96 |
|
|
Dtaвa 3. Вычеты функцнR ·. ' |
|
|
в случае существенной особенности - бесконечноечислоположительнщх |
|
степеней z. · |
|
|
· |
|
|
При этом лорановским разложением функцИИ f(z) в окрестности |
бесконечно удаленной точки будем называть разложение f(z) |
в ряд |
Лорана, сходящееся всюду вне круга достаточно . большого радиуса R |
с центром в точке z |
= |
О (кроме, бЬIТь может, с мой этой точки z |
= оо). |
z |
Пусть функция |
f(z) · аналитична в некоторой окрестности точки |
= оо |
(кроме, быть может, самой этой точки). |
|
|
|
|
f(z) |
в бесконечности называют величину |
|
|
Вычетом функции |
|
|
|
|
|
|
res /(оо) = j J(z) dz, |
(l) |
|
|
|
|
|
·г |
|
где ''Г - достаточно большая. окружНость lzl = р, пршшдимая по часовой |
стРелке (так что окрестность точки z = оо |
остаетс!f слева, как и в случае |
конечной точки z = а). |
|
|
|
|
|
|
|
Из этого определения следует, что вычет. функции в бесконечности |
равен коэффициенту при z- |
1 в лораиоВеком разложении ·/(z) в окрест |
· Ности z = оо, взятому с противоположным знаком: |
|
|
|
res f(oo) = -с+ |
|
|
|
(2) |
Пример 5. |
Найти вычет. |
функции .f(z) |
= -- в |
|
|
. . . |
|
z |
+ 1 |
бесконечности. |
. |
|
|
|
|
z |
|
|
|
z+ l |
|
|
|
1 |
|
|
|
Для функции f(z) = --z . имеем. f(z) = 1 + |
- |
. Это выражение можно pac- |
z |
сматривать как ее лорвновекое разложение в окрестности бесконечно1 |
удаленной |
точки. Имеем очевидно, что |
lim /(z) = |
J, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так что точка z = оо является устранимой особой точкой, и мы полаrаем, как обычно, f(oo) = 1 . Здесь с_1 = l и, следовательно,
Из этого примера следует, что вычет . аналитической функции от носительно бесконечно удаленной устранимой ·особой 'Точки, в отличие
от конечнойустранимойособой точки, .может окаsатьсяотличным от нуля.
Известные разложения функций е1 , sin z, cos z, sh z, ch z можно рассматривать также как лораиовекие разложения в окр тнсiсти точки z = оо. Так как все эти разложения содержат бесконечное множество положительных степеней z, то nеречисленные функции имеют в точке z = оо существенную особенность.
Теорема 2. Если функция j(z) имеет в раtширенной комплексной плоскости конечное число особых точек., то сумм а всех ее вычетов,
включая и вычет в бесконечности, равна нулю.
§ 1 1 . Теорем Коши о вычетах |
97 |
Так что если а1, а2, • • • , an - конечные особые точки функции J(z), |
n |
О |
, |
res J(oo) + 2: res J(ak) = |
|
k=l n |
|
(3) |
res j(oo) = . , - l :esr j(ak)· |
|
k=l |
|
|
Последнее соотношение бывает удобно использошiть при вычисле некоторых интеrралов.
