ТФКП Краснов 2003
.pdfМ.ЦКраснов, А. И.Киселев, Г.Н. Макаренко
ФУНКЦИИ КОМПnЕКСНОГО ПЕРЕМЕНИОГО ·
. ЗАДАЧИ
и
nримеры с подро6ными решениими
'
Издание третье, исправленное
Книгfl была допущена Министерством высшего и среднего специального образования СССР
в каrtестве уrtебного пособия
для студентов высших техниrtеских уrtебных заведений
УРС• ,
Москва 2003
ББК 22.161л73
Краснов Михаил Леоmьевн |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Киселев Александр Иванович, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
МахареикО J:риrорий Иваиович |
|
|
М.: Едиториая УРСС, |
|
pellle• |
|||||||
никми: |
Учебное nособие. |
Изд. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Зa.uu |
с |
аодробнЬIМИ |
|
|
||||
Фуmщии коммексноrо переменноrо;. |
|
) |
и примеры |
|
|
|
||||||
|
(Вся высшая математика3-е, иctip, |
|
|
|
2003. |
-· .· |
||||||
208 с. |
|
|
|
в задачах. |
.,..... |
|
|
|
|
ISBN 5-354-00393-8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В настояшем учебном nособии авторы преддаrают зaдa':l'lt по основн... |
||||||||||||||||||||||
разделаМ теории функций комдлексноrо переменноrо. В начале1 оrо |
IIafi. |
|||||||||||||||||||||
графа приводятся необ.ходимt;.Iе |
|
с:dеденкя |
оnределеr, |
тео |
|
· , |
||||||||||||||||
формулы , а также подробно |
разбирается около 150 типовых( |
задач |
|
|
|
|
|
|
· |
|||||||||||||
|
тео тическИе |
|
|
|
|
|
|
|
inpи |
|
|
|||||||||||
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
.· |
|
|
|
ro |
|
В |
кииrе содержится свыше 500 задач и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Почrи все задачи снабжены ответами, а в ряде случаевдля: сам |
|
·· |
|
|
|
. |
|||||||||||||||
реШения: |
|
|
|
|
|
примеров |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,; · |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дamt ук |
|
|
|||||||||||
|
|
|
предк.,.,.,..,.. в осиовном"""-•нто• |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тематической• |
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|||
подготовкой, но может. nриНести nользу и и,.......ух аюшек · |
|
|||||||||||||||||||||
рош= |
|
|
|
|
. |
те |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нж |
|
|
|
|
|
|
|
.". |
. • |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теориие |
, |
; |
|
||||||||||
восстановить в памя:ти разделы математики, отиосящиеся |
ке |
|
р , |
|
|
.. |
iфумj |
|||||||||||||||
комnлексного переменного. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Издательство «Едиториал УРСС•. ! !7312, г. Москва, пр-т 60-летк• 0/Ct'Jifpa,1-. 9.
Лицензия Ид M0517S от 25.• 06.2001 г. Подписано13. Зак.к nочаТ!!21.06.2003
Формат 60х90/16. Тираж 3000 ЭIСЭ. Печ. л. MU1
ОТnечатано в тиnографии ИПО •Профиздат•. 109044,r. Москва, KP)'ТIIUKИIIIIJI,11!
УРСС
ИЗДАНА'/ЧНОЙТЕЛЬСТВОИ'/ЧЕБНОЙ1'\ИТЕРАТУРЫ
E-mail:
каталогURSS@IURSS\i\ЗДatWiй .ru а tntemвt:htlp;//URSS.ru
ТеnJфакс:7(095)}1135--4244-46-2З
Т т/факс:
JSBN |
|
.&' |
|
5-354-003'· |
|
|
|
ГЛАВА |
4tункции комплексного . |
|
переменнаго |
§ 1. Компnексные чисnа и действия над ними
Комnле1rеиым Juслом z называется выражение вида
z = z+iy
(алгебраическая форма компл!:lксного числа), где. :z: и у -любые дей ствитедъные2 числа, а i -мнимая единица, удовлетворяющая условию i = '""1. Числа ж и у называются соответственно действительной и мни
.моi1 tастяАiи /Со.мплеН:сиого числа z· и обооначаются
:z: = Rez,
у = Imz.
