ТФКП Краснов 2003

Пусть функция w =J(z), аналитическая в обл!)СТИ D, отображает D

на область G и такова, что обратная функция z = cp(w) многозначна

в области G.

Если суЩествуют однозначные, ающИтические в области G

функции

z

= 'PI(w) , z = cp2 (w) , . . ., для котор 1х данная функdия

w = f(z)

является обратной, то функции ср1 (w), cp2(w), .. . называются

=

ryp,

()

2k11'

r

'Pk = - + - (-1 1 ' < 8 ,1 1k' = O, l , 2, . . . , n - l).

n

n

Пусть односвязцая область G содержит точку w0 , но не содержит

точек w = О

и w = оо.

Тогда различным фиксированным значениям

по дуге окружности

lzl =

1

(ln z

-

главна&

логарифма,

· In 1

= 0)·.

значение

Решение.

П е р в ы й

с п о с о б . Применяя форщ;.иу Ньютона-Лейбница,

получим

•

;

ln3.z

3z d(ln1

ln4z

'

ln4i - ln4.

1

.

ln4. i

1

11'i

4

11'4

1 =.

- .dz = i ln

z) = -

l

;

4

'

;

'

·,,

)

=

:•··-.

/

z

J

.

4

1 ==

= 4

= -4 ( 2

. .

ы

1

1

-.

-

В т о р о й

с п о с о р .

Делаем замену переменной

.

ln z = = w,

dz

dw = -.

Дута

окр}'}J(Ностн lzl =

1

z

заключенный между

переходит в отрезок мнимой оси,

точками (0,

и

Интеграл примет вид

О)

(О, ) .

,i•/2

·

72

w4

1

1 14i4'

11'4 .

I =

о

wз dw =

4

о

=

47

=

64.

Т р е т и й

с n о с о б .

Положим z = ei'P ( есь р = lzl = J). Тогда

.

ln z = 1/{),.

dz = Je•

i! putp. z. .

В этом

Действительная . nеременная

tp

изменяется'

в пределах О

tp

11'

случае получаем

'2.

t>

Задачи для самостоятельноrо решения

Вычислить следующие интегралы:

1 40.

J z lm z2 dz, С:

,

lzl = l (-'ll'ar g z O).

с

1

.

141 :

Re .i z , С - прямая, соединяющая точки %1 = О, z

= 1 + i .

.J el•l

с

'

2

а)

1 42.

J In.z dz

(In z - r авное значение логарифма)•.

С: lzl

= 1,

начальная

с

б)

z0 = - 1 . Обход nротив часовой стрелки.

точка пути интегрирования z0 = l ;

143.

1/ z Re z dz, С: ' 1. :1 = 1 . Обход против часовой с .

с

1 44. jс

.§ S. ·•· Инrегрнj:Юеанне ф}'fiiкомплексЩf!fЙ. 1;10rпеременнога

· . 47

zzdz;C: lzl = 1. Обход против часоJ)Ой стрелки.

1 45.

j1 i

zt/ dz.

1 48.

1с

Re

z d

i, С:

z

=

(2 + i)t

(О t

l);

. б) · ломаная,

.

'-1-i

а)

состоящая из от-

i+l

i

резка [О,

2) действительной оси и отрезка, соединяющего точки z1 = 2 z2 = 2+ i.

147.

/ (2z + l ) dz .

1 48.

1 z э dz .

1 49.

/(3z4 - 2z3) dz.

' l +i

• о·

1

· 1 SO.· с1 · dz , С: а) дуГа параболы у ";", %2 , соединяющая точки z1 = О и z2 = 1.+i;

.

".

б) отрезок прямой, соединяющий эти же точки.

1 51 . j cos z dz,

С:

отрезок прямой, соединяющий точки z1 = .

и z2 = '11'+ i.

.

с

.

.

!

которой Ji = 1 ;

б) lzl =

1, Re z ; ; ?О;;

д

=

( 1

- i)

..;; .

функции .;;, для

1 52.

с

.fi,

С:

а) вер nоловина окружности

lzl = I;

выбирается.

та ветвь

.

1с

dz , С: верхняя

половина окружности

lz/

= 1;

берется та ветвь

153.

4,-:;

которой

4r.

·

функции w = v z3, длЯ

v 1

= 1 .

1 54.

i

1 55.

i

2

о ; .

.

l+i..

j(z3 - z)e1212 dz.

j z cos z dz..

