ТФКП Краснов 2003

Добавил:

Morze Developerrnrn Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

ос (-1)" .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.04.2022

Размер:

15.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

106

Глава З. Вычеты функци

;

ПереЙДII в(14) к qределу при

R -+

оо,

yчewм (iS),-(16), и (13) будем иметь

или

откуда лолучаем

Пример 13.

Вычислить интеграл

(О < а <

e"z z

dж

1).

oo_l

+ е

-оо

Решение. Выберем вспомогательную функцию

f(z) = 1

е"'

е•

сторонами 2R

и 211').

ВнутрИ

· и контур, указанный на pиc. ll (прямоуrtmьник со

= 1ri,

этоrо ксщтура f(z)

аналитична, за-исклJQчением точки Z

которая явл.яется

для нее простым лолюсом

С r ---------

---- --

211'

RА

-R

Рис; 1 1

По теореме Коши о вычетах

	z	) d	z +	J J(z) dz
jf(		) d		J J(z) dz
DA				АВ

+ j f(z) dz' + / /(z) dz = 211'ie'иri.
ВС	CD

( 1 7)

На отрезке .VA:

Jlfa отрезке АВ:

§ 1 1 . Теорt!J маКощи о вычетах

z = Ж

-R '

:е

' R; nоэтому

il! "'

dz.

/(z) dz =

-R

z =

y, О ' у ' 2r;

nоэтому

eez

•

e"(R+iY)

eaR

1 .

eR+iy

' eR

+ е

= .

107

(18)

Значит,			J			O < a < l). ( 19)
\ J	\	,		e: l dy= : : -О+ nри	R - + o o (ибо
АВ	/(z)dz		О

Аналогично получаем ·

2r - + О при

1 j

/(z) dz\

: н

- - оо+ .

На отрезке ВС: ·

z = z + 2'1fi; - -R ' : е 'R; поэтому

ВС

-R

e/Jil!

d:e.

е"(н2,.i)

.-R

/(z) dz=

+ е"

- .

пределу

учиrывая

Переходя к

(

1 7)

оо

при R - - +

(18)-(2 1), получим

· j+со

е""

е'""

d:e - е24"'

+ е"

dж=

21Гiе11"'.'

+ е"

-оо

откуда

+oo

e/Jil!

2'1fie"1

}

d:t=

-оо

11'

- sina'lf

11"1 -

Задачи дnя самостоятельного решения

Вычислить следующие. интеrралы, содержащJiе похазательную функцию:

(20)

(21)

407.

00		2
J	е-" '	cos
	е-" '	cos

Укаьзание.

и 2а '

Ьz d	(	>_ 0,	Ь >
ж	а	. .
.		. .	2

Взять /(z) = е-а•

0).
.	'

, контур - прямоугол• ьник со сторонами 2R

108

. Глава 3. Вычеты функций . ·•

408..

+оое<""1 + ее"'п;

(О < а < 1,

О < Ь < l) .

-J

оо

е"'

- еь• ,

Указание.

Взять f(z)

коmур - как на pиc. ll.

1 + е•

4. Вычисление интеграл ов вида

211"

jR(cos x,

sin x) dx,

(22)

где R - рациональная функция аргументов cos

х и

sin

х,

ограниченная

внутри промежутка интеГрирования.

Полагаем

z, тогда· . dx·

e•z =

-;-

z2 + 1 ,

z2 - l

COS· Х

2z. -

SlП Х =

- tz

21Г .

-2 .-

Очевидно, в этом случае lzl = 1, О

Интеграл

(22) принимает вид

J F(z) dz,

(23) .

где С - окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Согласно теореме Коши о вЫчетах интеграл (23) равен 21Гui, где и есть

сумма вычетов относительно nошосов, · заключенных внутри окружно

сти с.

Пример 14. Вычислить интеграл

(а

1 -

> Ь > 0).

- j (a + b cos x)2

Решение.

Применяя nодстановку e':t = z , лолучим nосле nростых nреобра-

зований

4 j

(Ьz2

z dz

. Ь)2 =

I = - : .

2az

-:22ri

.Е res F(z..,) .

иничн

k=l

ого круга nри условИи, что а >

Ь > О, IWtодится только один

ВнуТри ед

полюс (двукратный)

= -а + ·

3°1 ..

тов.

