ТФКП Краснов 2003

Теорема 1. ПоСJIJ!ООt!ательность {z11 ==

Xn + iy11} сходится к

числу

а а + ifj

тогда

и

lim Xn = а,

lim

Yn = }3•

только тогда, когда

n-.oo

n-+oo

Пример 1.

Доказать, что nоследовательность

Zn

n

- i

n = 1, 2, ..•· ,

= n

+ 1 ,

имеет nределом число а= 1.

·Решение.

Пусть зЭдано nроизвольное числ t:: >О. Покажем, что сущес-rвует

такой номер N,

что jz" -

н < е, юiк TruThKO

n N. Так как

\z" -

l

=1

::

- 11

=

1

:

1

=n

\

'

то неравенсТво,

lz,.- 11

< е

будет выnолнено, если·.

vl2

l

е.

v2-

1•

Значит, в качестве N

n + 1 < е, т.

при n > 7

можно взять

Здесь символ(

1а:]

N:::N(t::)= 7- t +l.

z.

означает целую часть действительного числа

[,;;.

] .

Доказать,

Пример 2;

ть nоследоват

имеет предел а..

Пус

ельность {z11}

что nоследовательность {!z111} имеет nредел, равный jaj.

Решение.

В самом дме, так как Jim z,. = а, ro

(l)

lim

jz,. - al = О.

n-oo

чисел, получим

i

i

'

,

"

e

y

= e

'!'+ v

=е

чт требовалось

lim (1+:_)" = e

R'""'+OO

n

t>

о и

доказать.

Пример 4.

Доказать, что последовательность

z,. = arg

--

,

n = 1, 2, . . ·. ,

( о1)"

n

26

Dlaвa \;' ФункЦии КОМI'IЛ8КСНОГО

4

Оnредеnение 3. Окрестностью точки z0 плоскости комплексной

переменной z называетсЯ всякая область, содержащая

точку;

окрестностью точки z0

называется множество всех

точек z, лежащих

эту

б­

внутриz,круга радиуса 6 с центром в точке

z0,Zol т. е. множество всех

точек

удовлетворяющих неравенству lz-

< 6.

S1

Пусть фующия f(z) определена в некотороЦ: окрестности

точки z0,

кроме, быть может, с:tмой точки z0•

Оnредеnение 4.

Число А называется пределом функции f(z) в точке

z0, если ДЛя любого числа е

> О можно указать такое число б=

О <

lzz01

для

енство

б(е) >

О,

что

всех точек

i

удовлетворяющих

условию

z

l

.

<е.

В этом случае пишут

IJ(

)·- A

lim f(z) = А.

Здесь предполагается, что z0 и

А

-

конечные

точки комплексной

плоскости.

'

," ' , ,

'

.

Приведем еще одно определение предела фуНКции в точке. Пусiъ

функция f(z) определена в нек:оторой

окрестностИ

S1

тОчки z0, кроме,

быть может, самой точки

ZQ.

·

·

§ 3.

nредел пооледовательности комttлексных чисел

21

Оnредеп8ние 5.

Если для любой nоследовательности {z,J, z". ::/:.

ZQ,

сходящейся к ТО'!Ке z0, соответствующая ей nоследовательность эна·

чений функции {/(zn)} сходится к одному и тому же комплексному

числу А, то число .А называЮт пределом функции /(z) в точке zo:

lim /(z)

= А .

Здесь конечность Zo и А не предполагается.

Существование предела Iim /(z) , rде

zo + iyo,

/

(z)

= u(z,

у) + iv(x,

у) ,

Zo =

равносильно существованию двух пределов

•

lim u(z, у)

и

lim v(z, у) ,

....

Z +Zo

:1';y-tyo,.,0

' 11-!1

v(:z:,у) .

причем

lim /(z) = im u(z, у) + i lim

%-+Zo

ZO

S....%0 ,..

!l""'!lo

11-11о

Пределы функций комплексного перемениого обладают следующими

свойствами.

·

Пусть существуют пределы

lim f(z) = А,

lim g(z) = В .

Тогда

z...z,

Z-tZo

lim (/(z) ± g(z)] = А ± В,

lim [!(z)g(z)] = АВ,

lt·m j(z) =

А

·

в i= о.

z->zo g(z)

В

,

Определение 6.

Функция /(z) , Заданная в области D, называется

30

ЕслИ:

IЛава 1. ·Функции комплексного п_,."нноrо

z = ж + iy,

w = f(z)

:::::::

в каждой точке

и(ж, у) + iv{#i g);

то

дифференцируем ти

f

(z) въtnолняiО'l'Сй

ос

функции·.

I:Ju

I:Jv

соотношения

au

av

(2)

- = -,

- = --

дж

I:Jy

I:Jy

аж

ной точ"е z

D, если (}на дифференцируема как в самой точке z,

так

и

пекоторой ее

окрестности.

Функция

j(z) называется

анали­

Е

тической

области

если она дифференцируема в каждой точке

в

а

в

этой

л

и

любой аналитической

j(z) имеем

. Для

D,

функции

об

ст

. I:Jv

1 .

au .

I:Jv

ди

=

ди

ди

дv

дv

f

(z) = -.-

+ t- = -

i-

ах

- i -

= -

- .

(3)

дж .

. дж

ду ,..-ау

ау

{)у +

iрж .

·

-

Пример 1.

Показать, что функция

w

=

ez

является аналитической

во всей комnлексной nлоскости.

Решение.

Имеем ez =е"'(cos у + i sin.у),.так что

tф:, у) =е"' cosy,

v(ж, у) =е sin у.

Следовательно, функция

w

=е• всюду аналитическая. Для f(z)

= е•

nолу-

чаем соrласно формуле (3)

,

(е•)' =(е=cos у) 1+ i(e"' sin у) = '(cos у + i sin у) :::::е•.

t>

Итак, (е")' = е•.

Пример 2. Является ли функция

w

zz аналитической хотя бы

в одной точке?

Решение. Имеем zz=z2+ 1i, так что

u(x, у) =:с2 + у2,

v(ж, у) :::

О.

и удовлетворяются тмько в течке (0, 0).

z1H О

аналитична. ,

w = zz

Следовательно, функция

дифференцируема rолько в теЧке

и ниrде не

l.

Az

1'

-М

Al'z-o

А- = lim

L.lZ -

А

О

.

А/

·Az.:..11

Llz

(А

tL.l'y) =

1m.

.1m

Az .

=

1m

"'z

.

-о

- =

'

......о

Таким образом,

Av-o

проиэводная /'(О) существУеТ и равна нулю.

Пример Э. Является ли функция w = z = ж - iy аналитической?

Решение. Здесь t1 = (а:, у) = z, v(:r, y) = -у -

ВСЮдУ

.

дифференцируемые

функции переменных а: и у. Далее

дu

дv .

.

Так что дж

:1: ду , т. е.

первое .из условий Коши-Римана не выполняется

лексной nлоскости.

.

щ1 в одной точке комn w

=

z

Значит, функция

- нИгде не дифференцируемая, а следоватеЛь.i:о,

и не аналитмческая.

·

t>

109.

Локазать, что

nереходе от декартовых координат (z, у)

к nолярным

(р,

rp) условия Кошиnри

-Римана (2) принимают вид

ди 1 дv

/JtJ

1

дu

(4)

др = р IJ!p

-

:::::--

др

р д!р .