Белозеров В.И. Сборник задач по курсу «Техническая термодинамика»

W = 90 % барометрического давления B = 0,101 МПа. Определить силу F натяжения пружины, если поршень неподвижен.

1.18. По трубопроводу диаметром d = 50 мм, присоединенному к сосуду, подается газ, удельный объем которого v = 0,5 м3/кг. За какое время газ наполнит сосуд, если его объем V = 5 м3, средняя по сечению скорость газа в трубопроводе W = 2,55 м/c, а плотность газа, заполнившего сосуд, ρ = 0,00127 г/см3.

1.19.Температура пара, выходящего из перегревателя парового котла, равна 950 °F. Перевести эту температуру в градусы Цельсия, Кельвина, Реомюра, Ренкина.

1.20.Водяной пар перегрет на 45 °С. Чему соответствует этот перегрев по шкале Фаренгейта и шкале Ренкина?

1.21.Температура пара после прохождения его через паропере-

греватель котельного агрегата увеличилась на 450 °F. Чему равно увеличение температуры пара, выраженное в градусах Цельсия?

1.22.При установлении своей шкалы Фаренгейт принял за 100° нормальную температуру человеческого тела. Какова, по мнению Фаренгейта, эта температура в градусах Цельсия?

1.23.В США употребляется абсолютная шкала Ренкина, в которой за нуль принята температура абсолютного нуля, а цена деления такая же, как и цена деления шкалы Фаренгейта. Какова температура по абсолютной шкале Ренкина, если в градусах Цельсия она

равна 520 °C?

1.24.Температура пара на входе в цилиндр высокого давления (ЦВД) турбины составляет 350 °C, а его давление 64 бар. Перевести давление в МПа, а температуру в °F.

1.25.Какова температура абсолютного нуля по шкале Ренкина?

1.26.Какова разность температур по шкале Цельсия, если по

шкале Фаренгейта она составляет 150 °F?

2. ИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

Идеальный газ – система материальных точек, взаимодействующих между собой и со стенками сосуда только путем упругих соударений. Другие механизмы взаимодействия отсутствуют. Существующие в действительности газы при не слишком низких темпе-

11

ратурах и достаточно малых давлениях – разреженные газы – по своим свойствам близки к идеальному газу.

Реальный газ тем больше отличается от идеального, чем выше его плотность. С точки зрения молекулярно-кинетической теории отклонение реального газа от идеального («не идеальность») обусловлено, в первую очередь, наличием у молекул собственного объема и сложным механизмом межмолекулярного взаимодействия.

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева– Клапейрона), молярная масса которого μ (кг/кмоль), масса M (кг), занимающего объем V (м3) при давлении P (Па) и абсолютной температуре T (K), записывается следующим образом:

называют газовой постоянной.

Молярной называется масса в килограммах одного киломоля газа. Она численно равна атомной массе вещества для одноатомных газов или сумме атомных масс составляющих элементов, если вещество газа – многоатомное химическое соединение. Например, для серной кислоты, пользуясь таблицей химических элементов Менделеева и округляя атомные массы до целого числа, находим

μ(H2SO4) = 2μ(H) + μ(S) + 4μ(O) = 2 + 32 + 64 = 98 кг/кмоль.

Поскольку удельный объем v = V/M – объем, занимаемый 1 кг газа, то μ v – объем, занимаемый μ кг газа, т.е. одним киломолем (молярный объем). Из уравнения Менделеева–Клапейрона следует, что при одних и тех же P и Т киломоль любого идеального газа занимает один и тот же объем:

μv = R0 T/P, м3/кмоль.

При нормальных физических условиях (P = 101325 Па, T = = 273,15 K) μv = 22,4136 м3/кмоль, т.е. 1 кмоль вещества занимает объем, равный 22,4136 м3. Следовательно, в объеме 22,4136 м3 при этих значениях P и Т будет находиться, например, либо 1 кг атомарного водорода, либо 32 кг двухатомного кислорода (μ(O2) = = 32 кг/кмоль).

12

Очевидно, что отношение n = M/μ определяет количество вещества в киломолях. Для идеального газа получаем

n = P V/(R0 T), кмоль.

Это равенство выражает закон Авогадро: в одинаковых объемах идеальных газов при одинаковых T и P содержится одно и то же число молекул. По определению, в одном киломоле любого вещества содержится одно и то же число молекул (атомов – для одноатомных). Его определяет фундаментальная физическая постоянная – число Авогадро NA:

NA = 6,022045·1026 1/кмоль.