§ 1 1 . Теорема Коши о вычетах

109

тоrо

res'"'f'(zJ)

. >

		F(z)		z		2
полюса			(Ьz2 + 2az + Ь)
полюса					)
_	.	.!!·(..z		z - z, )2 .	)
-	lim dZ ьz(Z -(Z1 )2(Z - Z2)2
	Z-+Zt

(а2

Ь2

)	-З/2

Итак,

	2	п-а		Э/2 .
I :::::2		2	)
(а	- Ь

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить следуЮщие ищеrралы:

40. 9

•

О <р < l

•

j l

)

- pcos z +p2

411. •

(р > l).

о-\l - cos2р cos2z zdx+р2

413.

•

dж

(а > 1).

a + cos z

415.

2.-

•

dx (а > Ь > О) .

.х

а+ Ь

со8

416.

/о2r

(О < а < 1 ) .

+ а COS X

417.

2.-

(О < Ь < а) .

а +

cos x

41О.

412.

414.

•	.	-.	•	r (О < р <
1·о	.		co_s 2За: dx+		1).
1·о	l		2р cos. 2z
1			cosa:dzа:
2r
1-.: - --.:-----:---:;(O -< p < l) .
о			2р sin + р2
о
"				(Im a > O) .
j ctg (ж - a) dx				(Im a > O) .
о

Суммирование некоторых рядов с nомощью выче

за исключением конечного числа·полюсов z1, z2, • • • , z; , не совпадающИх ни с одной из точек z = О, ±1, ±2, . . . , и nусть /(z) удовлетворяет условию

Пусть функЦия /(z) аналитична на всей комплексной плоскости

110

Diaвa 3; Еlычеrы функцнА '

/(z) = O(z-2) при z . .

n=00-oi:>' L

_ . с1>о. Тоrда

J(n) = -11' m=lLk

z=Zmres

[/(z) ctg1l'z}.

(24)

Пример 1 5.

Найти сумму ряда

n=1

а2 '

L n

где а ::f:.

О .

Решение. Рассмотрим функцию

/(z ) = z2 + а2 .

z1 = ai

z2 = - ai,

являются простыми полюсами. Таккромекак

точек

t<оторые

Эта функция

всюду аналитична,

f(z) =

(·· + а

2 )

z 2

= О(z-2)

nри z - .оо.

+ a2

то отсЮда следует, что

.z 2

. z2

Применяя формулу (24), nолуЧим

. res

-· -- + res

РЕО

---1

-11'

n=-oo n2 + а2

· .

( .

ctg 11'Z

•=-ai

Ctg 11'Z )

z2 + а2

а2

Для функции

• ai

ctg 1rz

-az являются простыми полю-

-- точки z1 = at и

сами,

+ а

ct. g 1 1z' 1•=••

k = 1, 2.

= cfg. . 11'Zk '

res

ctg 1rz

а значит, ее

вычеты

будут

равн. ы

Тоrда

'"''• z 2 + а2

. 2z

2z.t

п=-ес n + а

- at

а-

сЕо

( ctgдrai

ctg (

1rai) )

11' .

•

Т"'"2

-11'

--.-

Заnись •/(z) = O(g(z)) при z - +

оо•

означает,

что,

соотношение /((z))

при

Z - +l)O Q:

/(z)

С,

оrраяичено.

1g(z) 1

где

С = const,

С > О.

§ 11 . Теорема Коши о вычетах

Ряд в л ·!!ой части последнего равенства можно записать 1!

111

следуЮщем виде>

""		1			. . .					1
Е n2 + a2				_	. . .		+ {-n)2 + a2 + . . .
+		1	2	_		2	1	2	+	22	1	2	+	;
	О2	+ а	2	-\	1	2	+ а	2		22	+ а	2		;
	О2	+ а		'	1		+ а				+ а
				\
Отсюда нЦо1 nим, что
					i

.	.

(-2)21 + а2 +

1· .

+n2 + а2 + .

(-1)2 + а2

1	+	2
. . = а2	+

()О L: n=l

1 n2+ аГ

Искомая сумма данного ряда будеТ'

равна

cth

. 1

1ra cth 1ra - 1

L:n=l

-2--2 = -2

- =

n + а

'll'a - а2

•

Задачи дпя самостоятельного решения

Найти суммы. следующих рядов,

в которых число а не является целым:

418.

419.

ос

Е n2 - а2 '

Е n4 - a4 ;

n=l

420.

a)2 '

421 .

Е=О

(2n

1)2 ·

n=-oo

2. Пусть функция 1(z) аналитична на всей комолекспой плоскосrn, кроме конечного числа полюсов .z1, z2, . . . , zc , не совпадающих ни с одной из точек z = О, ±l, ±2, - . . , и пусть /(z) удовлетворяет неравенству

rде e(Jzl) -+ О при z - +оо, z

е Gp;

а < 1r.