|
|
Комплексное число |
z = :z: - iy называется |
сопряженны.м |
комплекс• . |
||||||||||||
ному числу z = :z: |
iy. |
|
|
||||||||||||||
|
|
Комплексные+числа |
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
||||||
|
|
ZJ :::::+:liJiy1 |
И |
|
Z2 = Z2 + iy2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
считаются равными тогда и только тогда, |
|
|
|
|
|||||||||||||
когда z, = :z:2, |
Yl = Yl· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Компле,::сное исло .z = ж + iy изо |
|
|
|
|
|||||||||||
бражается в nлоскости |
ХОУ |
точкой М |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
·с координатами (::е, |
у) |
либо вектором, на |
|
|
|
х |
|||||||||||
чало которого находится в точке О(О, О}, |
|
|
Рис.1 |
||||||||||||||
а конец в точке М(а:, |
у) |
(рис. 1). Длина р |
|
|
|
|
|||||||||||
вектора ОМ |
называется модулем |
комплексного числа и ·обозначается |
|||||||||||||||
lz |
1, |
так что |
|
lz1 |
|
|
|
z2 |
+ |
у'1.. Угол |
|
образованный вектором ОМ |
|||||
|
|
|
называется== |
.j |
|
комnлексного числа z и обозначается |
|||||||||||
с осью ОХ, |
р |
|
= |
|
аргументом |
|
t.p, |
|
|
|
|
||||||
t.p = |
Arg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z; он оnределяется не однозначно, а.с точ}fостъю до слагаемого, |
||||||||||||||||
кратного 21r: |
Arg z = arg z + 2k1f |
(k =.О, ±1, ±2, .. ), |
· |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
· где arg z есть rлавное значение Argz, оnределяемое условиями
-1r < argz 11",
4Глава 1. Функции KOMIV18KCHOГO пе=нного
|
|
х |
|
!'.': |
|
причем |
arctg -у, |
ее.!}и |
х >l; |
|
|
|
. . |
у |
если |
х <'0!, |
у о, |
|
1r +arctg |
х |
|||
|
. |
-, |
|
х< О, |
'il <о, |
argz= |
-1r + arctg |
-11 , |
еслИ |
||
х |
|
|
|||
|
-. |
1" |
|
|
|
|
2' |
если х=О, |
у11 ><оо., |
||
|
2,1 1 " |
если |
х=О, |
Имеют место следующие соотношения:
(J)
tg (Arg. z). |
= -у, |
sin (Arg z) |
у |
х |
|
· Два комnлексных чис:.nа z1 и z2 равны модули равны, а их аргументы либо равны,
кратную 211": |
|
два |
||
|
z |
|
|
|
l |
,l |
z |
||
|
l |
2l, |
||
Пусть даны |
|
|||
l. Суммой z1 |
+ z2 |
Argz1 =Argzz+21rn
комплексных числа z1
комплексных чисел z1
тогда и только тогд11. коrда -·· либо отличаются на величи»)f;
(n::::O,±l,±2, ...)+.
=х, +iyt, z2=х2 1.112.
и z2 называется ко ксное
|
число |
Zt + Z2 =(XJ + Х2) + i(yl + 1/2). |
|
|
2. |
|
|
||
Разностью z1-z2 комnлексных чисел z1 и z2 называется комПЛексное |
||||
|
1 |
. |
. . |
> |
|
число |
ZJ '- Z2=(Xt -'- Х2) + i(Yt - У2). |
|
|
3. |
мое число |
|
||
|
+ |
|
||
Произведением Ztz2 |
комnлексных чисел Zt и z2 называется комnлекс- |
|||
|
ZtZ2 = (XtX2YtY2) |
i(X\1/2 + X2YJ). |
|
· Из оnределения nроизведения комnлексных чисел, в частtщ ти,
следует, что |
|
zz=х2 +1/=lze. |
|
|
|||||
. |
· . |
ZJ |
|
|
' |
||||
|
. |
, |
|
|
·. |
||||
4. Частным |
- |
|
|
|
. :: |
||||
Zz от деления комnлексного числа z1 |
на комплексное о |
||||||||
z2 # О называется такое комnлексное число z, которое удовлетворяет |
|||||||||
уравнению zz2 = z1. Для частного име место формула |
|
||||||||
|
|
. |
. |
z, |
ZJZ2 |
' |
. |
Zz . |
(2) |
|
|
Z2 |
= !z2l2 • |
||||||
При этом была использована формула z2 |
|
= ·1z2t2 • . |
|
.. f 1.··Кt#lмексные числа идействия над·ними |
. 5 |
|||||||
Форжуду (2) |
можн . |
записать в виде |
|
|
|
|
||
|
:1:(:1:2 |
+ YlY2 |
.X2Yl-·XlY2 |
|
||||
|
ZJ |
2 |
2 |
+ |
2 |
|
2 |
|
|
-=· |
Х2 |
+ У2 |
Х2 |
+ |
У2 |
|
|
|
. Z2 |
|
|
|
|
|
|
Действительная часть Rez и мнимая часть Im z комплексного чи сла z выражаются, через сопряженные комплексные числа следуц>щим
образом: |
· |
· |
|
· |
|
|
|
|
|
R ·Z= |
z+z |
|
|
z-z |
|
z-z |
|
|
|
Imz |
|
|||||
|
|
-2 -. |
= i--2 |
= |
--·-. |
|||
Пример 1. |
|
|
. |
|
2i |
|||
|
По <,азать, что z1 |
+ z2 |
== z1+ z2. |
|
|
Доказательство. По определению имеем
:zt'+Z2 = (Xt + Х2)- i(Yt + У2) = (Xt - iy1) + (х2iy2) = Zt + Z2. 8
дачи дnя самостоятельного решения
flример 2. Найти действительные решения уравнения
(4+ 2i)x + (5- Зi)у = 13+i.
