Постоянный электрический ток

Электрический ток и вектор плотности тока. Ток в проводнике представляет собой направленное движение заряженных частиц. Сила тока (или просто ток) определяется как производная по времени от суммарного зарядаQ(t), прошедшего через поперечное сечение проводника к моменту времениt:

. (34)

Средней по сечению проводника плотностью тока называется отношение силы тока к площади сечения проводника . В общем случае плотность тока может быть разной в различных точках сечения. Величина вектора плотности тока численно равна заряду, протекающему в единицу времени через дифференциально малую площадку, перпендикулярную скорости направленного движения зарядов. За направление вектора плотности токапринимается направление средней скорости направленного движения зарядов. В соответствии с этими определениями, при концентрацииnчастиц в проводнике с зарядомекаждая, и их средней скорости направленного движениявектор плотности тока равен

. (35)

Выделим внутри проводника малую площадку dS(рис.14). Заряд, прошедший через нее за времяdt, равен=, гдеα– угол между векторамии . Заряд, прошедший через все сечение проводника, равен интегралу, откуда ток, протекающий через все сечение проводника, равен

. (36)

Таким образом, сила тока является потоком вектора плотности тока. Единица силы тока называется ампер [I] = [A] и является основной электрической единицей в системе СИ, ее точное определение будет дано позднее.

Электродвижущая сила(эдс). Если проводник внести в электростатическое поле, то заряды будут двигаться до тех пор, пока их собственное поле не скомпенсирует поле внешнее, после чего практически мгновенно ток прекратится. Для поддержания тока к зарядам необходимо приложить силы не электростатической природы, называемыесторонними. Пусть на некотором участке цепи действуют сторонние силы с напряженностьюи силы электростатического поля с напряженностью. Вычислим работу, необходимую для переноса зарядаqиз точки 1 в точку 2

=+. Разделим обе части наq

+.

Величина U=называетсянапряжениеми равна суммарной работе электростатических и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из 1 в 2. Первое слагаемое=- это введенная ранее разность потенциалов (см.19), а второе называетсяэлектродвижущей силой(эдс), которая численно равна работе поля сторонних сил, необходимой для переноса единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2

 =. (37)

Следовательно, U=() +. (38)

Если точки 1 и 2 совпадают () – цепь замкнута, тогдаэдспредставляет собой циркуляцию вектора напряженности поля сторонних сил. Если на участке не действуют сторонние силы (такой участок называется однородным,эдс=0), тоU=,для однородного участка цепи напряжение совпадает с разностью потенциалов.

Закон Ома в дифференциальной формеописывает связь между векторамии. Пусть электрон движется в поле с напряженностью. По второму закону Ньютона, он приобретает ускорение, а его скорость возрастает по закону, где- скорость электрона в отсутствии внешнего поля. При каждом столкновении происходит передача кинетической энергии электрона кристаллической решетке, и скорость падает почти до нуля. Усредним выражение для скорости в пределах среднего времени между столкновениями

.

Среднее значение скорости вследствие хаотичности скорости в отсутствие поля. Поэтому. Учитывая определение(35), вектор плотности тока. Произведение констант, стоящих перед, также является некоторой константой,

. (39)

Этот результат называется законом Ома в дифференциальной форме:плотность тока в каждой точке проводника пропорциональна напряженности поля в этой точке. Величинаназываетсяпроводимостью. Этот закон с высокой точностью выполняется только для металлов.

Часто закон Ома в дифференциальной форме записывают в виде

, (40)

где ρ– удельное сопротивление, которое возрастает с увеличением температурыt,^oCпо закону:

, (41)

где α– температурный коэффициент сопротивления;ρиα– табличные величины.

Закон Ома в интегральной форме. В простейшем случае для однородного участка цепи этот закон был установлен экспериментально

. (42)

Величина R(сопротивление проводника) зависит от его формы, температуры и материала

, (43)

гдеl– длина,S– площадь поперечного сечения проводника. Единицей сопротивления являетсяом: [R]=[Ом]. Размерность удельного сопротивления [ρ]=[Омм].

Рассмотрим неоднородный участок цепи, т.е. содержащийэдс. Реальный источникэдсможно рассматривать как идеальный, к которому последовательно присоединено его внутреннее сопротивлениеr (рис.15). ТогдаU=I(R+r)(38),закон Ома в интегральной форме

I(R+r)=() +. (44)

Произведение силы тока в проводнике на сумму внешнего и внутреннего сопротивлений равно сумме разности потенциалов на концах проводника и действующей в проводникеэдс.

В замкнутой цепи точки 1 и 2 совпадают и =0, поэтому закон Ома принимает вид

. (45)

Когда цепь разомкнута, ток равен нулю, и тогда || =. Эдсисточника равна разности потенциалов на его зажимах при разомкнутой цепи.

Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме. РаботаАпри перемещении зарядаqиз точки 1 в точку 2 равна. Мощность,. (47)

Если на участке нет эдс, и вся работа тока идет на нагревание, то за времяdtв проводнике выделится количество теплоты. Поскольку, . Интегрируя, получим закон Джоуля-Ленца в интегральной форме:

. (48)

Если ток постоянный, то выражение упрощается:.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Вычислим энергию, которая выделяется в малом объеме проводникаdV, предполагая для простоты, что векторы↑↑↑↑(рис.16). При перемещении зарядаdqнаполе совершает работу. Подставим из закона Ома, и:. Считая, что вся эта работа идет на нагревание (), получим, где. Тогда теплота, выделяющаяся в единице объема проводника в единицу времени, равна

. (49)

Величина слева называется удельной тепловой мощностью тока, а сам Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме утверждает: удельная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотности тока в той же точке.