Электричество и магнетизм Электростатика

Между заряженными и намагниченными телами действуют силы, называемые электромагнитными. Природа электромагнитных сил обусловлена электрически заряженными частицами, входящими в состав всех тел материального мира. Опытным путем установлено, что электрические заряды обладают следующими свойствами.

◦ Заряды бывают двух видов: положительные и отрицательные. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются.

◦ Алгебраическая сумма зарядов изолированной системы постоянна.

◦ Электрический заряд является релятивистским инвариантом.

◦ Наименьшим по абсолютной величине элементарным зарядом, равным 1,6·10^-19кулона (Кл) является отрицательный заряд электрона или равный ему по модулю положительный заряд протона.

Закон Кулона:силы, с которыми два неподвижных точечных заряда Q и q действуют друг на друга в вакууме, пропорциональны произведению их величин и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними

, (1)

где = 8,85·10^-12Ф/м– электрическая постоянная;- единичный вектор в направлении(рис.1).

Заряды порождают в окружающем пространстве электрическое поле, проявляющееся в том, что помещенный в любую точку пробный заряд испытывает действие силы. Поле характеризуется векторной величиной, называемой напряженностью.

Напряженностьюэлектрического поля называется отношение силы, действующей на электрический зарядq, к величине этого заряда

. (2)

Направление вектора совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд. Подставляя (2)(1), получим выражение длянапряженности поля точечного зарядаQ:

. (3)

Это выражение называют законом Кулона в полевой форме. Размерность напряженности в СИ: [E]=[В/м] -вольт на метр;=[Н/Кл] -ньютон на кулон,– здесь и далее в квадратных скобках мы будем обозначать ра змерности величин. По известной напряженности в любой точке поля легко найти силу, действующую на точечный зарядq, помещенный в эту точку поля:

. (4)

Принцип суперпозиции:сила, с которой система из n зарядов, действует на заряд, не включенный в эту систему, равна векторной сумме сил, с которыми действует каждый заряд системы на данный:

. (5)

Отсюда следует и аналогичное выражение и для напряженностей:

. (6)

Напряженность поля системы точечных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности.

Электростатические поля изображают графически с помощью силовых линий – кривых в пространстве, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором . Густота силовых линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной силовым линиям, численно равнялось модулю вектора(рис.2).

Силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Поле, во всех точках которого векторимеет одинаковую величину и направление, называется однородным (рис.2(1)). В остальных примерах поля неоднородны.

Поток вектора напряженности электрического поля. Чтобы наглядно ввести это понятие, рассмотрим сначала поле точечного зарядаqс напряженностью. Опишем из этого заряда сферу радиусаrи площадью. Величина напряженности измеряется числом силовых линий, проходящих через единицу поверхности сферы,полное число линий, пересекающих сферу равно

, и не зависит отr! Таким образом, произведениеES(в данном примере это и есть поток) определяется величиной порождающего поле заряда и связано простым соотношением с напряженностью. Здесь уместно сравнить поток вектора напряженности с потоком вектора скорости жидкости, вытекающей из центра сферы равномерно во всех направлениях со скоростью. В этом случае произведениеSпредставляет собой объем жидкости, вытекающий через поверхность сферы наружу в единицу времени. Введем теперь понятие потока вектора строго.

Потоком вектора напряженности электрического полячерез поверхность S называется величина Ф_Е, равная

Ф_Е==, (7)

гдеE_n– проекция векторана направление нормали (рис.3). Вектор имеет величину элементарной площадиdSи направление, совпадающее с направлением нормали к этой площадке.

Теорема Гаусса. Так называется выражение, связывающее потокФ_Евекторачерез произвольную замкнутую поверхностьSс зарядом внутри нее. Найдем это выражение. Опишем из точечного зарядаqсферу радиусаr. В каждой точке сферы векторнаправлен перпендикулярно её поверхности и по величине равен. Поэтому потокФ_Ечерез всю сферу равен

Ф_Е=,

Ф_Е =. (8)

Окружим теперь зарядqповерхностью произвольной формы. Тогда потокdФ_Ечерез элементdSэтой поверхности (рис.4) равен

=. Интегрирование в пределах полного телесного угла =4дает

,

. (9)

ПотокФ_Еравен зарядуqвнутри поверхности, деленному на_о. Если зарядqнаходится вне замкнутой поверхности, тоФ_Е = 0. Действительно, пучок касательных, проведенных от зарядаq(рис.5), делит замкнутую поверхностьSна две частии. Потоки векторачерез эти поверхности равны по величине, но имеют противоположные знаки, поэтому полный поток равен нулю.

