ТФКП Краснов 2003

Oti' .

'

lzt l + lz2l + · · · + lzn l + · · · = l)t l.

(4)

п:t

Ряды (2),

(З), (4) являются рядами с дей ными членами,

сходимости рядов в действительной области.

Известных

признаков

и вопрос об их сходИмости решает я с помощью·

ПрИмер 1 .

Исследовать на сходимость ряд

оо in

Решение. Имеем е1• = cos

2n=l: n; .

sin n. Таким образом, вопрос· о сходимости

·данноrоряда

о сходимости рядов с действительными <J.Ленами:

сводится к вопросу n + i

"" cos n

"

E -;r-

Каждый .

n•l

иэ этих рядов сходится абсолютно. Следовательно, данный ряд сходится

абсолютно

\

1>

Пример 2.

Исследовать на сход мость ряд

. §7. Ряды в комплексной облаСти

55

1.91 .

n= l

· e{rfn

1 92.

00 (1 +i)"

1

93.

fJn= I

s i .

n=l

cos in ·

stn

оо

. ; n .

Е 2"/2

Е

00

an

Еl

ln n

ch i

;

sh in ·

1 95.

t nlnn .

1 96.

?;

·

1 94. 00

tg 1rn

n=

n=l

'§ 7. Ряды в комплексной области

57

Ряды T WюPs Лорана

z = .zo,

Функцli!Я

f(z) ,

разла-

:и однозначная и аналитичесi<ЗЯ в точке

rается в окреqтности этой точки в степенной, ряд Тейлора

·

00

{8)

f(z) =

2:

(z - zo)'\

n=oO

коэффициенты которою Сп вычисляются по фор улам

"-

1

_

f

f(z) dz

/(n)(Zo)

. · ( n

= О, t, 2,- . .

.) ,

(9)

...,.211'i

(Z

- Zo)n+1

=

n!

= _

г

где . Г .- окружность с центром в точке

z =

z0, целиком лежащая

в окрестности точки 0 ,

в которой функция f(z) аналитична. Центр

окружнQСТи круrа сходимости

находится в точке z0 ; эта

окружность

ряда

(

функциИ

f(z) ,

Ю

.zo,

nроходит через особую точку

ближайшую к точке

zo

е. радиус сходимости

(8)

будет равен расстояни

от

точки

доr. ближайшей особой точки функции

f(z) . _

Для функций

( l + z)а

= 1 + .az +

а(а - 1)

z

2

+

а(а - l)(a -

2)

z3+ . . .

.

" !.

3. -

- _:_

1

(I_l)

n.

+ . . .

. . + а(а - 1) . . .

а

+ n

1) zn

(R = l).

В частности, nри а = · 1

nолучим

l

R

-

= 1

z + :i

- . .

. +

(- l)nzn +

. .

.

= l).

{12)

l + z

{

Формула (10) дает разложение В. ряд Тейлора в окрестности точки

=

главного значения лоrарифма;

чтобы nолучить ряд Тейлора мя

другихz О

значений многозначной функции

Ln

(1

едует к ряду (10)

nрибавлять числа 2n1ri,

n = ±1, ±2, . . .

:

+ z), сЛ

-

+

z2

zэ

Ln _( l

z) ='

z -

- +

-3

- . . . +

2n1ri.

функцию

5.

Ряд.

2

.

.

- zo

= О

Пример

РазлоЖить в

Тейлора

в окрестности точки

/(z)

=

z

2

3

'

- 2z -

58

Dtaвa 2.

Интеrрнрование.

Ряды;

,Бесконе'lныВ ifr,оиэведения

Решение.

Разложим данную функuюо на npocтeitцl .дроби

z2

z

1

1

3

l

- 2z - 3

= 4 z + 1 -

4 ; = 3t ;

Иреобразуем nравую часть следующим образом:

/(z) =

1

1

-

1

1 + z

4 1 _ : ·

.

.

1

.

3

Исnользуя разложение

(12) функции -- , nолучим

.

·

·

·

l + z

+ 3z

+

2 . .

.

/(z) =. .41 ( 1 - Z

+ Z2 - Z3 + . . .) - 41

(1

9z

+ н• )

=

.

=

1

(

4

8

2

-

28

3

)''

= -

z

+

2

2

-

7

3

.

.

4

- 3z +

9z

2? z + . . . .

3

32 z

зэ z

+ . . .

Ближайшей к rочке z0 = О осо()ой точкой данной функции· является точка

z = - 1 . Поэтому радиус сходнмости nолученноrо ряда R= 1·.

1>

Пример 6.

Разложить по степеням разности z - 3 функцию

.

J

(z)

-

, :

=

-

3 - 2z

1

2

22

23

:

= - 3 +

32

(z - 3) - 33 (z - 3)2 +

34 (z - 3)э - . . . .

ЭТот рад сходится nри условии

(z -- 3)· . 1 < 1 ,

3

.

3

или lz - 3 1 < '2, т. е. радиус сходимости ряда' R = 2'.

