ТФКП Краснов 2003

§ 12. Логарифм;tчвский вычет. nринцип аргумента. Теорема Руше 1 17

ГЛАВА

4· Конформные отображения

§1 3 . Конформные отображения

1 о . Понятие конформноrо отображения.

Оnределение. Отображение окрестности точки zo на окрестность точки w0, осущесtмяемое функцией w = f(z), называется конформ­

Ф = r.р;

2)если в плоскости комплексного перемениого z возьмем бесконечно

малый круг С центрОМ В ТОЧКе Zo, ТО В ПЛОСКОСТИ W ему будет соответствовать бесконечно малый крут с центром в точке w0•

Поэтому говорят, что конформное отображение обладает свойством кон­ серватизма углов и подобия в малом.

Если при отображении w = f(z) утлы между соответствующими направле1 ниями равны не только по величине, · но и по направлению отсчета, то такое отображение называется конформным• отображением первого рода.

Конформное отображение, при котором утлы сохраняются только по абсолютной величине, но изменяется направление их отсчета на про­ тивоположное, назЬiвается конформным отображением второго рода.

Простейшим примерам конформного отображения первого рода является отображение w = z, а отображения второго· рода - отобра­ жение w = z.

В дальнейшем будем рассматривать только конформные отображения первого рода.

Отображение w = f(z) называется конформным в области D, если оно конформно в каждой точке этой области.

Критерий .конформности. Для того чтобы отображение w = f(z) было конформным в области D, необходимо и достаточно, чтобы

уv

в этой области функция w = J(z) была однолисmной t) и аналитической, причем J'(z) =1= О для всех z Е D.

Если не предполагать однолистности /(z), то отображение, осуще­ ствляемое этой функцией, не будеt взаимно однозначным, а тем самым не будет и конформным. Например, функция w = z4 , заданная в по­ лукольщi 1 lzl 2, О arg z . 1 Г , является аналитической в нем, и, кроме того, всюду в полукольце въшqлняется условие w' = 4z3 =1= О . Однако функция w = z4 отображает заданное полукольцо на область

1 lwl 16, О arg w 41Г , т. е. область, дважды покрывающую.

соответствующее кольцо на плоскости w, что и нарушает,взаимно одно­ значное соответствие.

2° . ОбЩие теоремы теории конформных отображений.

1 . Теорема Римана. Существует аналитическая функция w = /(z), отображающая взаимно однозначно и конформно одну односвязную плоскую область D на другую G, если тольkо ни одна из этих областей не совпадает со всей плоскостью с одной выключенной точкой или всей расширенной плоскостью.

Имеется бесконечное множество аналитических функций, . осуще­ ствляющих отображение области D на область G. .Единственность ото­ бражающей функции w = /(z) будет обеспечена, если потребовать, чтобы

ВЫПОЛНЯЛОСЬ ОДНО ИЗ уСЛОВИЙ:

а) заданная точка z0 области D перешла в заданную точку w0 области G,

а линия, выходящая из z0, повернуласьнаданный угол а (w0 = /(z0), arg f'(zo) = а);

этом, если при движении по границе 'У от z1 к z3 через z2 область D остается слева (справа), то nри двИжении по границе Г от w1 к w3 через w2 область G также должна оставаться слева (сnрава)

В случаях б) и в) функция /(z) nредnолагается .неnрерывной в замкнутой области D.

2. Принцип взаимно однозначного соответствия границ. Пусть область D ограничена гладким или кусочно гладким контуром 'У. Пусть функция w = /(z), аналитическая в D и на -у, отображает контур 'У на некоторый контур Г, ограничивающий область а, причем когда точка z обходит контур 'У так, что область D остается слева, соответствующая точка w обходит контур Г так, что область G также остается слева. Тогда область D с помощью функции w =f(z) отобразится взаимно однозначно и конформно на область G.

3. Принцип симметрИи. Пусть область D, содержащая в составе своей границы некоторый прямолипейный отрезок= 'У (конечной или бесконечной длины), отобр(lЖается функцией w f(z) на область G так, что 'У переходит в прямолинейный отрезок Г, входящиu в границу области (рис. 15). Обозначим соответственно через l и L прямые,

на которых лежат отрезки 'У и Г. Принцип симметрии утверждает:

если функция w =· f(z) аналиmична в области D, а также 6о всех

внутренних точках граничного отрезка 'У, то эта функция аналитична также в области D* , симметричной с D относительно прямой l,

и обладает тем' свойством, что любые две точки z1 и z2 (из которых