Наконец, отношение постоянных R0 и NA определяет третью физическую постоянную – число Больцмана k:

k= R0 /NA = 1,38066210–23 Дж/K ≈ 1,38·10–23 Дж/K.

Сучетом этого, уравнение Менделеева–Клапейрона можно записать в виде

P μ v/NA = k T Дж.

Величину μ v/NA можно условно рассматривать как средний объем, приходящийся на одну молекулу, а k T – как среднюю энергию теплового движения одной молекулы.

Задачи

2.1.Определить плотность и удельный объем диоксида углерода CO2 при нормальных физических условиях.

2.2.Плотность воздуха при нормальных физических условиях

равна ρ = 1,293 кг/м3. Чему равна плотность воздуха при давлении P = 15 бар и температуре t = 20 °C?

2.3. Определить массу углекислого газа в сосуде объемом V = 4 м3 при t = 80 °C. Давление газа по манометру равно 0,4 бар. Барометрическое давление B = 780 мм рт. ст.

2.4. Начальное состояние азота задано параметрами t = 200 °C, v = 1,9 м3/кг. Азот нагревается при постоянном давлении, причем удельный объем азота увеличивается до 5,7 м3/кг. Определить конечную температуру.

13

2.5.В цилиндре с подвижным поршнем находится кислород при t = 80 °C и разрежении (вакууме), равном 427 ГПа. При постоянной температуре кислород сжимается до избыточного давления Pизб =

=1,2 МПа. Барометрическое давление B = 993 ГПа. Во сколько раз уменьшится объем кислорода?

2.6.Абсолютное давление азота в сосуде при комнатной темпе-

ратуре (t = 20 °C) P = 2,2 МПа. В сосуде азот нагревают, причем известно, что предельное избыточное давление, при котором возможна безопасная работа, P = 6 МПа. Определить температуру, до которой возможно нагревание азота. Барометрическое давление B =

=1000 ГПа.

2.7.В воздухоподогреватель парового котла подается вентиля-

тором 130000 м3/ч воздуха при температуре 28 °C. Определить объемный расход воздуха на выходе из воздухоподогревателя, если нагрев его производится до 400 °C при постоянном давлении.

2.8. Известно, что 1 кмоль газа содержит 6,022·1026 молекул. Чтобы представить себе гигантскую величину этого числа, полезно проделать мысленно такой опыт. В сосуде объемом 1 см3 создан полный вакуум, т.е. удалены молекулы. В стенке сосуда сделано отверстие такого размера, что из окружающего воздуха в сосуд проникают молекулы с расходом 1 108 молекул в секунду. Определить, сколько времени потребуется, чтобы плотность воздуха в рассматриваемом объеме стала равной плотности окружающего воздуха, если окружающий воздух находится при нормальных условиях, а скорость проникновения молекул остается неизменной.

2.9.Паротурбинная установка мощностью 100 МВт расходует 0,37 кг топлива на 1 кВт·ч. Какова должна быть суммарная массо-

вая производительность вентиляторов, подающих воздух в топку котла, если для сжигания топлива требуется 16 м3 воздуха при нормальных условиях? Определить, что это за вещество.

2.10.В комнате площадью 42 м2 и высотой 2,9 м находится воз-

дух при температуре 22 °C и барометрическом давлении 980,3 ГПа. Какое количество воздуха проникнет с улицы в комнату, если барометрическое давление увеличится до 1020 ГПа, а температура останется постоянной.

2.11. Известно, что 0,37·10–3 кг газообразного вещества, формула которого СnHn , при температуре 400 K и абсолютном давлении

14

0,958 бар имеет объем 164·10–6 м3. Определить, что это за вещество.

2.12. Определить, действительно ли молекула кислорода является двухатомной, если известно, что в объеме, равном 4 дм3, находится 5 г кислорода при температуре 150 °C и P = 0,1373 МПа. Чему было бы равно давление газа, если бы молекула состояла из трех атомов кислорода (озон O3)?

2.13. Известно, что 0,003 м3 кислорода, отнесенного к нормальным физическим условиям, находится в сосуде емкостью 650 см3. Определить показания манометра, измеряющего давление в этом сосуде, если температура кислорода 200 °C. Атмосферное давление

1016 гПа.