Решение. ВldД им в .левОй части уравнения действительНую и мнимую части: (4ж+'5у)+i(2жЗу) = 13+ i. Отсюда согласно определению равенства двух комnлексных чисел получаем
|
|
|
|
|
|
{ |
|
4х+5у = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2жЗу = 1 , |
|
|
|
|
||
Решая эту систему, находим |
|
|
1. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
t> |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ж = 2, |
у =}; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи дnя самостоятельного ·решения |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Найти действитеЛьные решения уравнений: |
|
|
|
|
|||||||||
2. |
(Зх- i)(2+i)+ (х- iy)(l+2i)= 5 + 6i. |
|
|
|
IЬI. |
||||||||
|
(ж- iy)(a- |
|
|
i5 |
, где |
|
заданные действительные числа, lal |
|
|||||
3. |
|
|
iЬ):::::.а, Ь - |
|
|
|
|
# |
|||||
1 |
2+i |
= |
V2, |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
|
|
. |
где z:::::.. ж |
|
|
|
|
|
||||
|
--. + -- |
|
|
+zy. |
|
|
|
|
|
||||
|
Z-1 |
l+t |
|
|
|
|
|
1z.Ь)2 + ( |
1а.Ь)2 |
|
|
|
|
5. |
Представить комnлексное число ( |
в алгебраической форме. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
а+ |
а- |
|
|
. |
6Глава 1. Функцни комплексного n
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
' |
' |
|
|
',:1' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.\; |
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
|
|
+iz |
|
|
|
|
|
.· |
1 |
|
|
|
|
|
' |
|
|||
Доказать, что |
х -1- 1 + z |
= i (z |
|
|
|
' |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
- действитель |
k·' |
). |
v |
|
|
||||||||||
тельные числах). |
|
|
u |
|
|
|
|
х |
+ |
sy |
+ |
|
|
l (z,y, u, |
- |
|
||||
7. |
Выразить |
и у через |
|
и |
|
|
если |
1 |
u |
tv |
|
' |
|
действи- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
'\ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
' ' |
|
|
v, |
|
+ --.-.' /:С |
|
|
|
|
8. Найти все комnлексные числа, удовлетворЯющие усЛоJJИЮ i= z2•
Пример 3. Найти модуль и аргум'е;т комплексного числа z =-sш• 81Г - • cos 1g·Г
Решение. |
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1Г |
|
|
||
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=-sin!<o |
у= -cosi <О. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
' |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Главным значением арrумента corJfacнo (1) будет |
|
|
i)], |
||||||||||||||
argz= -1r |
+.arctg (ctg |
i |
) |
= |
-1r |
|
|
|
arctg [tg ( |
|
|||||||
|
|
+ |
|
|
- |
= |
|||||||||||
Следовательн , |
|
-1r |
|
( |
|
3 |
|
· |
-1r |
' |
|
3 |
5 |
|
|
||
= |
+ arctg |
tg |
-'IГ) |
= |
|
+ |
-'IГ |
=--w. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
' |
|
|
|
8 |
8 |
|
t> |
||
Arg z= -81Г + 2k1Г (k =о, ±1, ±2, ...), |
|
|
|
|
|||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятеnьноrо решения
9. В следующих задачах найти модуль и главное значение арГумента комnлексных |
|||||||
чисел: |
) |
|
r::; |
в) ' z = -7-i; |
|
1Г |
• • 1Г |
а) z = 4+3i; |
|
|
|||||
|
z = -2+2v3i; |
r) z = -cos5+ssm5; |
|||||
д) z=4-3i; е) z=cosa-isina |
(w<a< 'IГ). |
|
|
|
|||
в rриrонqме,.Рической форме |
z = х + iy (z |
::/:. |
О) можно |
|
|||
Любое комплексное |
число |
|
за'писать |
||||
z =p(cos tp +i sin tp), |
где р =!.z!, |
rp= Arg z: |
|
||||
Пример 4. |
Записать в трИгонометрической фор е комплексное исло |
||||||
|
|
|
z=-'1 - ivГз. |
|
|
|
Решение.
