Белозеров В.И. Сборник задач по курсу «Техническая термодинамика»

r (Na) = 0,8628, r (Na2) = 0,1372. Найти парциальные давления одно- и двухатомных паров натрия. Вычислить, как велика была бы ошибка в значении удельного объема, если бы пар натрия считался одноатомным. Молярная масса μ = 23 кг/кмоль.

3.6. В энергетических установках, работающих по парогазовому циклу, в качестве рабочего тела используется смесь водяного пара и горячих продуктов сгорания топлива. Массовая доля продуктов сгорания g = 0,7. Принять, что продукты сгорания обладают свойствами воздуха. Определить теплоемкость смеси cp при температурах 500 и 800 °C, а также удельный объем смеси при P = 0,1 МПа и t = 500 °C.

3.7.В сосуде находится смесь газов, образовавшаяся в результате смешения 10 кг азота, 13 кг аргона и 27 кг диоксида углерода. Определить мольный состав смеси, ее удельный объем при нормальных условиях, кажущуюся молярную массу смеси и газовую постоянную, отнесенную к 1 м3 при нормальных условиях.

3.8.Влажный воздух представляет собой смесь сухого воздуха и перегретого водяного пара. Известно, что на каждый килограмм сухого воздуха во влажном воздухе приходится d граммов водяного пара. Определить массовые и объемные доли сухого воздуха и водяного пара, плотность при нормальных условиях, газовую постоянную и кажущуюся молярную массу смеси, если d = 10 г/кг сухого воздуха.

3.9.Смесь газов, образовавшаяся при сжигании 1 кг мазута в

топке парового котла, имеет состав, определенный парциальными объемами составляющих V (CO2) = 1,85 м3, V (O2) = 0,77 м3, V (N2) =

=12,78 м3. Определить массовые доли и парциальные давления составляющих, если общее давление P = 1 бар.

3.10.Сосуд разделен перегородкой на две части, объемы которых V1 = 1,5 м3, V2 = 1,0 м3. В части объемом V1 содержится диок-

сид углерода при P1 = 0,5 МПа и t1 = 30 °C, а в части объемом V2 – кислород при P2 = 0,2 МПа и t2 = 57 °C. Определить массовые и объемные доли диоксида углерода и кислорода, кажущуюся молярную массу смеси и ее газовую постоянную после того, как перегородка будет убрана и процесс смешения закончится.

3.11. Горючий газ, полученный при подземной газификации угля, имеет следующий объемный состав: N2 = 63,6 %, H2 = 14,5 %,

СО = 10,0 %, СO2 = 9,5 %, H2S = 0,6 %, CH4 = 1,8 %. Рассчитать

21

приведенный к нормальным условиям объем воздуха, теоретически необходимый для сгорания 1 м3 газа, взятого также при нормальных условиях.

3.12.Известно, что 2 м3 воздуха при давлении 5 бар и температуре 50 °C смешивается с 10 м3 воздуха при давлении 2 бар и температуре 100 °C. Определить давление и температуру смеси.

3.13.В двух разобщенных между собой сосудах A и B содержатся следующие газы: в сосуде А – 50 л азота при P1 = 20 бар и

t1 = 200 °C; в сосуде В – 200 л углекислого газа при P2 = 5 бар и t2 = 600 °C. Определить давление и температуру, которые установятся после соединения сосудов. Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

3.14. Три разобщенных между собой сосуда A, B, C заполнены различными газами. В сосуде А, имеющем объем 10 л, находится сернистый ангидрид SO2 при давлении 60 бар и температуре 100 °C, в сосуде B объемом 5 л – азот при давлении 4 бар и температуре 200 °C и в сосуде C объемом 5 л – азот при давлении 2 МПа и температуре 300 °C. Определить давление и температуру, которые установятся после соединения сосудов между собой. Считать, что теплообмен со средой отсутствует.