Пример 7. Найти

нескодько nервых членов ра жения в ряд по сте-

nеням z функции j(z) = tgz и найти ·радиус сходимости ряда.

·

/(z) = С о +(:JZ + c2z2 + c3z 3 + . . ,

Решение. Пусть искомый ряд имеет вид

/"(z) = 2/(z)/'(z),

!"'(z) = 2 [/'2(z) + f(z)f"(z)] ,

(14)

iv(z) = 2 [3/'(z)/"(z} + /(z)/'"(z)] ,

/v(z) = 2 [3J'12(z) + 4/'(z)/'"(z) + f(z)/1v(z)] ,

Полагая в (13) и (14) z .= О, наАдем

У(О) i: 16;

f'(O) = 1 ; /'1 (0) = О;

f'"(O) = 2;

j1v(О) = О;

Подставляя наЙденные значения nроизводных в ряд, nолучим

tg z

2

э

16

s

+ . . . .

(15)

= z + 3tz

+ S! z

\

R

'

= О .

.

(

=

11'

.

является,точка

2 .

Поэтому радиус

Ближайшей особой точкой.

к точке z

сходимости полученного ряда

= 2 .

1>

11'

Найrи несколько nервьiх: членов разложения:: вряд по степеням z следукiщих

функций. Найти радиус сходимосrи рядов:

1

220.

1

.

·

2

1

.

.

• •

222.

-

+-е

221.

stn z

е""'" +

5 .

-1

+

60

Глава 2.

ИНтеприроваие. РядЫ. ·Беско ЧНJ!i. (IJЮИЭ

Ведення

224.

ln cos z.

225• . ln,

(1 + cos.z).

l и nримимающую

227. Найти функцию /(z) ,

аналитическую в круге Jzj. Е;

на 9Кружности jzj = l

а· 2 -· 2·

а·

со sли +1

,

а > 1,

8 = arg z.

значение

228

'

а - c6s8 + i sin8

является аналитической в xpyre

f(z) =

"" a.z

•

jzj 1 .

k:O

Пустъ функция

Е

Доказать, что среднее.

/( )

z"

значение функции 2 на .окружности lzl = J равно а, . .

§ 7. Ряды в комnлексной обла.сти

61

Следоваrельно, ряд сходиТсЯ в области lz+il > е, т. е. вне круга с центром в точке

zo = -i и радиуса е.

[>

. сходится в области, в которой сходятся ряды

00

C-n

11

= -C-t-+

-2

2 + . . . ,

·

2:

z

(20)

t

(

- zo)

z - zo

(z

-

n=

С z0)

00

L

c,.(z - zo)" = С о +Ct (z - zo) + c2(z - zo)2 + . .'.

(2 1)

n=O

Пусть ряд (20) сходится в области lz-zol > r, т. е; вне круга с центром

в точке z = z0 радиуса r , а ряд (21) в круге lz - .tol < R. Тогда, если

1)

r > R, то ряд ( 19) расходится всюду;

2) r < R,

то

ряд (19). сходится

в кольце r < !z - zol < R.

Здесь

r ;:::О, О < R.< +оо.

Пример 1О.

Определить область сходимости ряда

оо

еiп

оо

(z + l)п

(z + 1)" +

· eiп+J/2 ·

62

,' 'J

Тh:ава 2; Интеrрнро не .. Ряды. Бескон ведения

Решение.

00

·

(z

. ln

)"

<!?J/:.:..·:: i•.

Для ряда

. имеем

: 1

При.,.ер 1 1 .

Определить область сходимости ряда

((3z

+

4i)n

.·(Z+6 2i)n·

+

2i)n +

·

.

.

.

""

(3 + 4i)"

имеем.

Решение. Для 9яда 2:

(z + .2i)"

n=J

.

(3 + 4•')"+' .

с_,. = (3 + 4•')" ,

с_,._, =

Следовательно,

r

= ltm'

1 (3l(

+. 4i)"+1 1

• .

l 3 +

.

. •

п-оо

3 + 4

.)"/

= I1m

4al :::5.

•

'

11...,ссэ

2:(\< > (z + 2i)"

.

Первый ряд сходится в области

l z +

>

5 .

2il

Дляряда

--

имеем

6

.

с,. = 6_.,.

C..+l =·6_"_ ,. .

n=O .

. .

Поэтому радиус сходимости этого степенного ряда будет равен

R

. \6-"l

=·1.!,Jun-+С<Э

16-n-1 1 . = 6.

Он сходится в области lz +

2il < 6.

данный рЯд сходится в кольце

5 < !z 2il<6 .

<

R = 6 .

Следовательно,

Итак,

r = 5

1>

+

· §1;

Ряды в КОМI!лексной области

63

Задачи для самостоятельного решения

Определить области сходимости следующих рядов:

t (

)

n=l

i)"

237.

+ in <z + 1

+ i)".

238.

Ё (z

.

n=l

..