Прммер 6. Вычислить интеграл |
|
dz |
1 = |
/ |
l |
|
lzl=2 |
|
+ z4' |
Решение. Полюсам»: (конечными) подынтеrрал ной функции f(z) = +1
являются корни z1,z2,zJ,z4 |
уравнения z4 = |
.....1, |
|
|
|
которые все лежа:r внутри |
окружности lzl 2 . Функция J(z) |
= |
|
1 |
в окрестности бесконечно уДаленной |
точки имеет разложение |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
= 1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
.f(z)= |
|
|
|
z4 |
|
|
|
t·+ |
|
|
|
4 |
- 8 |
+ 12 """'. . · • |
|
|
|
|
z4 |
z" |
1 + - |
z |
z |
z |
|
иЗ которого видно, что res f(oo) = -с_ 1 |
= О. В сИлу равенства (3) |
|
I |
|
|
|
4 |
|
|
|
.,-2ri res J(oo) |
|
[> |
2ri k=l |
/(z")= |
= О. |
|
|
|
·L: res |
|
|
|
|
Прммер 7. Вычислить интеграл
' 17 |
|
z . |
+ 2;з(zЗ + 3)4 |
d |
|
|
Решение. |
Подынтеrральная функция |
|
|
J(z) |
|
\ |
|
(z2 + 2)3(zЗ + 3)4 |
внутри окружности lzl = 3 имеет пять особых точек, являющихся · кратными полюсами. 'Использование основной теоремы о вычетах приводит к большИм вычислениям. Для вычисления данного интеrрала удобнее исnользовать равен- · ство (3), в-силу которого будем иметь
I = -211'i res f(oo). |
(3') |
98 |
|
|
Dtaвa 3. ·Вычеты функцvtR |
|
|
|
Так как функцию f(z) можно nредставить в виде |
|
|
1 |
|
|
|
Z11 |
|
= z6 1 + |
z 11 |
|
|
|
|
|
|
|
/(z) = (z2 + 2)3(z3 + З)4 |
2 |
l + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
z t• =,;• |
|
|
|
отсюда видно, что nравильная |
:частьу |
(лораиовекого разложения этой функции |
|
|
|
|
|
|
:зY |
|
|
|
(н:2)\1+:3 |
у1/' |
в окрестности бесконечно удаленной точки |
z |
= |
00 |
начинается с члена |
тО |
|
о о ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
z. |
Следовательно, res |
/( |
= - l . Подставляя эту величиНу в равенство (3), nолучим |
1 = 2ri; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи.дпя самостоятельного реwения
Определить характер бесконечно удаленной точки для следующих функций:
366. |
f( |
|
= |
z3 |
- |
:z |
2 |
+ z + 6 |
• |
367. |
z + 1 |
z) |
|
|
|
z2 |
f(z) = -z4 • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
369. f(:z) = cos . |
370. |
/(z) = е1 |
2 |
, |
1• |
z |
|
|
.' |
|
372. Пусть функция /{z) nредста им:а в виде /(z) = (;) , где функция (()
аналитична в точке { , ; " О. Доказать, что res f(z) = - 1(0).
Z=OQ
Исnользуя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следую
щие интегралы: |
dz . |
|
374. |
|
--.• . |
|
|
|
375. |
|
|
|
|
+ z 1224 |
|
dz . |
373. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z---2 + |
;т- |
|
|
|
|
|
+. z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IOOOz + 2 |
|
1• |
=1 |
|
|
|
|
1•1=2 |
|
|
dz |
1 |
|
' |
|
|
|
1•1=2 |
|
|
|
|
|
|
376. |
J1 |
|
|
|
|
· |
J l |
|
|
|
|
378. |
J 1 |
z9 |
|
|
|
|
::;::{е., dz. |
|
377. |
; z2 sin |
; dz . |
|
|
|
|
|
-1-0 - dz . |
• |
=3 |
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
1:1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
J1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1:1>' |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Приложение |
вычетов |
вычислению определенных |
инте2°гр.алов. |
|
1. |
|
нтегралы |
|
рациональныхк |
|
фун1щн. |
|
|
|
|
f(ж) - |
|
|
|
|
И |
. |
от |
|
Pm(x) |
, |
|
Рm(ж) |
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
= |
|
Qn(ж) |
где |
и |
Q11 (x) |
|
|
много- |
рациональная функция, |
/(ж |
|
|
|
|
.· |
|
|
|
|
|
|
|
члены соответственно стеnеней т и |
n. |
Если f(x) неnрерывна на всей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
действительной р е и (Qn(x) |
О) |
и n т + 2, |
|
е. степень знаменатели, |
по 'крайней мере, |
на две единицы1= |
|
больше степенит. числителя, то |
|
|
+оо |
. |
j f(x) dж = 21l'iu, |
|
|
|
|
§ Н. |
Теорема Коши о вычетах |
|
|
|
|
|
99 |
Где обозначает сумму вычетов функции J z = |
|
--- |
|
|
|
|
. |
|
|
всех полюсах, |
|
t7 |
|
. |
, |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
'Pm(z)) |
во |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Qп |
(Z |
|
|
|
|
расположенных в вер е й полуnлоск |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nример 8. |
Вычислить интеграл |