3.15. В сборном газоходе котельной смешиваются уходящие газы трех котлов, имеющих атмосферное давление. Для упрощения принимается, что эти газы имеют одинаковый массовый состав, а

именно: CO2 = 11,8 %, O2 = 6,8 %, N2 = 75,6 %, H2O = 5,8 %. Часо-

вые расходы газов составляют Q1 = 7100 м3/ч, Q2 = 2600 м3/ч, Q3 = 11200 м3/ч, а температуры газов, соответственно, равны t1 = = 170 °C, t2 = 220 °C, t3 = 120 °C. Определить температуру газов после смешения и их объемный расход через дымовую трубу при этой температуре.

3.16. Определить средние объемную, мольную и массовую теплоемкости для смеси газов, состоящих из CO2 – 9 %, CO – 1 %, N2 – 81 %, O2 – 9 %. Давление смеси равно 1,5 бар, а температура –

560°F.

3.17.Определить парциальное давление кислорода, находящего-

ся в смеси следующего объемного состава: Ar – 25 %, CO2 – 39 %, O2 – 36 %. Смесь находится под давлением 1,5 атм при температуре

275 °R. Определить также плотность смеси.

22

3.18. В первом сосуде объемом 5 м3 содержится смесь газов N2 – 81 %, O2 – 19 %, давление в сосуде равно 15 МПа. Во втором сосуде объемом 150 л содержится He при температуре 137 °C и давлении 10 МПа. Определить, какое давление и температура установятся в системе из двух сосудов, если их соединить между собой.

4. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

Подведенная к телу теплота Q расходуется на увеличение его внутренней энергии U и на совершение работы L. В дифференциальной форме уравнение первого закона (начала) термодинамики (в отсутствие обмена веществом) имеет вид

dQ = dU + dL.

Правило знаков. Теплота, подведенная к телу, считается положительной, а отведенная – отрицательной. Работа, произведенная телом, считается положительной, а работа, совершенная над телом, – отрицательной.

В СИ единицей измерения энергии является джоуль (Дж = Н·м). Теплота и работа как формы передачи энергии имеют ту же единицу измерения.

Внутренняя энергия является функцией состояния. Ее изменение в ходе любого термодинамического процесса, переводящего тело (термодинамическую систему) из одного равновесного состояния в другое равновесное состояние, определяется лишь ее значениями в начальном и конечном состояниях, т.е. U = U2 – U1. Это означает, что dU является полным дифференциалом (dQ и dL таким свойством не обладают). Энергия – величина экстенсивная (аддитивная), т.е. энергия системы равна сумме энергий составляющих частей системы.

В случае, когда тело совершает работу только против сил внешнего давления, dL = PdV (работа расширения). Соответственно, уравнение первого закона термодинамики для удельных (массовых) величин с учетом правила знаков имеет вид

где u = U/M, Дж/кг; q = Q/M, Дж/кг; v = V/M, м3/кг.

23

Энтальпия H = U + PV [Дж] так же, как и внутренняя энергия, является функцией состояния, так как P, V – параметры состояния. Поскольку du = dh – Pdv – vdP, уравнение первого закона в удельных величинах может быть записано в форме

Произведение v dP называется располагаемой работой. Идеальный газ. Согласно закону Джоуля внутренняя энергия

идеального газа зависит только от температуры. Так как для идеального газа Pv = RT, то этим свойством обладает и энтальпия идеального газа. Прямым следствием закона Джоуля являются равенства

du = cvdT, dh = cpdT, Дж/кг,

где сv, cp – удельные теплоемкости в процессах подвода тепла, соответственно, при постоянном объеме и постоянном давлении, Дж кг–1 K–1.

