Белозеров В.И. Сборник задач по курсу «Техническая термодинамика»

5.15. Азот из баллона емкостью 0,08 м3 выпускается в атмосферу настолько быстро, что теплообмен между ней и азотом в баллоне не успевает совершиться. До выпуска давление в баллоне было P1 = 12 МПа и температура t1 = 37 °C. После закрытия вентиля температура в баллоне стала t2 = 0 °C. Какова масса выпущенного азота, и каким стало давление в баллоне после выпуска?

5.16. В компрессор газотурбинной установки входит воздух при P1 = 0,1 МПа и t1 = 20 °C. Воздух сжимается адиабатно до P2 =

=3,0 МПа. Определить температуру в конце адиабатного сжатия.

5.17.Воздух в количестве 1 кг последовательно меняет свое со-

Определить недостающие параметры во всех характерных точках процессов, подведенную или отведенную теплоту, изменение внутренней энергии и энтальпии, а также работу расширения (сжатия) в каждом процессе. Проверить уравнение первого закона термодинамики для совокупности процессов.

5.18. Метан объемом 3,5 м3 в нормальных условиях при P1 = = 4,0 МПа и t1 = 620 °C адиабатно расширяется до давления P2 = = 0,5 МПа. Определить параметры состояния в начале и в конце процесса, работу расширения, изменение внутренней энергии и энтальпии газа.

5.19.Известно, что 1 кг этана, находящийся при P1 = 0,1 МПа и t1 = 40 °C, подвергается адиабатному сжатию. Степень сжатия ε =

=V1/V2 = 20. Определить конечное состояние газа.

5.20.В поршневом компрессоре сжимается воздух, имеющий

давление P1 = 0,15 МПа и температуру t1 = 27 °C. Процесс сжатия – политропный с показателем политропы n = 1,30. Давление в конце сжатия P2 = 0,7 МПа. Определить работу сжатия для 1 кг воздуха и количество отведенной теплоты.

5.21. Поршневой компрессор (в условиях, приведенных к нормальным) производительностью Vн = 2100 м3/ч засасывает воздух, параметры которого P1 = 0,1 МПа и t1 = 25 °C, и сжимает его до P2 = 0,9 МПа. Процесс сжатия – политропный с показателем политропы n = 1,2. Определить, какое количество воды в час нужно про-

41

пустить через охлаждающую рубашку цилиндра, если вода нагревается на t = 15 °C.

5.22. В политропном процессе, который начинается при параметрах P1 = 0,4 МПа и t1 = 127 °C, 1 кг воздуха проходит через промежуточное состояние с параметрами P0 = 0,8 МПа и t0 = = 187 °C. Конечное состояние достигается после совершения над воздухом работы L = –550 кДж/кг. Найти конечные параметры.

5.23.В политропном процессе расширения оксида углерода энергия, выделяемая газом в форме работы, составляется за счет подводимой теплоты (25 %) и уменьшения внутренней энергии газа (75 %). Определить показатель политропы сжатия.

5.24.При сжатии воздуха подведено 50 кДж/кг теплоты. В конце

политропного процесса температура воздуха увеличилась на 100 °C. Определить показатель политропы сжатия.

5.25.В процессе политропного расширения воздуху сообщается 83,7 кДж тепла. Определить изменение внутренней энергии воздуха и произведенную работу, если объем воздуха увеличился в 10 раз, а давление его уменьшилось в 8 раз.

5.26.Воздух расширяется по политропе, совершая при этом работу, равную 270 кДж, причем в одном случае воздуху сообщается 420 кДж тепла, а в другом – от воздуха отводится 92 кДж тепла. Определить в обоих случаях показатели политропы.

5.27.Известно, что 20 м3 воздуха при давлении P1 = 1 бар и тем-

пературе t1 = 18 °C сжимаются по политропе до P2 = 8 бар, причем показатель политропы n = 1,25. Какую работу надо затратить для получения 1 м3 сжатого воздуха, и какое количество тепла отводится при сжатии?

5.28.При внезапном открывании вентиля на баллоне высокого давления, один конец которого присоединен к трубе, а другой закрыт, газ, заключенный в трубе, подвергается быстрому сжатию, которое можно считать адиабатным. Определить повышение температуры, которое при этом произойдет, если линия заполнена кислородом при давлении 1,05 бар и температуре 300 K, а давление

вбаллоне 150 бар.