Имеем
tgит = -v'З
· |
.а3 |
=v·."•.
·
.... . . |
2 |
• |
"'•--1' |
||
·т{' |
3 |
|
|
|
· |
-f1:·Комплексные числа и действиЯ над ними . |
|
|
7 |
||||||||||||||
СледователЬllо, : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 15. Найти действительные корни уравнения · |
|
|
[> |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos х+ в. ш. х = |
|
1 + |
3. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'2 |
4z. |
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Данное уращ1ение корней не имеет. В самом деле, это уравнение |
|||||||||||||||||||
равносильно следующим: cos х = |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
- ,sin х = -4. Последние уравнения несовмест- |
|||||||||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ны, так хак |
cos |
|
|
|
|
|
13 что невозможно ни при каких значениях |
х.' 1> |
|||||||||||||
|
|
|
2х +sin 2х = ]6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Любое комnлексное число z i= О можно заnисать в лаказательной |
||||||||||||||||||||
форме |
|
|
|
z = pei'P, |
|
|
р = \z\, |
|
<р = Argz. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
||||||||||||
|
Пример 6. Найти все комплексные числа z. i=. О, удовлетворяющие |
||||||||||||||||||||
|
условию zn-1 |
= z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение. |
Пусть z:::::ре;". Тогда z = pe-i ". |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Согласно условию |
|
|
|
|
|
ИЛИ pn-2einl" = 1, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 = 1 , т. е.. |
pn-lei(n-1)1" = pe-il" |
|
|
|
|||||||||||||||
откударn-. |
|
р = 1 , |
|
. |
|
|
. |
|
|
tp = |
2k1Г |
(k =О, 1, |
2, . |
. , n 1) . |
|||||||
|
и |
&ntp = |
2k1ГJ, т. е. |
|
-n |
||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
Zk.= e;2"k/n |
(k = О, l, 2, ... , n- 1). |
. |
|
1> |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Задачи |
дл' |
самостоJтельного решения |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 О. Следующие комплексные1 |
числа представить в тригонометрической форме: |
||||||||||||||||||||
а) |
-2; б) |
2i; |
,в) |
-v'2+ v'2; |
) |
1-sin a + i cosa. |
(о<а i); |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1+cosa+i.sina |
(о < |
а< 271').; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
д) |
1 + cosа- isin а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в показательtiой форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
е) |
- 2; ж) |
i; |
з) -i; и) |
- 1 - iv'З; |
к) sina icosa(i<a<1Г); ·л) |
5 + 3i. |
|||||||||||||||
|
Пусть коr.nлекс:t ые числа z1 |
и .z2 даны в тригонометрической форме |
|||||||||||||||||||
|
|
|
Z1 = PI(COs <{)1 +i sin <р1), |
2 = P2(cos <{)2 +i sih <р2). |
|
|
|||||||||||||||
|
Их nроизведение находится ло формуле |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
zt.z2 = |
P1P2lcos |
(<р1 |
+ '!'2 |
) +i |
sin (<р1 + <р )], |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
8{'лава .1. Функции комплексного nеРминого
т. е. при умножении комплексных чисел их J1рдУЛЦ перемножаются,
. а аргументы складываются:
/z1z2! = lz1'l· lz2!, Arg (z1z2) = Ariit+ Arg Z2.
Частное двух комплексных чисел z1
ZJ |
Pl |
( |
|
-:- = -:-::cos-:(IPI-: - IP2) + |
|||
Z2 |
Р2 |
|
. |
т. е.
и z2 #О находится по формуле
t. sш. (!р)- IP2)},'' |
|
' |
,' |
Возведение комплексного числа
i= p(cos <р + i sin<р)
вн пуральную степень n производится по формуле
=pn(cos n<p + i sin n<p),zn
т. е.