Тогда для идеального газа уравнения (4.1) и (4.2) принимают вид

Вычитая из первого уравнения второе, получим для удельных массовых теплоемкостей

(cp – cv)dT = vdP + Pdv = d(Pv) = d(RT) = RdT, Дж кг–1 K–1,

а поскольку R = R0/μ, получаем

cp – cv = R0/μ (формула Р. Майера). Отсюда для удельных молярных (мольных) теплоемкостей

μcp – μcv ≡ (cp)μ – (cv)μ = R0, Дж кмоль–1 K–1,

Удельная объемная теплоемкость для газов с* приводится к объему при нормальных физических условиях Vн:

24

Для каждого вещества значения теплоемкостей определяются экспериментально и представлены в справочной литературе. Для оценочных расчетов можно принимать значения молярных теплоемкостей для разреженных газов (Дж кмоль–1 K–1), приведенные в табл. 4.1.

Следует различать истинную и среднюю теплоемкости.

По определению истинная теплоемкость c = dq/dT. Это функция температуры и процесса. Средняя теплоемкость связана с температурным интервалом в виде

Подведенное тепло (энергия в форме тепла) рассчитывается обычно с использованием средних значений теплоемкостей:

Q = cm M T = cμ n T = c* Vн T.

Обычно угловые скобки ( – «бра» и – «кет»), обозначающие усреднение, опускаются при использовании этих формул.

Замечание 1. Для унификации таблиц и диаграмм принято считать, что внутренняя энергия равна нулю в «тройной» точке воды:

P = 610,8 Па; T = 273,16 K = 0,01 °C; v = 0,0010002 м3/кг.

В этой точке h = 0,611 Дж/кг.

Замечание 2. В силу исторических причин в энергетике используется также внесистемная единица энергии – калория, имеющая модификации

международная – 1 кал = 4,1868 Дж;

25

15-градусная – 1 кал = 4,1858 Дж; термохимическая – 1 кал = 4,1840 Дж.

Иногда энергию измеряют в «лошадиных силах в час»:

1 л.с.ч = 75 кгс·м/с·3600 с = 75·9,8065 Н·м/c·3600 с ≈ 2648 кДж. 1 л.с. ≈ 736 Дж/с = 736 Вт.

Пример решения задачи

Задача. В исходном состоянии азот (N2) массой M0 = 3 кг имеет температуру T1 = 20 °C и давление P0 = 1,32 бар. При постоянном давлении (изобарный процесс) газу сообщается Q = 14,331 ккал тепла. Считая газ идеальным, найти увеличение объема газа V, совершенную им работу, конечную температуру T2, приращение внутренней энергии и энтальпии ( U и H), удельную массовую и молярную теплоемкости газа при постоянном объеме (cv, μcv). Счи-

тать, что сp (N2) = 1,047 кДж/(кг·K).

Решение

А. Переводим все заданные величины в систему единиц СИ:

T1 = 20 °C = 293,15 K,

P0 = 1,32 бар = 1,32·105 Па,

Q = 14,331 ккал = 14,331·4,1868 кДж = 60·103 Дж, сp(N2) = 1,047 кДж/(кг·K) = 1047 Дж/(кг·K).

Пользуясь таблицей Менделеева, находим молярную массу атомарного азота μ(N)= 14 кг/кмоль. Определяем молярную массу молекулярного (двухатомного) азота μ = μ(N2) = 2·μ(N) = = 28 кг/кмоль.

Б. Поскольку процесс идет при постоянном давлении, то dP = 0. Из первого закона термодинамики в форме (4.3) следует

M h = H = cp M T = Q (Дж) > 0,

T = T2 – T1 = Q/(Mcp) = 60·103/(3·1,047·103) = 19,102 K,

T2 = T1 + T = 293,15 + 19,102 = 312,252 K.

26

Таким образом, определены конечная температура T2 и приращение энтальпии H = Q = 60 кДж > 0.

В. Поскольку газ идеальный, в исходном и конечном равновесном состояниях имеем (R0 = 8314 Дж/(кмоль·K))

Из (4.4) можно определить V1:

V1 =M0 ·(R0/μ)·T1/P0 = 3 (8,314/28) (293,15/1,32 105) м3 =1,9783 м3.

