ТФКП Краснов 2003

32

Глава 1. Функции комплексного nepВ,IJISНHOГO

1 12. Пусть f(z)

= u(x, у)

+ iv(x,

у)

- аналитическая функция в области D.

Показать, что семейства линий и(х,у) = const

и v(X,JJ)·::::;.onst ортоrональны.

1 1 3. Показать,·что

модуль и аргумент аналитической функции

связаны соотношениями

f(z) = R(x, у)еiФ(ж,у)

дR = RдФ

дR

дФ

ду

дх

ду'

- = -R-.

дх

П ол ьзуясь условиями Коши -Римана, аналитическую функ цию f(z)

можно восстановить, еслИ и звестн а ее действительная часть и(х, у) или

мнимая часть

(

у) .

Кром е этогоv x,,

аналитическую в окрестности точки z0 функцию f(z)

можно в осстановить п о одной из следующих формул :

J(z)

=

2и

z + zo

z - zo

)

_ С

(5) ·

( -

2i

о.•

.

.2 - ..

z

-

.J(z)

+z0

- z0

(

6)

=

2 v (. z

·

)

+ Со,

где Со - сопряж нное число для С0 = /(Zo), а z0 - соnряженное число

для zo.

Пример 4. Найти аналитическую функцию w = J(z) по известной

ее действительной части

u(x,

у)

= 2е"' cos '!) и

nри доnолнительном ·

условии /(0) = 2.

Решение. Пе р в ы й с п о с о б . Имеем

au·

= 2е" cos у.

По первому из

-8

условий Коши-Римана должно быть

дu

дv

х

дv

'

cos

Отсюда

.,_

=

-

, так

что'

-

=

2е"

у.

'

ду

8

(}";<;

у

v(ж, у) = j 2е"' cos уdy = 2е"' sin у + t p(x},

§ 4. Диффе нцир ование фУffкций комплексного переменнаго

33

Итак, v(2<,у ) = 2е" in у + С , и, следовательно,

/(z) = 2е"' cos y + i(2e"' sin у + С) = 2е' + iC.

отсюда С = О.

Постоя:нную · С наЙдем из условия f(O) = 2 ,

т. е. 2е0 + iC

= 2 ;

.

Ответ: /(z) = 2е• .

.

. '

(5).

В т о р о й

с п о с о б .

Воспользуемся

формулой

В нашем nримере

u(z, у) ;::::2е"' cos y, Zo

= о, Со .= 2. Значит ro фop)fy-!Je

(5) будем иметь f(z)

=

2 · 2e l2 cos ;i - 2. Полъэуясь-тем,

что cos ;i

= cos

(- i;

} = сЬ , nолучим

ОКОК'ШУеЛЪНО f{z) = 2ez.

[>

Пример 5. Найти аналитическую функцию w = j(z) по известной ее

мнимой части v(x, у)

t::Зх+ 2ху при условии, что /(-i) = 2 .

z

Решение.

Воспользуемся формулой

В нашем примере

v(z,

у) =

3

2zy, z0 = -i, С0 = 2 ,

так что

·

(6).

·

+

f(z

i

(

z + i

+

2

z + i

z -

.

+ z2.

[>

) =

2

2-

2-.

· 2i) +

2

= Заz

3 -

-

-2-. -2

,

1

1 14. а)

f('rr)= - ;

u = z

z

)

v =

+ у

>

,

/(1)

1Г

. б

arctg

;

(z

0)

= О;

Если функция /(z) = u + i'V

. .

аналитична в •е рой области D,

то ее действищьн<.Ш чac'J'l:! u(z,

у) и. мнимая . l!сТЬ

tt(z, 11) являются

гармоническими в этой области' функциями.

, ·

·

Однако если u1 (z, у) и 'V1 (ж, у) - любые дВе

М

rа'

онические функции;

то функция /1 (z) = u1 (z, у) + iv1 (z, r) вовсе не

о6Аэана быть аналитиче­

ской функцией: для: аналитиЧности /1 (z) нужно, чТобы функции u1 и v,

Подставим данliую функцию в уравнеьие (7). Для этого ьайдем ее .nроиз­

водные второго ·порядка. Пможим

t =

а:2

+ ti.

Тогда будем иметь u =

/(t), Где ·

t · = t(ж, у) . По nравилу дифференцирования .сложной функции находим

дu

t

дt

дu

=

,

(t

дt

дЖ

-:==f(

ж

' .

д

у

1

) ду;

''

) д

2u

) (

t

)2

'

) a

2

t

;

6 .

=

!

(t

д

-1::!

дж2

"(

.) (

дэ:

)

(

дz2

д2u

2

'

)

8 t

f

t

дt

2

•

=

у

7..

д

+ 1

t

ду

у

д

2

CIQiaдblвaя последние два равенства, nОJtуЧИМ

+ ;: )

rc::Y+ ( YJr

)

+

(;;

J'<t) =о.

или

'(t

tf"(t) + /'(t) = о.

Для отыскания фуm;:ции 1 мы nолучили уравнение Эйлера

еt'<t>

+

tf(t) = о.

общим решением. которого J:tвляется функция

J(t) = C1 1n t + С2,

С1 , С2 - const.

