Электромагнитные волны

Волновое уравнение для электромагнитной волны. Рассмотрим нейтральную непроводящую среду с проницаемостямии, где и(54) . Поскольку в данном случае плотности токов и зарядов равны нулю (=0,j=0), уравнения Максвелла в дифференциальной форме будут иметь вид

(I)(II)

(III)(IV).

Подставим в уравнение (III)и продифференцируем его по времени:

,

где мы использовали правило преобразования двойного векторного произведения («bac-cab»):

.

Из (IV) уравнения Максвелла и равенства(54) следует, что , и в результате остаетсяволновое уравнениедля вектора(и для вектора, если по тому же рецепту продифференцировать уравнение (I) и т. д…)

, (55)

. (56)

Множитель при второй производной по времени определяет скорость распространения волны

, (57)

что для вакуума (=1,=1) дает удивительный результат: скорость волны равна скорости света

. (58)

Таким образом, из уравнений Максвелла следует, что свет является электромагнитной волной. И наоборот, переменное электромагнитное поле в вакууме распространяется со скоростью света, независимо от своей частоты! Рассмотрим простейшую электромагнитную волну.

Плоская электромагнитная волна. Пусть плоская волна распространяется вдоль осих. Поскольку волновые поверхности (плоскости) будут в этом случае перпендикулярны осих, то векторыи, аи их проекции на осиyиzне будут зависеть отyиz(иначе волна не могла бы распространяться строго в направлении осих). Следовательно, в уравнениях Максвелла (I-IV) производные поyиzбудут равны нулю и уравнения упрощаются. Чтобы это показать, распишем уравнения Максвелла (rot- с помощью определителей), оставив во всех уравнениях только векторыи, что легко сделать с учетом (54).

(I)

(III)

(IV)

(II)

Распишем векторные уравнения (I) и (III) в проекциях, и то, что осталось от уравнений (IV) и (II) (должно быть всего 8 скалярных уравнений):

,; (I)

Хочется в этом месте Вас подбодрить, но ничего утешительного сказать не могу,- идём дальше! Будьте внимательны! По разные стороны от знака (=) проекции на разные оси!

,; (III)

Ничего, что в верхних уравнениях (ох:...) в рамках опущены не равные нулю множители?

(IV)(II).

Из проекций на охв (I) и (III) следует, чтоН_хиЕ_хне зависят от времени, а из (IV) и (II) - что эти проекции не зависят также и отх. Следовательно,Н_хиЕ_хмогут быть только постоянными однородными полями, накладывающимися на поле волны. Они не будут распространяться и поэтому не будут нас в дальнейшем интересовать. Во всяком случае, переменныеН_хиЕ_хравны нулю. Следовательно, отличными от нуляпеременнымикомпонентами векторовиостаются только их проекции на осиyиz, которые перпендикулярны направлению распространения, следовательно,электромагнитная волна является поперечной. Кроме, того, векторыиортогональны между собой. Действительно, выпишем рядом третье уравнение из рамки (I) и второе из (III):

;(59)

Из рассмотрения этой пары видно, что изменение во времени поля вдоль оси zпорождает электрическое поле вдоль осиyи наоборот: изменение электрического поля вдоль осиyпорождает магнитное поле вдоль осиz. При этом не возникает ни полеE_z, ни полеH_y. А это и значит, что.Векторы ив электромагнитной волне взаимно ортогональны! Из полученной пары (59) нетрудно получить волновое уравнение, например, продифференцировать первое из них по координате, а второе по времени. После чего будет легко увидеть, что вторые производные отE_y по времени и координате связаны волновым уравнением

, (60)

и аналогично можно получить волновое уравнение для H_z

. (61)

Ранее из уравнений Максвелла были получены волновые уравнения (55,56) в более общем случае, что позволяет уравнения (60,61) написать для любой проекции. Но тогда мы потеряли бы информацию о геометрии волны.

Как связаны мгновенные значенияи? ПустьE_y = E_y(t-x/с),H_z= H_z(t-x/с). Обозначим фазуφ≡(t-x/с) и вычислим производные: отE_yпо координатех; отH_zпо времени:

;.