Разделив (4.4) на (4.5) (отдельно левые и правые части), получим

V1/V2 = T1/T2

иV2 = V1 T2/T1 = 1,9783 (312,252/293,15) м3 = 2,1072 м3.

Соответственно, V = V2 – V1 = 0,1289 м3 > 0.

Так как в задаче требуется определить только V, а не V2 и V1, можно было бы вычесть из (4.5) уравнение (4.4) (отдельно левые и правые части):

P0(V2 – V1) = P0 V = (M0 ·R0 /μ) (T2 – T1),

V = (M0 ·R0 /μ) T/P0 = 0,1289 м3.

Г. Единственная работа, которую может совершать газ в отсутствие каких-либо силовых полей, – это работа против сил внешнего давления (работа расширения dL = PdV). Таким образом,

Из первого закона термодинамики в форме (4.1), (4.3) следует

U = cvM T = Q – L = (60 – 17,015) кДж = 42,985 кДж

исv = U/(M T) = 0,750 кДж/(кгK),

(cv)μ = μ cv = 21,002 кДж/(кмоль K).

Замечание. Теоретические значения, следующие из молекуляр- но-кинетической теории, таковы:

27

μcv = (5/2) R0 = 20,785 кДж/(кмоль K),

μcp = μcv + R0 = 29,099 кДж/(кмоль K).

Задачи

4.1.Определить часовой расход топлива, который необходим для работы паровой турбины мощностью 25 МВт, если теплота сгорания топлива Q = 33,85 МДж/кг, и известно, что на превращение тепловой энергии в механическую используется только 35 % тепла сожженного топлива.

4.2.На тепловой электростанции за 24 ч работы сожжены 85 т каменного угля, имеющего теплоту сгорания 28900 кДж/кг. Определить среднюю мощность станции, если в электрическую энергию превращено 21 % тепла, полученного при сгорании угля.

4.3.Мощность турбогенератора 12000 кВт, КПД генератора равен 0,98. Какое количество воздуха необходимо пропустить через генератор для его охлаждения, если подогрев воздуха не должен

превышать 40 °C, а начальная температура равна 20 °C?

4.4. Количество энергии, выделяющейся при расщеплении 1 кг ядерного горючего на АЭС, может быть условно названо «теплотой сгорания». Для урана эта величина равна 22,9 млн кВт ч/кг. Во сколько раз уран как горючее эффективнее каменного угля с теплотой сгорания 27500 кДж/кг?

4.5. Одним из важнейших компонентов атомной электростанции является реактор. Тепловой мощностью реактора называется полное количество тепла, которое выделяется в нем в течение часа. Обычно эту мощность выражают в киловаттах. Определить годовой расход ядерного горючего для реактора с тепловой мощностью 500000 кВт, если теплота сгорания применяемого для расщепления урана равна 22,9 106 кВт ч/кг, а число часов работы реактора составляет 7300.

4.6. Электрическая мощность первой АЭС равна 5000 кВт, а тепловая мощность реактора станции равна 30 МВт. Определить суточный расход урана, если выработка электроэнергии за сутки составила 120000 кВт ч. Теплоту сгорания урана принять равной 22,9 106 кВт ч/кг. Определить также, какое количество угля, имеющего теплоту сгорания 25800 кДж/кг, потребовалось бы для вы-

28

работки того же количества электроэнергии на тепловой электростанции, если бы КПД ее равнялся КПД АЭС.

4.7. При испытании двигателей внутреннего сгорания часто используются гидротормоза. Работа двигателя при торможении превращается в теплоту трения, и для уменьшения нагрева применяется водяное охлаждение. Определить часовой расход воды на охлаждение тормоза, если мощность двигателя равна 45 л.с., начальная температура воды 15 °C, конечная – 60 °C. Принять, что вся теплота трения передается охлаждающей воде.

