

1,

так что

lz1

z2

+

у'1.. Угол

образованный вектором ОМ

называется==

.j

комnлексного числа z и обозначается

с осью ОХ,

р

=

аргументом

t.p,

t.p =

Arg

z; он оnределяется не однозначно, а.с точ}fостъю до слагаемого,

кратного 21r:

Arg z = arg z + 2k1f

(k =.О, ±1, ±2, .. ),

·

.. f 1.··Кt#lмексные числа идействия над·ними

. 5

Форжуду (2)

можн .

записать в виде

:1:(:1:2

+ YlY2

.X2Yl-·XlY2

ZJ

2

2

+

2

2

-=·

Х2

+ У2

Х2

+

У2

. Z2

образом:

·

·

·

R ·Z=

z+z

z-z

z-z

Imz

-2 -.

= i--2

=

--·-.

Пример 1.

.

2i

По <,азать, что z1

+ z2

== z1+ z2.

{

4х+5у =

2жЗу = 1 ,

Решая эту систему, находим

1.

t>

ж = 2,

у =};

Задачи дnя самостоятельного ·решения

Найти действитеЛьные решения уравнений:

2.

(Зх- i)(2+i)+ (х- iy)(l+2i)= 5 + 6i.

IЬI.

(ж- iy)(a-

i5

, где

заданные действительные числа, lal

3.

iЬ):::::.а, Ь -

#

1

2+i

=

V2,

.

4.

.

где z:::::.. ж

--. + --

+zy.

Z-1

l+t

1z.Ь)2 + (

1а.Ь)2

5.

Представить комnлексное число (

в алгебраической форме.

.

а+

а-

.

·

-f1:·Комплексные числа и действиЯ над ними .

7

СледователЬllо, :

Пример 15. Найти действительные корни уравнения ·

[>

cos х+ в. ш. х =

1 +

3.

'2

4z.

Решение.

Данное уращ1ение корней не имеет. В самом деле, это уравнение

равносильно следующим: cos х =

1

3

- ,sin х = -4. Последние уравнения несовмест-

.

.

2

ны, так хак

cos

13 что невозможно ни при каких значениях

х.' 1>

2х +sin 2х = ]6,

Любое комnлексное число z i= О можно заnисать в лаказательной

форме

z = pei'P,

р = \z\,

<р = Argz.

где

Пример 6. Найти все комплексные числа z. i=. О, удовлетворяющие

условию zn-1

= z.

Решение.

Пусть z:::::ре;". Тогда z = pe-i ".

Согласно условию

ИЛИ pn-2einl" = 1,

2 = 1 , т. е..

pn-lei(n-1)1" = pe-il"

откударn-.

р = 1 ,

.

.

tp =

2k1Г

(k =О, 1,

2, .

. , n 1) .

и

&ntp =

2k1ГJ, т. е.

-n

Следовательно,

Zk.= e;2"k/n

(k = О, l, 2, ... , n- 1).

.

1>

Задачи

дл'

самостоJтельного решения

1 О. Следующие комплексные1

числа представить в тригонометрической форме:

а)

-2; б)

2i;

,в)

-v'2+ v'2;

)

1-sin a + i cosa.

(о<а i);

г

1+cosa+i.sina

(о <

а< 271').;

д)

1 + cosа- isin а

в показательtiой форме:

е)

- 2; ж)

i;

з) -i; и)

- 1 - iv'З;

к) sina icosa(i<a<1Г); ·л)

5 + 3i.

Пусть коr.nлекс:t ые числа z1

и .z2 даны в тригонометрической форме

Z1 = PI(COs <{)1 +i sin <р1),

2 = P2(cos <{)2 +i sih <р2).

Их nроизведение находится ло формуле

zt.z2 =

P1P2lcos

(<р1

+ '!'2

) +i

sin (<р1 + <р )],

2

ПримЩ» 8.

Комплексные числа и действия 'над ними

9

ДЬказать, что многочлен

f(x) ==

(cos а+ х sin а)11

cos па-х sinna',

делится на х2+ 1.'·

= (х +i)(z- i). По формуле Муавра

Решение. Имеем :е2 +1

f(i)

(cos а+i sin а:)"

- cosna - i sirina

=

= cos na +i sinna - cos na:-isin na

= О.

Аналогично /(-i) = О. Значит /(z) делится на ж2 + l.

1>

Задачи для самостоятельного решения

1 1. Доказать'

, что многочлен

l)a:

f(x)

z"sin a : -л"-1жsin na+Л"sin (n

делится на z2 - 2Лжcos а+Л2•

1 . в.ычислить:

;

(VJ:....3i) ;

r)

+ i v ' 3

40

'

'

8

.

а) (11-Т)

б)

(2- 2i)7; в)

(ll +- а )

1 З. Доказать,

что

(

1 +itgа

"

I +itg na:

=

1 -itga:)

1 -itgna:'

14. Доказать, что если

то

(cos а- i sin а:)"

1.

(cos а+i sin а:)"= 1 ,

1 S. Полъзуясъ формулой Муавра, выразить через степени sin 'fl

и cos 'fl следующие

функции кратных углов:

sin 4<р;

г) cos 4<p;

д) sin 5<р;

cos 5<р.

а) sin З<р; б)

cos З<р;

в)

е)

Корень n-й стеnени из комплексного числа z имеет n различных

значений, которые находя;тся по формуле

<р + 2k1f

n

r:;

n

1

cos

'f1 + 2k1f

+ •.

.

1z1

srn

v .<:

= vli':::i/

) ,

(

n .

n

где k = О, 1, 2, . . . ,n- l,

<р = arg z.

.являются вершинами пра­

Точки, соответствующие значениям

вильноГо n-уrольника, .вписанного в

окружность радиуса R =

\liZТ

с центром в начале координат.

Корень n-й степени из действительного числа а также имеет n

различных значений; среди этих

значений действительных будет

два,

одно или ни одного в зависимости от четности

или нечетности n и знака