ТФКП Краснов 2003

146

Глава 4.

Конформные отображеttия

СогЛасно nринцилу взаимно однозначного соответсr ия границ nолучим,

что заданный сектор nереводится функцией Жуковского в область

u2'- t 2l

> -21 '

и > т.fi·

v < о. !

Прwмер 22. Отобразить на верхнюю полуплоскрсть единичный. круг

в разрезом, идущим от центра по действительной оси.

Решение.

1)

С помощью функции

w1 =г

.;fZ отобразим единичный круг

на верхний

ОА

[1, О],

полукруг. При этом верхний бере

разреза

[-1,

т. е. отрезок

остается наместе, а нижний берег

ОА!

перейдетв отрезок

О]

на плоскости

W1 •

2)

С

ПОМОЩЬЮ

функцИИ

w,

+ 1

w2

= --

в точку

О.

w1

= 1

1)

w1

- 1

w1

=

2

w2 = оо,

3)

w2 =

При эrом точка

ПереЙдет в точку

а точка

- 1 переЙдет

Наконец,

с

nомощью функции

w = w

отобразим nервый квадрант

на веJ>\!:нюю полуплоскостъ.

[>

.

w = w = (w, + 11)2 = (V%"+ 1)2

Окончательно nолучаем

w, -

Vz - 1

Пример 23.

Найти функцию, отобра­

жающую область, заключенную мему

двумя окружностями, пересекающи­

мися в действительных·точках z = а

И

z

=

Ь

(а

<

Ь) под

углом 1ГЛ,

О

< Л < 1 (рис.

28),

на верхнюю

полуплоскость

Im w > О

так, чтобы

точка z

=

а

перешла в точку w =

О,

а точка z =

Ь ':"""точкув

w =

оо..

Рис. 28

1

cos .Y!..

u = 2'

v =

-

.

2 sin

2

Таким образом, окружность jzj

2 nреобразуется функцией tu1 =

в nрямую

u = 2'

v =

2i,

и z3 = -2i

.

z2

= -2

пробеrаемую снизу вверх (рис. 32). В частности, точки z1 =

w =· 2,

' 2 ,

w = l + i

Эта

же

функция'

nерейдут в точки

1 - i

w =

l

. . .

nереводит

148

Глава 4.

Конформные отображеНИR

окружность lz - l l =

в nрямую и = О,

-оо <

v

< +оо.

&саkrом деле

в (13) значение z

11+ ei , nолучим

r.p

, nодставпяя '

.

.

.

+ 1

соs

w1

u1

е'"

.

==

+

tv1 =

-. --1

2

= - siri--'" ,·

e•'f

-

2

·

откуда

!:.

r.p

cos -

'

·

u, = - -

sin 2 .

f2·

rде

иЗменяется от 211' до О. Значит, коrда точка z npOGeraeт окружность

·то соответствующаяr.p

точка

nробеrает nрямую Г2

(ось' ti1 на nлоскости W1 )

w..

z

= -,

12,

сверху вниз. При отображении w1 =

z

-

внутренняя точка

z

l обла-

.

стн

D

--2

1

переходит во внутреннюю точку w1

nолосы П1

(рис. 32). Сле-

z

= З

области D на

дователъно, функция w1

= . --

осуществляет

ощбражение

. z - 2

полосу п•.

Рис. Э 2

Рис. ЗЗ

2) Функция: w2 = 211'iw1 переводит вертикаJlьную nолосу

П1

<

,

-оо < v1

<

+оо}

в rоризонтальную nолосу: {О < u1

{-оо < и2 < +оо,

О < v2 < 11'}

(рис. 33).

· § 13. Конформные отображения .

149

508.

Найти дробно-линей'ную функцию, отображающую·

область· ·

.D: {lz+ 1 1 > 1 ;

lz + 21

< 2} на полосу Р: {О < lm w < 1 } .

509.

Найти функциЮ, отображающую лунку между

двумя

окружностями

lz - 1 1

= 1 , !z + i/ = 1 на полуплоскость Re w > О.

.510. Исnользуя функцию Жуковского, найти функцию, оТОбражающую кольцо

2

25 + 9

u

v

= О

.

1 < !zl

на область u2

v2

1 с разрезом -4 .

4,

51 1 . Отобразить

верхнюю nолуnлоскость Im z > О с исключенным nолукругом

1z1 < 21 в круг 1w1

< 1.

512.

z < i

Найти конформное отображение сектора О < arg

11' на едипичный круг

!wl <

1 так, чтобы точка z1

=

е;"116

перешла в центр w1 =

О , а точка z

=

О

щ:решла в точку w = 1.

4

2".

на первьф квадрант.

513. Отобразить полосу О < х < 11'

О < arg w < 11'

11'

11'

·514. Найти области, в которые функция w = tgz nереводит:

а) nолосу.

-4

< Re z <

4;

11'.

угольника его внутренность остается слева.

Пусть аr?Г, а21Г, . . . , an11' ..,..

внуrренние углы

nри вершинах А1 , А2, •

• • , An соответственно,

где

а1, а2, • • • , an -

действИтельные числа. Так как сумма всех внутрен­

них углов n-угольника должна быть равной (n - 2)1 1 ' ,то

+ а2 + . . . + an = n - 2

(n > 2),

1

где каждое . из чисел а1 , а2, . . . , an не больше 2, то есть О

< а с

2

155