Gp -

(25)

. О

вся nлоскость

Zml - Здесь

с вЫброшенными из нее кругами lz -

р,

, k.

Тогда

справедлива формула

= -11'm=t·t res

- n•;..-<»_ ,

11'Z

(- l)"/(n)

(z) .

(26)

z=z.. Stn

112

Глава 3.

Вычеты функц n ., ·-

·i

Пример 1 6 Найти сумму ряда

оо

(-l)n ·

L::

+ а2 ' а # О.

n=O

Решение. Функция /(z) =

:r:-а::2

::::: ai

имеет два nростых

и z2 = -ai и она удовлетворяет УСЛ\}В ИЮ (25), так как

]/(z)l =

lz/2

здесь а = О,

lz2 + а21

lal2 '

lzl2

t:(lzl)

- lal2 - + Оnри z -+ оо.

Применяя формулу (26),

nОЛучим

(- 1)"

= -1r

( res (z2

res

--n2 + а2

а2) sin 1rz. +

(z· .2+ а2·

) sin 1ri ).

z=<>i

z",-ai

·.

k = 1, 2:

Находим вычеты функции (Z2 +а2) SШ•

1ГZ в точках Zc,

res

----'''--,...--"=..----

•=ZJ: {z2

+ а2)

sin

1ГZ

2zk

sin

'IГZJ:

+ (zi + а2)1Гcos1ГZt '

откуда

res

sш

'II'Z

2ai

sin

1rai

2а

1ra'

'"'"' (z2

+ а2) .

r e

s .

sin

2а

+ а2)

1ГZ

1ra

•,._,.; (z2

Следовательно,

Далее имеем

(		(-1)-n .							. . . + (
		u .			а2 +
	"-n1		+
	(-1)1			+		( - 1)2				+
-						-
1	2	+ а	2			2	2		2
								+ а

(-1(2				(- 1)- !
-2')2	+ а2 +		(-1)2 + а'2 +
.	(-1)"		.		2l
. . . +	--			+ . . . =		+ 2
	-2	2
	n	+а			а

ос ---
(- 1)"
2 :		2
2	+ а
n=l n

Отсюда
а значит,
""	2-1)"2
.?; n		+ а
	(

00 ( -1)"

Еl n2 + а2

=	1	""	(-1 )		"2	+		1	2	=
	2		2					а
		.. n		+ а			2

. 2а

1Г

'/Га	+

2а

· =

1 а

(

1ra sh 1ra

)

12'

Логарифмический вычет.

Принцип аргумента. Теорема Руше

1 13

•, '%, r

' Найти

я самостоятельного решения

. следующих рядов, считая число а нецелым:

.сумм

(-1)"

422.

а>

•

42з. 2:n=O

n=2:-oo (

+ ·р.

424•

L..J-

п2

а2an , -11' < а < 1 1. '

(

1)"cos

(-1)"

n:::=-oo

•

2)2

•

42s.

(

n=-oo

§ 1 2 . Логарифмический вычет. · Принцип аргумента . Теорема Руше ·

Определение. Логарифмической производной фунКции f(z) называ ется функцИя <p(z), являющаяся производной от логарифма функ-

ции /(z) :	·

<p(z) = [Ln f(z)]	'=/'(z)
	f(z)."
Особыми точками функции <p(z) могут быть только нули или особые
точки функции /(z) .
Вычет логарифмической производной функции f(z) относительно

точки, являющейся нулем функции /(z) , равен порядку нуля, а относи тельно точки, являющейся полюсом функции, - порядку этого полюса· со знаком минус.

Пример 1 .	Найти вычеты логарифмической производной функции
			f(z)	= -
			f(z)		sin z
					z + I
относительно ее нулей и полюсов.
Решение. Данная функция имеет бесконечное множество простых нулей
z = k11' (k = О, ±1,	±2, ....) и один простой полюс z = - 1 . Отсюда
res	f'(z)	= 1	(k = о, ±1,		±2, ...),	res	f'(z)	!>
res		= 1	(k = о, ±1,		±2, ...),	res	f'(z)
z=kж	f'(Z)					•=-1	f(z) = -1.

1 14	D:Iaвa 3.	Вычеты функций	·.· .•..
		Вычеты функций

Задачи для самостоятепьноrо реwения

нулей и полюсов:							функций	отнрсител1	ьно	юс
Найти вычеты логарифмических производных данных								отнрсител1	ьно
426.	/(z) =		z .	427.	f(z) = cos 3z.		'·	lf
			-
			z
428.	а)	. (z) = cos z		б		z) = si r i z .
		f	- ;	) /(
			z

Пусть контура С.