Пусть теперь внутри замкнутой поверхности находится nточечных зарядов. По принципу суперпозиции результирующая напряженность равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом системы в отдельности, следовательно,

. (10)

Это теорема Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля Ф_Е через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на_о.

Чтобы обобщить теорему Гаусса для непрерывного распределения заряда в пространстве с объемной плотностью , с поверхностной плотностью, или по линии с линейной плотностью, нужно суммирование в (10) заменить интегрированием. Теорема Гаусса используется для вычисления напряженности в случаях, обладающих достаточно высокой симметрией. Для краткости будем называть гауссовой ту (воображаемую, а не заряженную!) замкнутую поверхностьS, по которой ведется интегрирование при вычислении потока.

Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости. Пусть плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью0. Вектордолжен быть везде направлен перпендикулярно плоскости от нее. В противном случае существовала бы составляющая напряженности вдоль плоскости, что привело бы к перемещению зарядов и противоречило бы предположению о равномерном распределении заряда по плоскости. Также ясно, что во всех точках, равноудаленных от плоскости величина векторадолжна быть одинакова. Поэтому в качестве гауссовой поверхности логично выбрать прямой цилиндр, расположенный симметрично относительно заряженной плоскости, как это показано на рис. 6. Поток векторачерез боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как там векторыи () взаимно перпендикулярны,(,)=0,на всей боковой поверхности=0. Поэтому полный поток равен сумме потоков через два основания 2ЕS, гдеS– площадь каждого основания цилиндра (и сечения цилиндра плоскостью тоже). Внутри цилиндра оказался зарядS(показан более плотной штриховкой). По теореме Гаусса 2ЕS=S/_о,

. (11)

Следовательно, напряженность не зависит от расстояния до плоскости, и с каждой стороны от плоскости поле одинаково во всех точках, т.е. однородно.

Поле двух заряженных плоскостей. Пусть две параллельные плоскости равномерно заряжены с поверхностными плотностями +и -(рис.7). Поле справа и слева от плоскостей равно нулю (Е=/2_о-/2_о= 0), а между ними (Е=/2_о+/2_о=/_о), следовательно

Е=/_о. (12)

Такое поле создается в плоском конденсаторе. Если плоскости заряжены одноименно, то поле между ними равно нулю, а снаружи описывается формулой (12). И, наконец, если модули не равны: |+| ≠ |-|, то поле будет внутри больше, чем снаружи, но нигде не будет нулевым.

Поле бесконечного равномерно заряженного по поверхности цилиндра и нити. Пусть поверхность бесконечно длинного цилиндра радиусаRзаряжена равномерно, и на единицу его длины приходится заряд>0. Гауссову поверхность нужно взять в виде цилиндра высотыhи радиусаr(изображен пунктиром на рис.8), коаксиального с заряженным. Поток векторачерез боковую поверхность гауссова цилиндра равенE2rh, а через основания – нулю, так как там вектор нормали перпендикулярен. Внутрь гауссовой поверхности попадает тонированная часть заряженного цилиндра, поэтому заряд внутри равенh, поэтому приr>Rпо теореме Гаусса имеемE2rh=h/_о,

, приr>R. (13)

Если R≠0, то приr R,. Приr<Rзаряд внутри гауссова цилиндра отсутствует,E2rh=0,внутри цилиндра напряженностьE=0. ПриR0,E. Так вблизи тонкого острия можно создавать поля исключительно высокой напряженности, из-за чего заряды начинают стекать с острия в окружающее пространство. Формула (13) подходит и для нити, заряженной с линейной плотностью. В этом случае условиеr>R выполняется всегда.