2.14. Компрессор подает азот в резервуар емкостью 3 м3; избыточное давление в резервуаре увеличивается при этом от 0,01 до 0,6 МПа, а температура газа от 15 до 30 °С. Определить массу поданного компрессором азота. Барометрическое давление равно

987ГПа.

2.15.Определить подъемную силу шара-зонда, наполненного водородом и имеющего объем 1 м3. Абсолютное давление воздуха 0,1 МПа. Избыточное давление в шаре 0,333 бар. Температура водорода равна температуре воздуха T = 288 K. Изменением температуры и давления при подъеме пренебречь.

Примечание. Подъемной силой называется разность удельных весов окружающей среды и газа, заполняющего шар.

2.16. Определить подъемную силу воздушного шара, наполненного водородом, если объем его на поверхности земли равен 1,2 м3 при давлении P = 752 мм рт. ст. и температуре t = 17 °C.

2.17. Определить необходимый объем аэростата, наполненного водородом, если подъемная сила, которую он должен иметь на высоте H = 7000 м, равна 39240 Н. Параметры воздуха на этой высоте принять равными P = 0,41 бар, t = –30 °C. Насколько изменится подъемная сила аэростата при заполнении его гелием? Чему равен объем аэростата на поверхности земли при давлении P = 0,981 бар, t = 30 °C?

2.18. В герметически закрытом цилиндре поршень может двигаться без трения. По одну сторону поршня помещается 1 г водо-

15

рода, а по другую – то же количество углекислого газа. Определить соотношение объемов справа и слева при равновесии.

2.19. Поршневой компрессор всасывает в минуту 3 м3 воздуха при температуре t = 17 °C и барометрическом давлении 753 мм рт. ст. и нагнетает его в резервуар, объем которого равен 8,5 м3. За сколько минут компрессор поднимает давление в резервуаре до 7 бар, если температура в нем будет оставаться постоянной? Начальное давление воздуха в резервуаре составляло 753 мм рт. ст. при температуре 17 °C.

2.20. На аналитических весах взвешивают образец из пластмассы, причем в момент равновесия на весах стоят гири общей массой 80,146 г. Определить истинную массу образца (т.е. с учетом поправки на выталкивающую силу воздуха), если известно, что плотность пластмассы равна 0,2 г/см3, а плотность вещества гирь 8,4 г/см3. Взвешивание производится в комнате при параметрах воздуха t = 25 °C, P = 0,102 МПа.

2.21.Известно, что 5 м3 кислорода с начальным абсолютным давлением P1 = = 0,4 МПа при температуре t = 135 °C сжимаются изотермически до достижения давления P2 = 1,5 МПа. Определить количество газа, участвующего в процессе, и его конечный объем.

2.22.Воздушный компрессор сжимает 150 кг/ч азота. Определено, что при сжатии энтальпия азота увеличивается на 18 МДж/ч, а энтальпия охлаждающей компрессор воды – на 12 МДж/ч. Пренебрегая потерями и изменением кинетической и потенциальной энергиями, найти мощность привода компрессора.

3. СМЕСИ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

Физической моделью идеального газа, приводящей к уравнению Менделеева–Клапейрона, является система материальных точек, взаимодействующих только путем упругих соударений; другие механизмы взаимодействия отсутствуют. В отсутствие химического взаимодействия смесь одноили многоатомных идеальных газов также – идеальный газ, для которого справедливо уравнение Мен- делеева–Клапейрона.

16

Уравнение состояния отдельного компонента газа в смеси

Ввиду отсутствия сил взаимодействия каждый газ «не чувствует» присутствия других компонентов смеси и занимает весь объем сосуда Vсм. В силу термодинамической равновесности температура T компонентов и смеси одна и та же. Следовательно, давление Pj, оказываемое на стенки сосуда только j-м компонентом смеси из k компонентов, определяется из уравнения

Здесь nj – количество киломолей j-го компонента в смеси. Эти давления называют парциальными.

Уравнение состояния смеси

В соответствии с законом Дальтона (закон парциальных давлений) полное давление рассматриваемой смеси газов равно сумме парциальных давлений:

Pсм = k Pj .

j=1

Суммируя отдельно левые и правые части уравнений (3.1) по j, получим

Здесь Mсм – масса смеси, Mсм = Σj (Mj); Mj /Mсм – массовая доля j-го компонента в смеси, Mj /Mсм = gj. Это и есть уравнение состояния

смеси идеальных газов (Менделеева–Клапейрона). С учетом закона Дальтона оно имеет вид

PсмVсм = (Mсм /μсм) R0 T ≡ nсм R0 T,

где μсм–1 – эффективная, или кажущаяся, молярная масса газовой

смеси, μсм–1 = Σj (gj /μj).