Отсюда получается формула Муавра
|
|
|
|
(cos <р + isid <р)n = cos n<p +i sin n<p |
|
1. |
Свойства модуля комплексных чисел |
|
|||
lzl |
= lzl; |
|
|
|
|
.2 |
z"Z |
= lz12; |
|
|
|
'3.:· |
/z1z2/ = /zt/r./zl/; |
|
|||
4. |
/znl· = \z/n; |
|
|
|
|
S. |
ZJ |
lz1l |
|
z2 #О; |
|
1 z2 |
I = lz2l' |
· |
|
||
6. |
\Rez\ \z/, |
|
\Im z/ \zl; |
|
|
7. |
lz1 |
+ z2l lzii +\z2!; |
|
||
8. |
llzi1-1z2ll lz1 - z21· |
|
|||
|
Пример 7. |
Вычислить (- J + ivГз)бд. |
|
||
|
Решение. Представим число z = -1 + iv'З в триоонометрической форме |
|
|||
|
|
|
|
-1+iУ'з=2( COS 11'+isin 11'J.· |
|
Применяя привед,енную выше формулу возведения в стеnень, nолучим |
|
||||
|
|
(-1 + v'3)60 = 2w [ cos (60. 11') +.isin (lfe,;:jtr)] = |
|
||
|
|
|
|
=260(cos4011' + isin4011')=266.' .. |
1> |
ПримЩ» 8. |
|
|
Комплексные числа и действия 'над ними |
9 |
|||||||||||||||||||||
ДЬказать, что многочлен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f(x) == |
|
(cos а+ х sin а)11 |
|
cos па-х sinna', |
|
|||||||||||||||
делится на х2+ 1.'· |
|
|
|
= (х +i)(z- i). По формуле Муавра |
|
||||||||||||||||||||
Решение. Имеем :е2 +1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f(i) |
(cos а+i sin а:)" |
- cosna - i sirina |
= |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= cos na +i sinna - cos na:-isin na |
= О. |
|
||||||||||||||||
Аналогично /(-i) = О. Значит /(z) делится на ж2 + l. |
|
|
|
|
|
1> |
|||||||||||||||||||
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 1. Доказать' |
, что многочлен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l)a: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
f(x) |
z"sin a : -л"-1жsin na+Л"sin (n |
|
|||||||||||||||||||
делится на z2 - 2Лжcos а+Л2• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 . в.ычислить: |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(VJ:....3i) ; |
r) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ i v ' 3 |
|
40 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
8 |
. |
|
|
|||||||||
а) (11-Т) |
|
|
б) |
|
(2- 2i)7; в) |
(ll +- а ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 З. Доказать, |
что |
|
|
|
( |
1 +itgа |
" |
|
I +itg na: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 -itga:) |
|
1 -itgna:' |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
14. Доказать, что если |
|
|
|
|
|
то |
|
(cos а- i sin а:)" |
|
|
|
1. |
|
||||||||||||
|
|
|
(cos а+i sin а:)"= 1 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 S. Полъзуясъ формулой Муавра, выразить через степени sin 'fl |
и cos 'fl следующие |
||||||||||||||||||||||||
функции кратных углов: |
|
sin 4<р; |
г) cos 4<p; |
д) sin 5<р; |
|
|
|
|
cos 5<р. |
|
|||||||||||||||
а) sin З<р; б) |
cos З<р; |
в) |
|
е) |
|
|
|
||||||||||||||||||
Корень n-й стеnени из комплексного числа z имеет n различных |
|||||||||||||||||||||||||
значений, которые находя;тся по формуле |
|
|
<р + 2k1f |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
r:; |
|
n |
|
|
1 |
cos |
'f1 + 2k1f |
+ •. |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1z1 |
|
|
|
|
srn |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
v .<: |
= vli':::i/ |
|
|
|
|
|
|
|
) , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
n . |
|
|
n |
|
|
|
|||||||||
где k = О, 1, 2, . . . ,n- l, |
|
<р = arg z. |
|
|
|
|
.являются вершинами пра |
||||||||||||||||||
Точки, соответствующие значениям |
|||||||||||||||||||||||||
вильноГо n-уrольника, .вписанного в |
|
окружность радиуса R = |
\liZТ |
||||||||||||||||||||||
с центром в начале координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Корень n-й степени из действительного числа а также имеет n |
|||||||||||||||||||||||||
различных значений; среди этих |
значений действительных будет |
два, |
|||||||||||||||||||||||
одно или ни одного в зависимости от четности |
или нечетности n и знака |
числа а.