ТФКП Краснов 2003

' '•

126

·; '· \

Глава 4. Конформные отобраЖейп11

одна

лежит : в· ·

D),

сим­

метричные относительно

отображаются

точки wl,1

и Wz,

симметричны8 е отно­

сительно прямой L.

Пример 2. В области D,

@

ограниченной контуром 1:

·..

z2 + у2 - 2ж = 0,

.задана функция

L

w = 3z + i.

В какую облает!:> перейдет

D при отображении, осуще­

Рис. 15

ствляемом этой.функцией?

u = 3ж, v = Зу +w1 .:::::+

перепишется в вИде u

iv = 3ж + i(3yw +

i

Решение.

Пусrъ z = ж + iy,

=

u + iv. Тогда соотношение

3z

u

(v - 1 )

+

1) , так что

Отсюда

ж = 3'' у = -3- .

. Контур 1

отображается

в контур

Г:

2

(f}

"

'

2

(u )

" )' 1

tl

О, или (u - 3)2 + (v - 1)2 = 9,

з

+

. --

- 2 · з

3

обхода контура

В

этом.

можно

убедиться, задав контуры параметрическими уравне»иями:

Г.

1

О < р < 27Т, ·

1: ж = l + cos <p,

y = sin <p,

Г: u = 3 + 3 cos <p,

v :::::З sin < p+ l,

O < p < 21r.

Согласно принцилу взаимно однозначного соответствия границ область

ото­

бразится в область .G - внутренность области, ограниченной окружностью

·

D

Это можно проверить еше так: 'Взять любую точку z

и найти ее· образГ. .

при отображении

= 3z + i .

Наnример, точка

z

=

nереходит в точку

= 3

1

Е D.

w

+ i,

которая находитсяwвнутри коНтура

Г.

·

·

Пример 3. Даны точки

1>

z1

= 2 + Зi

и

z2 = 3 + 2i,

симметричные

относительно

прямой

у

= ж. Показать, что функция w = e-i1rl2z

перевоДит z,

и Z2 в точки WJ = 3 - 2i

и W2 = 2 - Зi' симметрИЧI;iЫе

относительно nрямой v = -и.

w = e-i·rrf2z

Решение. Нетрудно nроверить, что функция

отображает nря­

z1 = 3 + 2i

zw2

2

+ 3i,

симметрич ные

силу

мую у = ж в nрямую v = -u.

Функция

3

= e-i•rf2z

аналитична всюду.

В

1>

относительно

"'•nрямой v = -u.

w1

w2

2 ....

nринцила симметрии точки

- 2i

=

Зi,

относительно

прямой у

перейдут в точки

и

симметричные

=

rде а - действительное число, осуществляет преобраЗо&аiЦiе цоворота

вокруг начала координат на угол а.

3.

w = rz.,

(3)

w = a.z + Ь, rде

(4)

осуществляется путем последовательною nрименения:

2

поворота вокруг начала координат на уrол

а,

l)

)

иреобразования nодобия

с;:.

центром nодобия в начале

координат

и коэффициентом nодобия, равным r'

3) параллельноrо переноса с помощью вектора, соответствующего ком­

плексно числу Ь.

Отметим, что линейное иреобразование оставляет неподвижными

ь

и

= -- . При а . =

nолучаем

случае обе неnодвижные точки совnадают.

линейное отображение'w

az

вnолне

Пример 5. Показатьпотребовать,

,

чтобы две различные= точки z1

и

z2

оnределяется,

если

ЧТ()

ь

.

nереходили соответственно в произвольно заданные, но различные

ТОЧКИ W1 И W2.

Решение.

ствлено,

если известны значения щtраметров

az2

Ь. Покажем, что наши условия

w1

+

эти

w

=

z1

получаем w

=

w1 ,

nозволяют однозначно найти

nараметры.

Пу.сть nри z

а и

т. е.

= at1

Ь, а при z = z2 получаем

2 =

+ Ь.

Из· этих равенств находим

- WtZ2 -

=/:

а =

---1

W2 -. W1 ,

Ь

W2Z1

(z,

z2).

Z2 - Z

Z2 - Zt

r>

Полученные с ношения однозначно определяют nараметры а и Ь.

Пример 6. Показать, что линейное отображение (4) можно задать,

nотребовав, чтобы точка z1

nереходила в точку w1 и чтобы nроизводная

· dw

в точке z,

.

z

-d

имела заданное значение а.

а

Ь.

Решение.

Чтобы задать отображение (4), надо задать значенИй параметров

.и

Из условия, что точка z1 должна nереходить в точку w1 , nолучаем w1

az1

·

=

dw

=dw

+Ь.

Вычитая это равенство. из (4), получим

w - w1

что

d·z

= а

a(z ...z1),.. Очевидно,

-

nри веяком z . Поэтому, задав значение производной dz

в точке z1, мы определим

nараметр

Линейное отображение w

w1

=

a(z - z1) тем самым полностью

определеноа,(параметр Ь

w1 - az1 ).

