Электрическое поле в веществе

Диэлектриками (или изоляторами) называются вещества практически не проводящие электрический ток. Это значит, что в диэлектриках нет свободных (сторонних) зарядов.

Поляризация диэлектриков. Под действием внешнего электрического поля заряды, входящие в состав молекул диэлектрика (их называют связанными), могут смещаться только на небольшие расстояния. Если диэлектрик состоит из неполярных молекул, то в пределах каждой молекулы происходит смещение зарядов – положительных по полю, отрицательных – против поля. Если диэлектрик состоит из полярных молекул, то дипольные моменты ориентируются преимущественно в направлении внешнего поля.Результат упорядочивания молекулярных диполей под действием внешнего электрического поля называется поляризацией диэлектрика.

Поместим в электрическое поле плоского конденсатора металлическую пластинку (рис.22). Свободные электроны соберутся вблизи положительно заряженной пластины, а вблизи отрицательной пластины выступит положительный заряд. Электроны будут двигаться до тех пор, пока результирующее полене станет равным нулю:=+=0, где- поле в отсутствии пластинки,- поле зарядов пластинки. Если образец – диэлектрик, то картина будет другой (рис.23). В этом случае- поле связанных зарядов, возникшее вследствие поляризации. Это поле также направлено против внешнего поля, однако уже не может быть равным ему, поскольку связанные заряды ограничены в свободе перемещения

0. (68)

Для однородно поляризованного диэлектрика результирующее полеи выступивший на поверхности связанный заряд можно подсчитать. В объеме вблизи любого положительного заряда найдется равный ему отрицательный (рис.23), поэтому не скомпенсированный связанный заряд выступит только на поверхности образца, образуя подобие плоского конденсатора (12). Поэтому модули векторов в (68) соответственно равны,, гдеиповерхностные плотности свободных зарядов пластин и поверхностных связанных зарядов диэлектрика соответственно. С учетом этого в проекциях на направлениеуравнение (68) будет выглядеть так

,. (69)

Таким образом, поле в диэлектрике ослабляется: в некотороераз. Следовательно,=,(69), откуда находим связьи поляЕв диэлектрике:

. (70)

Величина>1называется диэлектрической проницаемостью и показывает, во сколько раз ослабляется поле в диэлектрике по сравнению с внешним полем. Введем диэлектрическую восприимчивость: æ ≡ε-1, тогда связьиЕможно выразить еще одним способом:

æε_оЕ. (71)

Отсюда видно, что поверхностная плотность связанного заряда, выступившего на поверхности однородно поляризованного диэлектрика, пропорциональна результирующему полю в диэлектрике.

Вектор поляризованности. Если внешнее поле и/или диэлектрик неоднородны, степень поляризации оказывается различной в разных местах диэлектрика. Чтобы охарактеризовать поляризованность в данной точке, выделяют физически бесконечно малый объем диэлектрика ∆V, содержащий эту точку, находят векторную сумму дипольных моментов молекул в этом объеме, и определяют вектор поляризованностиследующим образом:

. (72)

Вектор поляризованности имеет смысл дипольного момента единицы объема диэлектрика. Нетрудно сообразить, что вектор поляризованности может быть выражен через концентрацию:

, (73)

где - средний дипольный момент отдельной молекулы,- полное число молекул в объеме ∆V.

В случае неоднородно поляризованного диэлектрика, внутри появится нескомпенсированный связанный заряд с объемной плотностью . Выделим малый объем внутри диэлектрика ∆V. При поляризации входящий в ∆Vположительный зарядсместится относительно отрицательного заряда на величину, в результате чего будет приобретен дипольный момент. Разделив на ∆V, получим еще одно выражение для вектора поляризованности

. (74)

Связь между векторами поляризованностии напряженности. Если диэлектрик изотропный ине слишком велико, то из опыта следует, что векторлинейно зависит от:

=æε_о. (75)

Теорема Гаусса для вектора.Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность равен минус избыточному связанному заряду диэлектрика внутри этой поверхности

. (76)

Доказательство. Пусть замкнутая поверхностьSохватывает часть диэлектрика (заштрихован на рис.24, слева). При включении поля вследствие поляризации заряд проходит через элементdSэтой поверхности (на рис.24 справа – увеличенный фрагмент). Пусть смещение положительного заряда характеризуется вектором, а отрицательного – вектором. ЧерезdSнаружу выйдет положительный зарядиз внутренней (пунктирной) части косого цилиндра, а внутрь войдет отрицательный зарядиз внешней части цилиндра, что эквивалентно переносу положительного заряда в обратном направлении. Значит, суммарный связанный заряд, выходящий наружу черезdS, равен=, гдерасстояние, на которое сместились друг относительно друга центры масс положительных и отрицательных зарядов при поляризации. Согласно (74),=. Проинтегрировав это выражение, найдем весь заряд, который вышел из объема внутри замкнутой поверхностиSпри поляризации. Внутри останется избыточный заряд -противоположного знака,получим выражение (76):,что и требовалось доказать.