5.29.В цилиндре емкостью 0,2 л, закрытом крышкой-поршнем, находится воздух при давлении 100 бар и температуре 293 K. Определить скорость вылета крышки при ее внезапном освобождении, если масса крышки 1 кг, а воздух адиабатно расширяется в три

42

раза, прежде чем перестанет действовать на крышку. Какова будет температура воздуха после вылета крышки?

5.30.Для создания в рабочем участке аэродинамической трубы скорости воздуха 770 м/с необходимо осуществить его адиабатное расширение от 12,4 до 1,013 бар. До какой температуры нужно подогревать воздух перед соплом трубы, чтобы его температура в рабочем участке была не менее 278 K?

5.31.Осевой компрессор газовой турбины всасывает воздух при

давлении 1,013 бар и температуре 30 °C и подает его в камеру сгорания при давлении 0,73 МПа и температуре 640 K. Определить показатель политропы процесса сжатия, его теплоемкость, количество тепла, изменение внутренней энергии, энтальпии и работу сжатия 1 кг воздуха в компрессоре.

6.ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ. РАБОТОСПОСОБНОСТЬ ГАЗОВ

Энтропия

Аналогично внутренней энергии и энтальпии энтропия S является функцией состояния термодинамической системы; это также экстенсивная (аддитивная) величина. Понятие энтропии и второго закона термодинамики, аналитическое выражение которого

dS ≥ dQ/T, Дж/K,

неразрывно связаны.

Для обратимых процессов (и только) dS = dQ/T,

для любого обратимого цикла

dQ /T = 0 (интеграл Клаузиуса),

т.е. dS является полным дифференциалом в отличие от dQ. Подставляя в (4.1) и (4.2) dq = Tds (Дж/кг) в удельных (массовых) величинах, получаем

43

где s – удельная энтропия, Дж/(кг K).

Каждое из этих уравнений является аналитическим выражением объединенных первого и второго законов термодинамики для обратимых процессов.

Идеальный газ (Pv = RT, du = cv dT, dh = cp dT, cp – cv = R). В этом случае, вводя s = s2 – s1, из уравнений (6.1) следуют соотношения

А. Изохорный процесс (v = const), dq = cv dT:

В. Изотермический процесс (T=const), du=cv dT= dh = cp dT = 0:

T = Pv/R; dq = Pdv = –vdP, ds = Rdv/v = –RdP/P →

→s = R ln(v2/v1) = R ln(P1/P2).

Г. Адиабатный процесс (dq = 0), ds=0 (для обратимых процессов):

s = 0, s = const → изоэнтропийный процесс. Д. Политропный процесс (dq = cпdT, cп = const):

ds = cпdT/T → s = cп ln(T2/T1) = cv (n – k)/(n – 1) ln(T2/T1).

Для этого процесса T2/T1 = (v1/v2)n–1 = (P2/P1)(n–1)/n.

Замечание 1. Аддитивна энтропия S системы, удельная энтропия s – неаддитивная (интенсивная) величина, как и все удельные величины.

44

Пример решения задачи

Задача. Два изолированных объема жидкости массой M1 и М2 разделены адиабатной (нетеплопроводной) перегородкой. Жидкости имеют одно и то же давление и температуры T1 и T2, соответственно. Определить изменение энтропии S этой системы после того, как перегородка убирается и жидкости смешиваются. Жидкость считать несжимаемой, теплоемкости с1 и с2 заданы и постоянны.

Решение

А. Температура, которая установится в системе (Tсм – температура смешения), определяется из уравнений теплового баланса

с1M1(Tсм – T1) = Q1, с2M2(Tсм – T2) = Q2, Q1 + Q2 = 0.

Решение этих уравнений: Tсм = (с1M1T1 + с2M2T2)/(с1M1+ с2M2). Б. Для каждой жидкости dq = cdT и ds = cdT/T. Отсюда

S1 = c1M1ln(Tсм/T1) = M1 s1, S2 = c1M1ln(Tсм /T1) = M2 s2.