dx |
|
(а > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
.1 |
= |
00 |
|
0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. j'(ж3)2 2+ а2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Решение. Так как nодынтегральная функц я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(llJ) |
= (z2 + q2) 2 - |
четная, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем функцию /(z) |
|
|
z2 |
-оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (z2 + а2)2 ; которая |
|
на действительной оси, |
|
т. е. при |
z = ж, совnадает с f(ж) . Функция f(z) |
имеет в верхвей nолуnлоскости ЛCIJJIOC |
второто nорядка в точке z = ai. Вычет f(z) относительно этоrо nолюса равен |
resf(at). :;= l,цn |
-d [!(· z)(z· |
|
. |
|
-d |
|
z2 |
. 2· |
|
· |
=. |
ltm. |
( 2aiz·р |
|
= |
- |
- at) 2J. = l,im |
|
|
. |
·:4. |
|
|
z-"i |
dz |
. |
|
|
z-• ai dz ((z + !JI) |
1 |
|
•-•• |
z + аа |
|
аа1 |
Пользуясь формулой (4), nолучим
За,цачи для с мостоятельного решения
Вычислить следующие интегралы с бесконечными nределами:
"" |
z2 |
+ |
1 |
dz . |
j |
а;4 |
1 |
О |
|
|
|
|
|
|
+ . |
|
но |
|
|
|
-J |
|
|
|
|
dж |
|
|
(ж2 |
+IP . |
оо |
|
|
|
. . |
+""· |
|
|
|
|
|
-J |
(ж2 + a2 )d2ж(z2 |
. оо |
+оо |
|
+ ж " . |
-f |
|
l |
:r;2m |
dж. |
оо |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
380• |
|
+оо |
(z2 +. |
dж |
|
|
|
-оо |
a2) (z2 |
|
|
+ос |
|
'dx |
|
|
|
382. . |
,. |
j |
( l + ж2)n+l |
• |
|
|
-оо |
|
"" |
|
|
|
|
+ Ь2)2 . |
|
385. |
Jо |
ж |
+ l |
|
-6-·- |
|
|
|
ж |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
387. |
|
-J |
|
dж |
|
|
|
|
|
|
1 + ж6 • |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
. · |
(а > О' Ь > О). |
|
|
|
|
|
+ Ь2) |
|
|
|
|
|
. |
383. |
+оо |
|
|
|
|
|
. |
-оо |
( 2 + 4:1: |
|
1 3) 2 |
|
|
х dж |
|
|
|
|
dж. |
|
J |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
388. |
+<Х> |
dz |
|
|
|
|
|
|
J |
(z2 + 2ж + |
2) |
2 |
· |
|
|
|
|
|
|
-О<> |
|
|
|
|
|
100 |
Глава 3. Вычеты функцнй ; |
(а >О, Ь > 0).
1 • 3 . . . (2n - 1) .
2 · 4 · 6 . . . 2n 1f.
2. Интеграл ы вида
00 |
00 |
j R(x) cos Лх dx, |
1 R(x) sin Лх dx, |
о |
о |
где·R(х) - правильнаярациональнаядробь, Л > О - любое вещественное число.
При вычислении таких интегралов удобно пользоваться следующей
леммой:
Лемма Жордана. Пусть g(z) - функция, |
аналитическая в верхней |
точек, и стремится< |
в этойz < |
полуплос1Г - |
у . |
числа особых |
полуплоскости (О |
arg |
оо. |
) , за исключением конечного |
|
Л > О |
|
Тогда при |
|
|
кости к нулю при lzl -+ |
|
|
|
|
lim |
|
iЛ |
z dz = О , |
|
|
|
|
|
|
|
|
R-oo 1 g(z)e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где контур Св - полуокружность |
-R |
о |
R |
х |
в верхней полуплоскости с центром |
|
|
|
·в точке О и радиусом R (рис.7). |
|
|
|
|
Рис. 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 9. Вычислить интеграл |
dx (а > О, k |
> О). |
|
|
|
|
|
|
00 |
х siп ах |
|
|
|
1 = j |
х2 + k2 |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Введем вспомогательную функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
zeiaz |
|
|
|
|
. |
х stn az |
|
|
|
J(z) = z2 + А:2 ' |
. . |
. |
|
|
|
|
|
|
Im |
|
|
|
|
|
Нетрудн |
ви;де , 'JТо если z = z, то |
|
/(ж) совnадает с |
nодынтегральной функ- |
цией ({>(ж) |
--rk--2 • Рассмотрим контур, |
указанный на рис. 7. |
При достаточно |
|
z + |
|
|
. |
|
|
|
= z |
+ k |
. . ·· етворяет неравенству |
большом R на контуре |
Сн |
функция g(z) |
|
|
|
тz-2 Удовл |
|
|
§ 11. Теорема Коши:о вычетах |
101 |
lg(z)l < R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо. |
|
|
|
k2 |
и, следовательно, |
|
|
|
стреМ'И'iся к нулю при R - - > |
Значит, |
по лемме |
Жордана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zeiaz |
|
|
|
. . |
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R-oo J |
т-+k 2 dz = О. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Св |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для любого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R > k по теореме о вычетах имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
= 21riu, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xe•az |