Теорема Гаусса для поля вектора. Поскольку источниками электрического поля являются любые заряды, а именно: связанные и сторонние (т.е. не входящие в состав молекул диэлектрика, мы их обозначали простоq), то теорему Гаусса для вектораможно переписать так. Подставимиз (74):,. Учитывая, что оба интеграла берутся по одной поверхностиS, перенесем второй интеграл влево и запишем под одним знаком:,.Вспомогательный векторво внутренних круглых скобках обозначают

. (77)

и называют электрическим смещением. Тогда для него можно компактно сформулировать теорему Гаусса:

. (78)

Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен суммарному стороннему заряду внутри этой поверхности.

Связь между векторамии . Подставив выражение (75), верное только для изотропных диэлектриков:=æε_о(77), получим =ε_о(1+æ), или

, (79)

где диэлектрическая проницаемость ε=æ+1. Для всех веществ, а для вакуума. Из (79) следует, что векторыи направлены одинаково. Поскольку источниками вектораявляются только сторонние заряды, линии вектора проходят области с диэлектриком, не прерываясь. Это позволяет выбрать правильную тактику при решении задач: сначала найти вектор , а затем, используя (79), вычислить вектор(ибо расположение сторонних зарядов обычно известно, а распределение связанного заряда представляет весьма сложную задачу).

Условия для векторови на границе раздела диэлектриков. Пусть два однородных изотропных диэлектрика имеют общую границу (рис.25), и напряженность электрического поля в диэлектрике 1 равно, а в диэлектрике 2 -. Возьмем вдоль границы прямоугольный контур столь малой длиныl, чтобы вдоль него напряженностьв каждом диэлектрике пренебрежимо мало изменялась. Устремим высоту контура к нулю, тогда циркуляция вдоль этого контура сведется к сумме вдоль сторонlи по теореме о циркуляции должна быть равна нулю:

,. Это значит: тангенциальная составляющая вектораодинакова по обе стороны от границы.

Теперь возьмем цилиндр малого сечения Sна границе раздела (рис.26). Тогда по теореме Гаусса для вектора (при стремлении высоты цилиндра к нулю и одновременно к границе):, где- поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Отсюда. Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то, т.е. нормальная составляющая вектора одинакова по обе стороны от границы.

Величины именяются при переходе границы. Запишем (79) в проекциях:,,, и так как,, . Это значит, нормальная составляющая векторатерпит скачок при переходе границы, а сами линии векторапреломляются. Запишем (79) в проекции на тангенциальное направление:,,, и так как,. Это значит, тангенциальная составляющая вектора терпит скачок при переходе границы, а сами линии вектора преломляются. Сопоставление выражений в рамках показывает, что если, то при переходе из среды 1 в среду 2 нормальная компонента векторауменьшается, а тангенциальная компонента вектора увеличивается.

Энергия электрического поля. Рассмотрим процесс зарядки конденсатора (рис.27). Пусть верхняя пластина заряжена зарядом +qдо потенциалаφ₁, а нижняя – зарядом -qдо потенциалаφ₂. Работа против сил поля при переносе очередной порции заряда +dq>0 с нижней пластины на верхнюю идет на увеличение энергии взаимодействия зарядов:==. Выразим напряжение через емкость емкость конденсатора ():,. Далее интегрируем:. Емкость плоского конденсатора, гдеS– площадь каждой из пластин,d– расстояние между ними,. Умножим числитель и знаменатель наSи учтем, чтои(объем пространства между пластинами),. Теперь умножим числитель и знаменатель наи учтем, что,энергия заряженного конденсатора

. (80)

Отношение является энергией единицы объема и называетсяплотностью энергии электрического поля

. (81)

Учтем, что =(см. 77 и 79),. Умножим это равенство скалярно на вектор,(81),

. (82)

Полученное выражение представляет собой сумму плотности электрической энергии в вакууме и плотности энергии поляризации диэлектрика. Следовательно, электрическая энергия локализована в самом поле: как там, где есть вещество, так и там, где его нет. Однако стационарное поле может существовать только в присутствие порождающих его зарядов, а вот переменные поля могут существовать и самостоятельно.