В силу экстенсивности энтропии (полной, а не удельной) из этих равенств окончательно получаем

S = S1 + S2 = c1M1 ln(Tсм/T1) + c1M1 ln(Tсм/T1) = = M1 s1 + M2 s2 ≠ s1 + s2.

Замечание 2. Следует иметь в виду, что табличные значения внутренней энергии, энтальпии, энтропии (uт, hт, sт), представленные в таблицах теплофизических свойств и соответствующих диаграммах состояния для различных веществ, в действительности представляют собой их приращения ( h, u, s) относительно некоторого характерного для этого вещества (одного из многих) термодинамического состояния (P0, V0, T0).

Например,

hт(P1, V1, T1) = h(P1, V1, T) – h0(P0, V0, T0)

и, очевидно,

h = h(P2, V2, T2) – h(P1, V1, T1) = hт(P1, V1, T1) = hт.

45

Для воды обычно полагают, что uт = hт = sт = 0 в «тройной точке». Иногда полагают, что uт = hт = sт = 0 при нормальных физических условиях. Для каждого вещества нулевые точки – разные, и здесь всегда требуется уточнение.

Эксергия рабочего тела

Под эксергией рабочего тела (ex) понимают максимальную полезную работу (работоспособность), которую можно получить от изолированной системы, состоящей из рабочего тела (источник работы) и окружающей среды, имеющей заданные фиксированные значения давления P0 и температуры T0. Для рабочего тела

где u, s, v – удельные внутренняя энергия, энтропия и объем рабочего тела в начальном неравновесном с окружающей средой состоянии; u0, s0, v0 – те же величины в конечном равновесном с окружающей средой состоянии.

Эксергия потока вещества (рабочего тела)

где h = u + Pv – энтальпия. Для идеального газа du = cv dT, dh =

= cp dT.

Эксергия теплоты. Максимальное количество полезной работы, которую можно получить в термодинамическом цикле за счет теплоты, сообщаемой рабочему телу горячим источником Q1, при заданных температурах горячего T1 и холодного T2 < T1 источников теплоты Q2, называется эксергией (работоспособностью) тепло-

ты. Ее величина определяется по формуле

ех = Q1(1 – T2/T1) = Q1ηt ,

где ηt – термический КПД цикла Карно.

Примеры решения задач

Задача 1. Находящийся при нормальных физических условиях воздух объемом 10 м3 сжимается обратимо до конечной температуры 400 °C. Сжатие производится изохорно, адиабатно, изобарно,

46

политропно с показателем n = 2,2. Считать воздух идеальным двухатомным газом с μ = 28,97 кг/кмоль; использовать теоретические значения теплоемкостей. Определить энтропию воздуха в конце каждого процесса, принимая ее равной нулю в исходном состоянии.

Решение

Вычисляем массу воздуха:

M = PV/(RT) = 101325 10/[(8314/28,97) 273,15] ≈ 12,9 кг. Находим сv , сp , k = сp /сv , сп = сv (n – k)/(n – 1):

μcv = (5/2) R0 = 20785 Дж/(кмоль K); cv = μcv /μ = 717,5 Дж/(кг K);

μcp = μcv + R0 = (7/2) R0; cp = 1004,5 Дж/(кг K) ≈ 1,005 кДж/(кг K); k = сp /сv = 7/5 = 1,4; cп = 717,5(2,2–1,4)/(2,2–1) = 521,8 Дж/(кг K).

Определяем изменение энтропии в каждом процессе.

1. Изохорный процесс. Из формулы (6.2) следует (так как s1 = 0) sv =sv =Mcv ln(T2/T1) =12,9 717,5 ln(673,15/273,15) =8348,2Дж/K.

2. Изобарный процесс. Из формулы (6.3) получаем

sp = sp = Mcp ln(T2/T1) = sv cp /cv = sv k = 11687,5 Дж/K.

3. Адиабатный процесс. Поскольку процесс – обратимый, то это одновременно и изоэнтропийный процесс:

ds = dQ/T = 0, s = s0 = 0.

4. Политропный процесс (dS = Mcп dT/T):

Sп = Sп = cп M ln(T2/T1) = Sv cп /cv = = 6071,2 Дж/K ≈ 6,07 кДж/K.