Итак, искомые rармоНИч.еские фуЬКЦhИ имеют вид

u = /(t 2 + у2) =

(: t2

+

у2)

+

С2.

С1 ln

1 28. и = !

(;)

.

. tЭd u = J(ж + Jx2 + у2) .

,,,.,),

(

--

).

1 31 .

и = f

х2

+ у2

х

ГеоМf]трический смысл модуля и аргумента производной

·

IJycт

-

zi)

/'(z0) = / : .ОТогда

фуНкция /(z)

аналитическая в rоч е .zo

1/'(zo)l равен коэффищtенту растяжения в точке

при отображении

w = /(z) плоскости z на плоскость w; точнее: при 1/'(zo)l > 1·

имеет

место растяжение, а при 1/'

(zo)l <

. сжатие.

Аргумент производJrой

/'(z0)

1геометрически равен углу, на кото­

рый нужно повернуть касательную в точке z0 к любой гладкой кривой

на плоскости z, nроходящей через точку Zo,чтобьж получить направление

касательной в точке w0 = /(z0) к образу этой кривой на плоскости w при

отображенИи w = l(z). Заметим, что если tp

= arg f1

(z) > О, то Поворот

происходит протИв часовой стрелi<и, а при tp

< О -

по часовой.

Приме 7

Найти

оэффициент .еастяжения и угол поворота при ото

бражении

..w

2

=

../2

+iv'2.

,

·

:;:::·z в точке zo

Решение.

Имеем w'(z) = 2z.• так что w'\z=J2+iJ2 = 2../2 + i2v'2.

Перейдя от алгебраической формы записи комплексного ч сла 2v'2 + i2v'2

к тригонометрической, получим

2

+ i2

== 4 (if + i v;) = 4(cos + i sin ).

v'2

v'2

w == /(z)

r

1Г

1

i2'1Г

;

коэффициент растяжения

и угол поворота

!р

nри заданных отображениях

Найти

в заданных точках:

·

== -

1 32. а)

w = е• в точках z1 = ln 2 +i4 и z2

-

z2 =

б)

w = sin z в точках

z1 = О

z2 = 1 + z;

w =

3 в точках

z1 =

z

и'

+ '2·

и

•

в)

i

.

2-

•

1

• 1Г

1 33. Выяс ить, какая

часть . комплексной

плосl<ости

растягИвается, а какая

сжимается при следующих отображениях:

lw == / 1/(z)l · ldzl.

(8)

Область D в nлоскости zL

при отображении w = f(z) переходит

в область D

в nлоскости w, nричем nлощ обласТи

D · выражается

формулой

Sj)

= jj'lt'(z)l2 dж dy.

(9)

Т

l/'(z)l2

D

эфф

И

аким образом,

= J(z) .

равен ко

ициенту искажен я площади

при отображении w

Пример 8. Точка z = ж+iу оnисывает отрезок

v

ж = l,

' - l y l .

(10)

0'(0,2)

Чему равна длина линии, nолучающейся nри

ЦИИ W = z2?

с

nомощью функ

отображении этого отрезка

или

Решение.

П е р в ы й

с п о с о б . Имее w = z2 ,

u + iv а ? -у2 + i2xy,

B'(l,O)

38

!Лава 1. ФунКции комплексного

-е

e•-t

§ .s. Интегрирование функций

комплексного · перемениого

Пусть однозначная функция J(z) определена и непрерывна в обла­

сти D, а С - кусочио-гладкая замкнуrая илинезамкнуrая ориентиро­

ванная кривая, лежащая в D.

Пусть

'

z = ж + iy, f(z) = и + i , ...

где и = и(ж, у),

v = v(z, у) - действительные функции пеilеменных ж

и У•

· ·вычисление интеграла отфункции J{z) комплексного перемениого z

сводится к вычислению обычных криволинейных интегралов, а именно,

1с

J(z) dz =' с1и dх - v dy + i сJ v dx -{u dy.

( l)

Интеграл сf f(z) dz! вообще говоря, зависит от пути интегрирования С.

Если f(z) - аналитическая функция в односвязной области D, то

интеграл не зависит от пути интегрирован.ия. В этом Случае

L

1 f(z) dz = 0,

где· L ' --:- любой замкнуrый·кусочн.о-гладкий хонтур в области D.

Если кривая С задана парамеТрическими уравнениями

t = t0, t = t1 , то

х = x(t), · у = y(t)

tl

и начальная и к нечная точки дуги С соответствуют значениям парамеТра

. /J(z) dz =:= j[z(t)Jz'(t) dt,

(2)

о

41

§ 5. ннтеrрирова нне функциf# комплексн го переменною

в области D.

Если фущщии /(z) и tp(z) - аналитические в односвязной обла­

сти

D,

а z0 и

· ·

z1 - произвольные точки· э т ой области, то имеет место

формула интегрирования по частям:

jZ1

J(z)tp'(z) dz = [/(z)<p(z)] l: - jZt

<p(z)/'(z) dz.

zo

zo

Пример 1 . Вычислить интеграл

/<t+ i - 2z). dz

с

по линиям, соединяющим точки z1 = О и z2 = 1 + i,

. 1)

по nрямой;

2)

no nараболе 11 :г z2 ;

, .

3) по ломано" z1 эz2 , где zз := 1 .