4.8. При испытании нефтяного двигателя было найдено, что удельный расход топлива равен 170 г/л.с.ч. Определить эффективный КПД этого двигателя, если теплота сгорания топлива

41000 кДж/кг.

4.9.Паросиловая установка мощностью 4200 кВт имеет КПД

η= 0,2. Определить часовой расход топлива, если его теплота сгорания 25000 кДж/кг.

4.10.Сколько килограммов свинца можно нагреть от температу-

ры 15 °C до температуры его плавления tпл = 327 °C посредством удара молота массой 200 кг при падении его с высоты 2 м? Предполагается, что вся энергия падения молота превращается в теплоту, целиком поглощаемую свинцом. Теплоемкость свинца cp =

=0,1256 кДж/(кгK).

4.11.С высоты 92 м на твердую поверхность падает свинцовый шар. При этом потенциальная энергия шара переходит в теплоту, 83 % которой им усваивается. На сколько градусов нагреется при

падении шар? Теплоемкость свинца cp = 0,1256 кДж/(кг K).

4.12. Какова должна быть скорость свинцовой пули, чтобы при ударе о стальную плиту она полностью расплавилась? Предполагается, что в момент удара температура пули равна 27 °C. Температура плавления свинца равна 327 °C, теплота плавления rпл =

=20,934 кДж/кг, а теплоемкость 0,1256 кДж/(кг K).

4.13.Одинаковые массы ртути и воды падают с одной и той же высоты на твердую поверхность. Перед падением и ртуть, и вода имеют одну и ту же температуру. Допуская, что вся энергия падения аккумулируется падающими массами, определить, у какой из них изменение температуры будет больше и во сколько раз. Тепло-

емкость ртути ср = 0,14 кДж/(кг K), воды – 4,19 кДж/(кг K).

29

4.14. Во время испытаний двигатель тормозится. На сколько градусов нагреется охлаждающая тормоз вода, если крутящий момент двигателя 5 кДж, а частота вращения 1500 об/мин? Известно, что к колодкам тормоза подводится 10 т/ч воды при температуре 15 °C. Предполагается, что вся работа двигателя превращается в теплоту трения.

4.15. Какое количество охлаждающей воды следует подавать на колодки испытательного тормоза в 1 ч, если мощность двигателя 55 кВт, температура охлаждающей воды 15 °C, а предельно допустимая температура воды на выходе 78 °C, причем 25 % теплоты трения рассеивается в окружающей среде?

4.16.При торможении двигателя охлаждающая тормозные колодки вода нагревается на 25 K. Расход воды равен 1650 кг/ч. Определить мощность двигателя, если 30 % теплоты трения рассеивается в окружающей среде.

4.17.Какова стоимость энергии, необходимой для того, чтобы поднять 2 т оборудования на вершину телевизионной башни высотой 516 м, если цена электроэнергии составляет 4 коп./(кВт·ч), а

КПД подъемного крана η = 0,86? Указанная цена существовала во времена СССР до контрреволюции 1991 г. Сравните это значение с сегодняшней стоимостью.

4.18. На сжатие 3 кг метана (CH4) затрачено 800 кДж работы, при этом внутренняя энергия газа увеличилась на 595 кДж. Определить количество тепла и указать, подводится оно или отводится; определить изменение температуры и энтальпии газа, если мольная теплоемкость метана при постоянном объеме равна

26,48 кДж/(кмоль K).

4.19. Определить изменение внутренней энергии стального стержня диаметром 20 мм, нагруженного постоянной растягивающей силой 0,3 МН, при изменении его температуры от 0 до 20 °C. Коэффициент линейного расширения стали 1,3·10–5 град–1, теплоемкость 0,46 кДж/(кг K), плотность 7800 кг/м3. Работой стержня против сил атмосферного давления пренебречь.

4.20. В калориметрической бомбе емкостью 400 см3, заполненной кислородом при давлении 25 бар и температуре 20 °C, сгорает 0,4 г топлива, имеющего теплотворную способность 25100 кДж /кг.

30