Вне смеси любой газ при заданном давлении Pсм и температуре

17

Эти условные для смеси объемы называют парциальными объемами. Из уравнений (3.1), (3.2) ввиду равенства их правых частей следует, что

PjVсм = PсмVj , или Pj /Pсм = Vj /Vсм .

Суммируя это уравнение по j, с учетом закона Дальтона получаем

k

Vсм = Vj .

j=1

Эффективную молярную массу смеси можно рассчитать, если известны объемные доли компонентов смеси rj = Vj/Vсм. Перепишем уравнение (3.2) в виде

Pсм Vсм (μj Vj /Vсм) = Mj R0 T.

Суммируя по j левые и правые части этого уравнения, с учетом вида уравнения состояния газовой смеси находим

Замечание 1. Выше было получено, что rj = Vj /Vсм = Pj /Pсм. Из (3.1) и уравнения состояния смеси следует, что Pj /Pсм = nj /nсм, т.е. объемные rj и молярные nj /nсм доли совпадают:

rj = Vj /Vсм = nj /nсм.

Замечание 2. Реальными величинами газовой смеси являются количества молекул каждого компонента смеси Nj. Общее количество молекул смеси Nсм = Σj (Nj). Поскольку каждый киломоль любого вещества по определению содержит одно и то же число молекул NA, то общее число киломолей в смеси равно сумме киломолей компонентов смеси nj :

По определению μсм имеет двоякое представление:

18

Теплоемкость смеси идеальных газов

Удельная теплоемкость вещества определяется как теплоемкость:

а) единицы его массы (кг) – массовая удельная теплоемкость,

сm , Дж/(кг·K);

б) единицы его количества (кмоль) – молярная (мольная) удельная теплоемкость, сμ, Дж/(кмоль·K);

в) единицы его объема (м3) – объемная удельная теплоемкость,

с*, Дж/(м3·K).

Для смеси идеальных газов или любого ее компонента, имеющего массу M (кг), содержащего n киломолей и занимающего объем V (м3), изменение количества тепла Q и соответствующее изменение температуры T связаны уравнениями (сm, сμ , с* – средние значения):

Q = сm ·M · T= сμ ·n · T = с*·Vн · T.

Здесь Vн – объем, который занимает газ массой M при нормальных физических условиях: P0 = 101325 Па, T0 = 273,15 K. Отсюда получаем соотношения

cμ = cm(M/n) = μcm; c* = cm(M/Vн) = cm /vн = μcm /(μvн) = cμ /22,41.

Для смеси Qсм = Σj ( Qj), следовательно,

19

Здесь Vj – парциальные объемы.

Задачи

3.1.Смесь 10 кг кислорода и 15 кг азота имеет давление 0,3 МПа

итемпературу 27 °C. Определить мольные доли zi каждого газа в смеси, кажущуюся молярную массу смеси, газовую постоянную, общий объем смеси, парциальные давления и объемы газов.

3.2.Определить газовую постоянную смеси газов, состоящей из 1 м3 генераторного газа и 1,5 м3 воздуха, взятых при нормальных физических условиях, и найти парциальные давления составляющих смеси. Плотность генераторного газа принять равной 1,2 кг/м3.

3.3.Газ коксовых печей имеет следующий объемный состав:

H2 = 57 %, CH4 = 23 %, СО = 6 %, CO2 = 2 %, N2 = 12 %. Опреде-

лить кажущуюся молярную массу смеси, массовые доли составляющий смеси, газовую постоянную, плотность смеси, парциальные

давления газов при 15 °C и 1 бар.

3.4.Воздух объемом 0,3 м3 смешивается с 0,5 кг углекислого газа. Оба газа до смешения имели параметры P = 0,6 МПа, t = 45 °C. Определить парциальное давление углекислого газа после смешения.

3.5.Определить удельный объем пара натрия при P = 1 МПа,

t = 927 °C, если известно, что при этих параметрах пар натрия является смесью одно- и двухатомных молекул мольного состава:

20