Дифракция света

Под дифракцией понимают круг явлений, связанный с отклонением от прямолинейного распространения света. Дифракция возникает, если появляется преграда, закрывающая часть световой волны. Тогда на экране за преградой возникнет дифракционная картина в виде чередования областей минимумов и максимумов освещенности. Решение задач дифракции с помощью уравнений Максвелла натыкается на значительные математические трудности. Для весьма широкого круга задач пригоден значительно более простой и наглядный приближенный метод, основанный на принципе Гюйгенса-Френеля.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Рассмотрим непрозрачную преградуNс отверстием произвольной формы, через которое проходит свет от точечного монохроматического источникаС(рис.22). Определим напряженность электрической компоненты световой волны в произвольно точкеРза преградой. Перекроем мысленно отверстие в преграде произвольной поверхностьюSи разобьем ее на элементарные участкиdS. Френель предложил считать каждый такой элементарный участок источником вторичной сферической волны. Достигнув точкиР, амплитуда этой волны будет пропорциональна амплитуде первичной волны и самойdS, и обратно пропорциональна расстояниюrотdSдоР. В результате точки Р достигнет колебание электрического вектора, величина которого меняется по закону

, (87)

где коэффициент Кзависит от углаθмежду нормалью кdSи направлением на точкуР. Логично допустить, что коэффициентК монотонно убывает по мере увеличенияθ. Результирующее колебание в точкеРравно

. (88)

Мы получили математическую формулировку принципаГюйгенса-Френеля. Суть его в следующем: для определения электрической компоненты световой волны в точкеР, лежащей за некоторой поверхностьюS, являющейся источником вторичных волн, необходимо найти колебания, приходящие в эту точку от всех элементовdSэтой поверхности, а затем сложить их с учетом амплитуд и фаз при помощи векторной диаграммы (рис.23). На этой диаграмме результирующая амплитуда= сумме амплитуд .

Рассмотрим при помощи принципа Гюйгенса-Френеля дифракцию от круглого отверстия.

Разобьемволновую поверхность на кольцевые зоны таким образом, чтобы расстояние от внешней границы очередной зоны до точкиРотличалось наλ/2 (рис.24). Нетрудно сообразить, что внешний радиусm-й зоны равен

. (89)

Если на отверстие падает плоская волна, то

. (90)

Площади зон =π, т.е. практически одинаковы. Однако амплитуды колебаний, приходящих в точкуР, по мере увеличенияmмонотонно и очень медленно убывают из-за увеличения расстоянияr_mи роста углаθ. Фазы колебаний, возбуждаемых в точкеРсоседними зонами, отличаются наπ, поэтому векторы амплитуд нечетных зон противоположны векторам-амплитудам от четных зон. Если число зон нечетное, то в точкеРнаблюдается максимум, если число зон четное, то – минимум.

Амплитуду результирующего колебания можно получить графически, как мы указывали выше: каждую зону и всю поверхность делят на весьма узкие (дифференциально узкие подзоны площадьюdS). Тогда результат действия 1-й зоны Френеля можно изобразить диаграммой (рис.25а), которая соответствует сдвигу фаз наπв пределах от центра до внешней границы зоны и дает максимально возможную амплитудуА₁. Результат действия первых двух зон (рис.25b) дает амплитудуА₂, близкую к нулю; трех зон -А₃(рис.25с), чуть меньшую максимальной и так далее. АмплитудаА_∞при всех открытых зонах составляет половинуА₁. Поэтому интенсивность в точкеРв этом случае парадоксальным образом оказывается в 4 раза меньше, чем при открытой только первой зоне (напомним: интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды). Отсюда следует объяснение наблюдаемой на экране за отверстием картины чередования темных и светлых полос.

Дифракция от щели. Пусть на щель шириныbпадает нормально плоская световая волна (рис.26). Разобьем щель на зоны в виде узких полосок одинаковой ширины параллельных краям. Амплитуды колебаний, приходящих в точкуРот каждой зоны, имеют одинаковую амплитудуdA, поскольку распространяются параллельно друг другу перед линзой (на прохождение внутри линзы все параллельные лучи тратят одинаковое время). Разность фаз между соседними зонами будет одинаковой. Следовательно, на векторной диаграмме будут суммироваться одинаковые по модулю векторы, повернутые друг относительно друга на один и тот же угол. Если разность хода лучей составляет=λ, то их разность фазδ=2πи амплитуда результирующего колебания обращается в нуль. Это первый минимум дифракционной картины, представляющей собой симметричную относительно середины систему чередующихся светлых и темных полос, параллельных щели. Результирующая амплитуда обращается в нуль и тогда, когда разность ходаравна целому числу длин волн. Поскольку=bsinφ(рис.26), то окончательно, условием дифракционныхминимумов будет

, гдеm=1,2,3… (91)

Приm=0 (в точке экрана напротив центра щели) наблюдается максимум, так как в этом случае разность фазδ=0. Качественно картина распределения интенсивности на экране представлена на рис. 27.

Дифракционная решеткаявляется спектральным прибором, служащим для разложения света в спектр. Она представляет собой стеклянную или металлическую пластинку, на которой нанесено очень много (до 10⁵) прямых равноотстоящих штрихов. Рассмотрим идеальную решетку, состоящую из одинаковых равноотстоящих щелей. Пусть ширина каждой щели равнаb, а период решеткиd(d=а+ b), гдеарасстояние между щелями. Пусть на решетку падает нормально плоская монохроматическая световая волна (рис.28). Каждая из щелей давала бы картину, показанную на рис. 27. И такие картины в отсутствие когерентности точно накладывались бы друг на друга, независимо от их положения. Интенсивности при этом складывались бы, и мы получили бы отNщелей дифракционную картину как от одной щели, но усиленную вNраз.

При освещении решетки когерентным светом, световые волны от всех щелей интерферируют друг с другом, и дифракционная картина резко меняется (рис.28 а). Мы будем наблюдать систему достаточно узких максимумов. Поэтому, строго говоря, картина является дифракционно-интерференционной. Рассмотрим главные максимумы. В середину дифракционной картины когерентные колебания от всех щелей приходят в фазе. Это значит, что если амплитуда от одной щели равнаА₁, а число щелейN, то результирующая амплитудаAи соответствующая ей интенсивностьIбудут определяться формулами

A= А₁N,I=I₁N². (92)

Такой же результат (рис.28 b) получается и для углов дифракцииφ, для которых оптическая разность ходаколебаний от соседних щелей равна целому числу длин волн:

,, (93)

где знаки «±» следуют из симметрии дифракционной картины относительно нормали к решетке. Справедливости ради, следует сказать, что имеют место еще и максимумы не «главные», но их интенсивности значительно меньше, кроме того, используются дополнительные меры для их подавления. В эти специальные вопросы мы вдаваться не будем. Формулу (93) называют формулой дифракционной решетки.