1 58. j z sin z dz .

о

1 57. .j<z - i)e-• dz .

1 58.

1 i

z + l .

dz

·

!zl

= 1, · Im z ;;?; О,

Re

z ;;?; О.

/ Jn (z·

+ t)

по дуге окружности

.

159.

J i

dz

по оrрезку nр мой, соединяющей точки

z2 = i ,

JJ+i '

z1 = 1

j

z

и

48

Dtaвa 2.

Интегрир ование.· Ряд . :Бескон'еЩ ения

1 61 . j!

1cos+ z

.

'

. {и. : z2 = i.

i

z

dz по

прямой, соединяюшей точки z1

1 62.

-j1

· ; z

о

.

-1 И

z'

.

.

ту

.

по пря

й, .соединяющей точки z1 =

.

2' = i;

i

с.

dz

'

выбираем

ветвь функции v's in z, ддя к торой Jsin(-1) = iv's in l .

1 6

3

.

j

Re (siп z) cos z dz, С: IIm z l

l,

Re z =

­

с

R.e z = 1 . . .

i

1z Im (z2) dz, С:

1 64.

/lm z/ 1,

1 65.

-1• .

ze'2 z.

с

l + i.

1 66.

j tg z dz·, С: дуrа параболы у :::::::r?,соединяющая: точки z = О, z

с

§ 6.

r"iнтегральная . формула Коwи

f Zo)

f(z) dz

(.+о Е D),

' (1)

(

= 21!'t j z - Zo

где контур

С ·

обходится так, что область D.остается

время слева.

ИнтегральнаяС

формула Коши позвоЛяет вычислятьвсе

некоторые инте­

гралы.

Пример 1. Вычислить интеграл

dz.

J

chiz

.

+ z +

lzl=2

4

3

Решение.

Внутри окруЖности lzl = 2 знаменатель дpOtm обращается в нуль

:виде:

f

j

. . ch iz

ch iz

ch iz .

· .

dz =

·.;;3

·

.

z2 + 4z + 3

·

.

1)

dz.

(z + I)(z + З) dz =

J z .;.· (-

lzi='2

1•1=2

1•1=2

§ 6. Интегральная формула Кошн

49'

Здесь z0

.

круге l

z

2 .

-I .

и функция 1

является аналИ111'lеской в

Поэтому

.

ch iz

. (z) = z+

: 7ri.

/

dz=.

2rrif(-l )

=2

ch (-i)

t.

COS l.

1>

1•1=2

z

11'Z.-.-- ::::::11'iCh.

+4z+3

2

.

2

Пример1

2.

Пользуясь ..нт гральной формулой

Коши,

вычислить . инте:­

грал

z1

z с

z2

6z dz,

если:

С:

lz 21 = 1;

j

21 = ·s.

1)

2) С: lz

21 = З; 3) С:

lz

1 ,

Решение.

1) ·

В замкнутой области,-ограниченной

окружностью

lz-2/ =

-

подынтегральная функция ilналнтическая,

поэтому в силу теоремы

Коши

е•2

Функция f(z) = z _ 6

является анвлИ111'lеской в данной области. Лрим:еняи

интеграЛьнуюформулу Коши (z0 =О) , получим

(

1)

11'i

1

'

•1

.

•2

'

1

е.

•=О

= 2rri · - -

=

1•-21=3

- dz= l1ri-e-

z2 -6z

z-6

6

/z - 2/ = 5,

z

3) В области, ограниченной окружностью

имеем. две точки

О, z = 6,

в которых знаменатель подынтегральной функции обращается

в нуль. Неnосредственно ФОt>муЛ.у

(1) применять нельзя. В этом случае

для

вычисления интеrрала можно поступать

. .

1

Л е р в ы-й

на простейшие. Имеем

с n о соб·. Разложить дробь т-

1 . '

так

z -6z

1

l

1

1

zZ-6z=

6

•

Z -

6

Z

Лодстав.Л.я'я: в интеrрал,

.пОJt'уЧЩ.{

!.

---е'2 dz=

l

· ·

·.

d

1

ezl dz

1

l

е36

·· .

ezl z

-

J

-

· .

-· --·

-

-

= -

2rrie3 6 --211'i·

= -1 1ri.

-21"'5

z2 - бz

6

z -6

6

z

6

6

3

1

1 -2/=S

·

lz-21=5

•

•