функция	j(z)	1:-	О
Величина			1
			1
		. 211'i

аналитична во всех точках Замкнутого
1	!l(z)	dz
с	j(z)

называетсялогарифмичесн:им вычетом функции j(z) относительно замкну того контура С.

Теорема о поrарифмическом вь1чете. Пусть функция j(z) является аналитической взамкнутой области D, н:роме н:онечного числа полюсов,

и на границе	С.	этой области не имеет ни нулей,		ни. полюсов. Тогда
	С.	л		D, подсчитанных
· разность между		числом нулей и по	юсов j(z) в	D, подсчитанных
с их порядками,		будет равна логарифмичесн:ому вычету функции j(z)
относительно замкнутого н:онтура С:
		!l(z)
		211'il 1 J(z) dz	= N - P,
		с

где .N - число нулей j(z) в D, Р - число полюсов f(z) в D.

Логарифмический вычет многочлена

· n

Qп(z) = L a cz11

lc=O

относительно контура С равен числу нулей этого многочлена (с учетом их кратности) в области.D, ограниченной контуром С.

Пример 2.			Найти. логарифмический вычет функЦии
		'				j(z) =		ch z 1
		'					8.eiz ....
отtЮСительно контура С: lzl =
Решение. Находим нули z. функции /(z) . Для:										решаем уравнение
ch z = О	или	е• +	е-•	=	О.				виде е2" = -] , найдем
						Заnисав nоследнее уравненИеЭ'вЦ)ГО

f(z) =

§ 12. Логарифмический вычет; Г1р инцип аргуМента, Теорема Руше. 1 15

2z = Ln (- 1) = (2k + 1)1ri,

так что z,. =

2k + l .

· .

(все нули

--2 n-&

0, ±1, ±2, , . .)

или

дЛяИмее iz

В круге" ; , О

2mn-i,

f(z)

(m = О,

простые).

нахождепия полюсов фунКции

решаем уравнение

i•

...:.

lzl <

e • = l .

= ·Ln l =

z". = 2тп-

±J , ±2, . : .) .

8 находятся нули

2k + l

о, ±1, ±2, -,-3)

Zk = .

и простые полЮсы

zm' = 2mn

(т = О, ± 1)

3. Следовательно,

функции f(z). Число нулей N = 6, число Полюсов Р

.2ri1

.f(z)

dz = 6 - 3

= 3.

1•/=8

f'(z)

Пример З.

Найти логарифмиЧеский вычет функции

/(z) =

1 + z2

1 -' cos 21rz

относительно окружности izl = 11'.

f(z):

Решение.

П<Щаrая l

= О,

находим

два

прОстых нуля

функции

-i,

1 -

cos 211'z =

найдем полюсы функции

f(z):

а1

а2

Полагая

О, k = 2.

z,., =

n, n , ;О,

±1, ±2, .

. . .

Кратность

полюсов

= -i,

а2 = i

В круге zl

данная функция имеет два nростых нуля. а1

и семь двукратныхl <

полюсов"'

Zt = -3,

z2 = -2, zз = - 1 , Z4 = 0, zs = l, z6 = 2,

Z7 = 3.

что

Итак,

= 2 и

Р = 7. В силу теоремы о логарифмическом вычете получаем,

логарифмическиА вычет данной функции

f(z)

относительно окружности

lzl = " '

будет равен

-1

f'(z)

= 2 - 7 · 2 = - 1 2.

211'i

J f(z)

,.,_

Задачи для самостоятеnьноrо решения

В следующих задачах найти логарифмические вычеты данных функций относи

тельно указанных контуров:

429.

430.

431 .

432.

433.

434.

1 + zз , f(z) = cos z + sin z,

f(z) = (е• - 2)2 ,

J(z) = th z, f(z) = tg 3z , f(z) = 1 - th 2z,

С: izl = 2.

С: lzl = 4.

С: Jzl= 8 .

С: lzl = 8 .

С: lzl = 6.

С: lzl = 2.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория функций комплексного переменного

#
08.04.20221.32 Mб10Matan тест.pdf
#
08.04.202222.38 Кб6Оригиналы и некоторые их изображения.docx
#
08.04.202291.14 Кб9решение.doc
#
08.04.2022934.79 Кб25ТФКП Итоговый тест.pdf
#
08.04.202215.77 Mб35ТФКП Краснов 2003.pdf
#
08.04.20221.25 Mб41ТФКП тест.pdf