Задача 2. В сосуде объемом V = 300 л заключен воздух при давлении P1 = 5 МПа и температуре t1 = 20 °C. Параметры среды: P0 = = 0,1 МПа, t0 = 20 °C. Определить максимальную полезную работу, которую может произвести сжатый воздух, считая его идеальным двухатомным газом.

47

Решение

1.Переводим величины в единицы СИ: V = 300 10–3 м3 = 0,3 м3;

P1 = 5 106 Па; T1 = 293,15 K.

2.В конечном состоянии P2 = P0, T2 = T0 = T1. Так как газ –

ex = T0(s2 – s1) – P0(v2 – v1), Дж/кг.

Из (6.3) получаем

s= s2 – s1 = R ln(P1/P2) =

=(8314/28,97) ln(5/0,1) ≈ 1,123 кДж/(кг Κ).

Масса воздуха

М = P1V1/(RT1) ≈ (5 106 0,3)/(287 293) = 17,84 кг;

v1 = V/M = 0,0168 м3/кг; v2 = v1P1/P2 = 0,841 м3/кг; V2 = v2M = 15 м3; ex ≈ 293 1123 – 1 105 (0,841 – 0,0168) = 245,5 кДж/кг.

Для всей массы воздуха находим

Ex = M ex ≈ 4377 кДж.

Задача 3. В проточном теплообменнике нагревается воздух. Параметры воздуха на входе в теплообменник: P1 = 0,7 МПа, t1 = 140 °C, на выходе P2 = 0,63 МПа, t2 = 800 °C. Параметры среды: P0 = 0,1 МПа, t0 = 15 °C. Определить d – изменение эксергии 1 кг потока воздуха в теплообменнике. Воздух считать идеальным газом.

=288,15 K.

2.Из уравнения (6.6) для эксергии потока на входе и выходе получаем (для 1 кг воздуха)

ex1 = h1 – h0 – T0(s1 – s0),

48

льда сp = 2,03 кДж/(кг·K). Теплоемкость воды принять равной

4,187 кДж/(кг·K).

6.5.Определить приращение энтропии 3 кг воздуха: а) при нагревании его по изобаре от 0 до 400 °C; б) при нагревании его по изохоре от 0 до 880 °C; в) при изотермическом расширении с увеличением объема в 16 раз. Теплоемкость считать постоянной.

6.6.Средняя теплоемкость алюминия сp в интервале температур

от 0 до 300 °C равна 0,955 кДж/(кг·K). Определить энтропию 100 кг алюминия при 300 °C, считая, что его энтропия при 0 °C равна нулю.

6.7.Известно, что 1 кг воздуха сжимается по политропе от 1 бар

и20 °C до 8 бар при n = 1,2. Определить конечную температуру, изменение энтропии, количество отведенного тепла и затраченную работу.

6.8.В процессе политропного расширения воздуха температура

его уменьшилась от t1 = 25 °C до t2 = –37 °C. Начальное давление воздуха P1 = 4 бар, количество его m = 2 кг. Определить изменение энтропии в этом процессе и конечное давление воздуха, если известно, что количество подведенного к воздуху тепла составляет

89,2 кДж.

6.9.Известно, что 30 л воды с температурой 90 °C смешиваются

с20 л воды с температурой 15 °C. Определить вызванное этим процессом изменение энтропии. Теплоемкость воды принять равной 4,187 кДж/(кг·K). Считать, что тепловые потери отсутствуют.

6.10.Стальной шар массой 10 кг при 500 °C погружается в сосуд

с18 кг воды, температура которой равна 15 °C. Определить изменение энтропии системы в этом процессе. Считать, что тепловые потери отсутствуют. Теплоемкость принять равной 0,5129 кДж/(кг·K), теплоемкость воды – 4,187 кДж/(кг·K).

6.11.Определить энтропию 1 кг газовой смеси, состоящей из

азота и аргона, при P1 = 0,3 МПа и t1 = 300 °C. Массовые доли азота и аргона: gN2 = 0,37, gAr = 0,63. Газы считать идеальными; принять,

что при P0 = 0,1 МПа и t0 = 0 °C энтропии азота и аргона равны нулю.

6.12. Определить, насколько увеличится энтропия при смешении 3 кг азота и 2 кг углекислого газа. Газы считать идеальными. Температура и давление газов до смешения одинаковы.

50