Подставим эти производные в первое из уравнений (59)

,, где константа обусловлена наличием постоянной компоненты полей. Нас интересует только переменное поле, для которого положимconst=0,

, (62)

это означает, чтовекторы иизменяются синхфазно, в частности, одновременно обращаются в нуль и достигают максимумов/минимумов. Кроме того, эти векторы составляют правовинтовую систему с направлением распространения (рис.14). По этим свойствам и направлению распространения волны можно однозначно определить в каких именно плоскостях колеблются векторыи(- в плоскостиxy;- в плоскостиxz) , поэтому уравнения плоской электромагнитной волны принято записывать без указания проекций:

Е=E_m cos(t-kx); H=H_m cos(t-kx). (63)

NB! Обратите внимание! На рис.14 изображена электромагнитная волна: векторыив каждой точке осихв некоторый момент времени! Через время, равное половине периода колебаний картина изменится (рис.15). Вообще картина непрерывно изменяется не только в пространстве, но и во времени!

Полезный совет: обратите внимание сейчас, что изображенные на рис. 14 и 15 мгновенные фотографии волны позволяют наглядно увидеть, что вектор в процессе распространения волны все время колеблется вплоскостиxy! Поэтому данная волна являетсяплоско-поляризованной! Обязательно вернитесь к этим картинкам позже, когда мы будем изучатьполяризованный свет.

Энергия электромагнитной волны. В сущности, - это энергия электромагнитного поля. Плотность этой энергии мы получили, когда изучали электродинамику

(63)

Выражение (63) имеет место для изотропной среды, в которой мы получили соотношение (62), 

плотность электрической энергии в этой волне равна плотности магнитной энергии. Это позволяет выразить wнесколькими способами:

(64)

Умножив wна, получим плотность потока энергии:П =w =EH, что с учетом ортогональности векторовиможно записать в виде векторного произведения

(65)

Вектор называется вектором Пойнтинга. ПодставимЕиз (63) в (64):, П =w=. По определению, интенсивность такой волны равна среднему значению плотности потока энергии (и учитывая, что <cos²>=1/2), получим

(66)

Этот результат исключительно важен: интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды вектора .

(67)

Импульс электромагнитной волны. Давление света. Пусть электромагнитная волна падает нормально на плоскую площадкуS). В данном случае полезно вспомнить, что свет не только волна, но и поток фотонов, имеющих нулевую массу покоя. Согласно теории относительности импульс (который мы обозначимК, чтобы не путать с давлением) объекта с нулевой массой покоя, движущегося со скоростью света и имеющий энергиюWравен . Следовательно, вместе с переносом энергии в том же направлении переносится и импульс. Разделим обе части на объем,, гдеw– плотность энергии. Вычислим импульс, сообщаемый поверхности за времяdt. Выделим вплотную к поверхности слой толщинойcdt,объем выделенного слояdV=Scdt. Все фотоны, находящиеся вdVза времяdtуспеют достичь поверхности и передать ей свой импульсdК:. Но по второму закону Ньютона,. Таким образом, мы получили результат:давление электромагнитной волны равно объемной плотности энергии этой волны

. (68)

На самом деле эта величина пульсирует с очень большой частотой, поэтому практический интерес представляет ее среднее значение, р= <w>. Для идеально отражающей поверхности это давление будет в два раза больше (ср.: импульс, переданный стенке при абсолютно упругом ударе шарика в два раза больше, чем при абсолютно неупругом). Следует еще добавить, что световое давление очень мало (10^-5Па), по сравнению с атмосферным (10⁵Па).

Эффект Доплера для электромагнитных волн.Для электромагнитных волн, в отличие от звуковых, нет среды, которая бы являлась их носителем. Поэтому смещение частоты волн определяется только скоростью приемника относительно источника. Пусть вК-системе отсчета покоится приемник, и к нему со скоростьюприближается источник электромагнитных волн, с которым свяжем движущуюся систему отсчетаК. Пусть в системеКсигналы испускаются с частотой₀. Найдем частоту, которую зафиксирует приемник. Период сигналов в системеКравенТ₀=1/₀. С точки зрения наблюдателя в системеКэтот период будет больше, где=/с. Расстояние между соседними импульсами вК-системе (длина волны). Поэтому частота, воспринимаемая приемником, будет больше (или меньше, если источник удаляется)=с/,

. (69)

В случае удаления источника от приемника в знаменателе следует минус заменить на плюс. С помощью эффекта Доплерав 1929 годуХабблобнаружилкосмологическое красное смещение: линии в спектрах излучения внегалактических объектов оказались смещенными в сторону больших длин волн, т.е. в красную часть спектра. Это послужило основанием для доказательства удаления внегалактических объектов от нашей Галактики со скоростями, пропорциональными расстоянию до них.