..._

r>

§

13.

у

·

129

К(f: Формные отображения

Пример 7. Найти

линейную · функцию,

отображающую

треугольник

с вершинами в точках О, 1, i в hлоскости z

на nодобный ему треугольник

с вершинами 1

+ i, О, 2 в nлоскости w.

ДАВС

Решение.

· П е р в ы й с n о с о б . Из рис.

видим, что

переходит

в nодобный ему 6 А 1 В 1 С1 nутем. следующих оnер16аций:

1)

.

5

поворот вокруг начала координат на угол

411',JITO соответствует n реобра-

зованию

2)

преобразо вание nодобия с цент ом в начале координат и коэ

ициентом

r

так как

А , в,

=

•

р

фф

vr::::(

АВ

. r::::

.t.

v2):

w2 = v'2w 1;

параллельный перенос,

С(О, О) в точ

(

l

(полу

3)

смещающий

точку

ку C1

l ,

)

l + i):

чаем Ь

w = w2 + t + i.

итывая

w = v'2

-т - ..

-

v'2

i

.v'2 z + 1 + i = (1 - z)(l + i).

Уч

, что е'.л14

получим окончательно

(

v ; - V:)

= az

О

а

и

Ь ­

S т о р о й с п о с о б . Пусть искомая функция есть w

2

+ Ь, где

пока неопределенные константы. По условию задачи точки

z1 =

и z

1

уравнений

оn

ветствеа

Ь:

=

·

для

ределения

и

{ О1 =+ аi

+ ьЬ,.

=

Оrсюда а = -1 - i,

Ь 1 + i,

а значит,

w == (1 + i)(J - z).

а)

w

=

z + Зi;

б)

в)

w = Зz;

1 - i

r)

w = ti"16z;

д)

е)

w =

v'2 z .

465. Найти общий вид линейных функций , с помощью которых осущесТВJIЯются

nреобразования:

а)

верхне й nолуnлоскости на себя;

б)

верхней·полуnлоскости на нижнюю. nолуnлоскость;

в)

верхней полуnлоскости на правую nолуnлоскость.

Zo

466;

Найти линейный отображения w

+ Ь , оставля ющие точку

непо­

дцижной и nереводящие точку z1

в точку=w1az:

а)

z0

=

l -

z1

= 2 + i,

w1

=

4 - Зi;

б)

z0

-i, i,

z1 = 1

2i,

w1

2 - Зi ;

в)

=

- 1 - i,

z1

=

3

-

w1

=

Зi.

Zo =

-2i,

=

467.

Найти линейную фуНкцию w

f(z) , отображающую no.tlocy, за101юченную

между прямыми z = а, ж = а + h,

на полосу

о < и < l в

пЛоскости (w) .

=

(5)

z

чтобы круг был единичным. Для этого достаточно потребовать, чтобы точка z = О

(граничная точка областц Im z >

О)

перешла в точку единичной 'ОКружности

/w/ = 1 . Тогда

отКуда /К/ = 1 ,

1 = /w/ = /K/ ·.j;:j.

так что

K = eia,

где а - любое действительное число. Итак,

t>

(9)

Замечание. Найдем производкую w' в точке z0 = а + iЬ (Ь > О).

1

.

.

1

( -r

2

ei a

/2)

или

w'(zo)

= -е•а

· е-'"'1

=

---.

1Г

'

2Ь

2Ь

.·

Значит,

так что по геометрическому смыслу rrр изводной

arg u/(z0) = а - 2,

при отображен:и (9) угол поворота кривых в точке z0

равен а - 2.

По теореме Римана существует единственное отображение w = w(z)

· полуплоскости Im z > О

на

круг

/w/

< 1 ,

удовлетворяющее

условиям

.

arg w' (z0) = а - 2.

на круг

имеет вид

9

отображение полуплоскости

Im z > О

jwj < 1

(

).

Пример 13. Отобразить единичный круг lzl

< 1

на единичный круг

lwl < 1 .

Решенне.

Пусть искомое дробио-линейное отображение w = w(z) пере­

води1 точку z0 ,

ри круга

/z/ < 1 ,

в

ентр круга

так

находящуюся внут

1

Ц

.

\w\ < 1 , .

что w(z0) = О.

Тогда точка z0 =

z

симметричная относительно единичной

=o- ,

w(z ) = оо. Тогда по формуле (8)

окружности \z/ = l, перейдет в точку оо,

т. е.

получим

z - z0

z - z0

или

w = K1

,

w = K --- ,

t

=-

1

z - -

- zzo

:Zo

где К1 = -КZ0 - некоторое постоянное комплексное число.

Подберем постоянную К1

так,

чтобы круг в плоскости

w бъm единич­

ным. Для этого достаточно nотребовать,

чтобы точка z = 1

nерешла в точку

на единичной окружности /w/ = 1 . Тогда получим

•

/К1 / ·

1

z

1 = / щ/ =

- o

--::l-,

1

- z0