ТФКП Краснов 2003

Решение. Данная область (рис. 37) является «четырехугольником» А1 А2АзА4 с углами

= cl (v9-=t + arcsin ;) + с2.

Здесь мы использовалИ тот факт, что С2 - произвольная постоянная, что позволило заменить определенный интеграл неопределенным.

Используя данное соответствие точек, нахоДим С1 и С2 • Имеем

Задачи для са остоятельного решения

515. Найти функцию w = f(z) , конформноw отображающую верхнюю полуплос­ кость Im z > О на область плоскости (рис. 38) так, чтобы имело место соответ-

ствие w(A1 = О, А2 = i, Аз = оо)-+ z(a1 = О, а2 = l, аз = оо).

где i и j -·орты координатных осей Ох и Оу соответственно.

Так.как точка (х, у) в плоскости хОу и ее радиус-вектор r = xi + yj являются изображением комплексного числа z = х + iy, где i - мнимая единица, то вектор а = Р(х, y)i + Q(x, y)j в свою очередь будет являться изображенИем комплексного числа Р(х, у) + iQ(x, у). Поэтому вeiqOp а наряду с (1) можно записать в виде

·а = Р(х, у) + iQ(x, у).

Следовательно, векторное поле ( 1) моЖно задать, указав две действи­ тельные функции Р(х, у) и Q(x, у) дв)'Х действительных переменных х

·

и у или одну функцию комплексного перемениого z /(z) = Р(х, у) + iQ(x, у).

Приложенив функций комплексного переменнаго к гидродинамике

Стационарное безвихревое плоское течение несжимаемой жидкости полностью характеризуется аналитической функцией

f(z) = u( . у) + iv(x, у),

которая называется комплексным потенциалом или характеристической

функцией течения. Действительная часть u(x, у) и мнимая часть v(x, у)

назьiваются соответственно потенциальной функцией и функцией тока. Линии u(x, у) = const называются эквипотенциальными линиями или

линиями уровня. Линии v(x, у) = const назьшают линиями тока.

Каждая частица жидкости движется по линиИ тока.

Известно, что скорость V течения жидкости, задаваемого функцией f(z) в любой точке z = х + iy, определяется Как по величине, так и по направлению комплексным числом

V = Vеitp = тт.-oz + z. Voy = ,f --z() = ди + z.ди,

дх ду

позволяющую находить циркуляцию и поток с помощьЮ вычетов. В том случае, когда производмая f'(z) (а значит, и сК:оростБ V = f'(z)) имеет конечноечисло особыхточек Zk (k = 1 , 2, , . . , n),

n

ГL + iNL = 211"i L res /1(zk)·

1 k=l

Точки, в которых V = О, а значит,,и f'(z) = О, называются критиче*

скими точками течения.

·Прммер 1 . Движение жидкости звдается комnлексным nотенциалом f(z) = z2• Найти nотенциал скоростей, функциЮ тока, линии уровня, линии тока, величину и наnравление вектора скорости V, nроекции в,ектора скорости Voz и Voy на оси координат Ох и Оу.

Решение. Полагая z :t +iy, меем

J(z) (z2 - у2) + i2zy,

циркуляцию ГL no ней.

Решение. Находпм nроизводную комплексного nоtенциала

/'(z) = 1 1 ' Cth 1rZ,

f(z) = 2жу + ch ж sin у+ i(y2 - z2 - sh z cos у),

или

Задачи для самостоятельноrо·решения

Течение жидкости определяется комплексным потенциалом. Найти потенциlщ скоростей, функцию тока, линии уровня, линии тока, величину и направЛение вектора скорости, проекции скорости на оси координат.

522. Построить комплексный потенциал течения жидкости, если и вестно урав-

523. Построить комriлехсный потенциал течения жидкости, если известно урав-

524. Найти циркуляцию по окружности lz ±al = а, если известен комплексный

·

потенциал течения жидкости

· /(z) = .Si ln (z2 - а2).