|
|
|
|
|
|
ze•az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. J -х-2 +-k2 dx + J z---2 + k2 dz |
|
|
где |
|
|
|
1Т |
|
|
|
-R |
eiaz 2) |
|
|
|
Св |
( |
|
eiaz |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
( |
= li |
: |
|
(z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
- ik)) = _ e-ak. · |
|
|
|
|
|
|
|
|
•- k |
|
z |
+ |
|
|
|
·-•k |
|
z |
|
+ |
k2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В пределе. при R - - >оо, |
|
|
+оо . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
учитывая соотношение (5)•. получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Jоо |
xe•az |
|
|
= . |
|
-ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. z2 + k2 dx |
|
1r•e |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+оо |
|
2 |
|
2 |
|
|
.- |
1re |
|
|
• |
|
Отделяя слева и справа вещественные и |
мнимые части, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Jоо .xsinax. |
|
|
|
|
-ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х + k |
dx _ |
|
|
|
. |
|
|
В силу того, что подынтегральная функция четная, окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= 2е-ak . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1f |
|
|
|
|
|
|
|
[> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1 О. Найти интегральное представление единичной функции |
(функции Хевисайда) |
|
' |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t < О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t) = { |
при |
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
при |
|
t |
|
> о. |
|
|
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
f(t) = |
|
l |
|
-izt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i(1 |
-e ;- dz, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где контур С изображен на рис. 8. |
|
|
|
|
|
-R |
|
|
|
R |
х |
Замыкая |
|
контур |
полуокружностью |
|
|
|
|
Сн , лежащей в верхней полуплоскости, |
|
|
|
|
замечаем, что при t |
< О |
в силу леммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
Жордана интегралы |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-izt |
|
|
-+ О |
|
|
|
оо, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 7 dz |
nри |
|
R |
-+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. В · |
|
Св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, так как в области с таким замкнутым контуром подынтегральная функция аналитична, получаем, что j(t) = О при t < О.
102 Тhава 3: Выче.ты функций
Построим tenepь замыкание контура с nомощью 9КРУЖJfОСТИ с 'лежащей в нижней nолуплоскости. Теперь nри t > О опять получаем в силулеммы Жордана,
что интегралы |
|
c.JJ =--;iz-t |
dz -+ О nри R -+ оо. |
Но теnерь точка z О лежит внутри контура интегри:рования. Значит, в силу |
теоремы Koni:и· о вычетах= |
|
f e-izt |
|
|
j(t) = |
1 |
1 |
(t > 0). . |
. |
· |
- dz = |
|
- |
|
Z |
|
|
|
21ГI |
|
|
|
с
|
. |
|
|
Таким образом, рассмотренный интеграл представляет собой разрывную функ |
цию. |
|
. |
t> |
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить следующие интегралы: |
|
+оо |
|
ж соs ж dж |
|
|
|
|
|
391 • |
j |
|
|
|
. |
|
|
, |
-оо |
ж2 - 2ж + |
10 |
|
|
|
|
00 |
|
соs ж dж |
|
|
|
|
393. |
Jо |
|
|
|
|
|
00 |
(ж2 + 1)(ж2 + 4) . |
|
395. |
соs аж |
|
|
(а > 0) . |
о |
--- dж |
|
|
|
1 |
+ ж4 |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
397. |
00 |
--- dж |
|
|
|
(т > О, а > 0) . |
|
Jо |
соs тж |
|
|
|
|
|
|
|
|
а2 + ж2 |
|
|
|
|
|
|
|
+оо |
соs .Лж |
|
|
|
|
|
399. |
j |
|
|
|
(.Л > 0). |
(ж2 + 1)(ж2 + 9) |
|
-оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
ж2 соs ж dж |
|
|
|
|
|
401 . |
j |
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
(ж2 + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
+оо
-Jоо |
|
2 |
+ 4ж + 20 |
dж. |
|
|
ж |
ж sin ж |
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
j+оо |
соs ж dж |
. |
|
|
|
-оо |
|
ж2 |
+ 9 |
|
|
|
|
J |
d |
|
|
00 |
(а > 0) . |
о |
_, |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ а |
|
|
|
|
|
00 |
1 |
|
|
z2 |
+ z4 |
|
ж. |
• JО |
|
|
d |
|
|
z sinz |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