Поле равномерно заряженной сферы. Пусть сфера радиусаRравномерно заряжена (не нужно говорить «по поверхности» - сфера это есть поверхность шара) с поверхностной плотностью

0. Вследствие центральной симметрии векторв любой точке должен быть направлен вдоль радиуса от центра, а его модуль может зависеть только от расстоянияrот центра. В качестве гауссовой поверхности выберем сферу радиусаr>R(рис.9). По теореме Гаусса поток векторачерез эту сферу равенE4r²=,вне сферы поле подобно полю точечного заряда:

, (14)

особенно если выразить через полный заряд сферыqи её площадь 4R²:= q/4R², откуда получим. На самой заряженной поверхностиЕ=/_о. Приr<Rзаряда внутри гауссовой сферы нет,внутри заряженной сферы напряженность Е=0.

Поле равномерно заряженного по объему шара. Пусть шар радиусаRравномерно заряжен с объемной плотностьюρ0. Гауссову поверхность выберем так же, как для сферы (рис.9) Приr>R, следуя теореме Гаусса, получаемE4r²=(чтобы найти заряд внутри, мы умножилиρна объем шара радиусаR). Отсюда получим напряженность снаружи и на поверхности шара:

(r≥R). (15)

При r<Rзаряд внутрь гауссовой сферы попадает часть заряда шара, поэтомуE4r²=, откуда напряженность внутри шара равна

(r<R). (16)

На рис. 10 представлены графики зависимости Еотrдля равномерно заряженных плоскости (1), цилиндра (2), сферы (3) и шара (4).

Теорема о циркуляции вектора. В курсе механики было доказано, что работа поля центральных сил зависит только от начального и конечного положений частицы. Эквивалентным утверждением является: работа такого поля по перемещению частицы вдоль замкнутой траектории равна нулю. Такие поля называются потенциальными. Теорема о циркуляции вектораявляется выражением свойства потенциальности электростатического поля. Работа сил электростатического поля при перемещении точечного зарядаqиз точки 1 в точку 2 (рис.11):. Разделим эту работу наq:

. (17)

Отношение А/qэто работа поля переноса единичного заряда из 1 в 2. Интеграл вида (17), т.е., вычисленный вдоль замкнутой траектории, называется циркуляцией вектора.

Теорема о циркуляции вектораутверждает:циркуляция вектора напряженности электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю: =0.

Доказательство. Электростатическое поле точечного заряда является полем центральных сил, и, следовательно, потенциальным. Поэтому работа его сил на замкнутом пути равна нулю: А==0,. Таким образом, циркуляция поля точечного заряда равна нулю. Докажем это и для системыnточечных зарядов. По принципу суперпозиции напряженностьполя системы точечных зарядов равна:. Умножим это равенство скалярно на вектор перемещениявдоль произвольного замкнутого контура и проинтегрируем по этому контуру:

. (18)

Каждый интеграл в правой части равен нулю как циркуляция вектора напряженности поля отдельного точечного заряда, следовательно, и вся сумма равна нулю. Таким образом, циркуляция электростатического поля системы nточечных зарядов также равна нулю. Переходя к пределу в (18) нетрудно убедиться, что и для непрерывно распределенного заряда циркуляция электростатического поля равна нулю.

Потенциал. Из независимости от траектории интеграласледует, что его можно представить, как убыль некоторой функции координат:

, или (19)

. (20)

Введенная таким образом функция координат φ() называется потенциалом. Разность потенциаловчисленно равна работе по переносу единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. Из того, что поле способно совершить такую работу, следует, что в точках 1 и 2 заряд обладает различной потенциальной энергией. Поэтому потенциал можно определить как потенциальную энергию пробного зарядаq, отнесенную к его величине (правда саму потенциальную энергию всё равно придется вводить через ту же работу):

. (21)

Кроме того, из введенных определений (19,20), а также определения самой потенциальной энергии, следует, чтопотенциал определен с точностью до константы.

Потенциал поля точечного заряда. Поскольку зарядqсоздает поле с напряженностью (3), скалярное произведение в формуле (20) можно преобразовать:

===-,, где, и учтено, что(геометрия – на рис.12). Обычно полагают потенциал приrравным нулю, тогда=0. В этом случае потенциал поля точечного заряда выражается формулой

. (22)

Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью ρ(), то точечным следует считать заряд. Тогда потенциал можно представить интегралом по объему

. (23)

Аналогично, если заряды распределены по поверхности или линии, то интегрируют по поверхности или линии соответственно

,. (24)

Единицей потенциала является вольт[φ] = [В].

Связь напряженности и потенциала. Пусть- вектор малого перемещения вдоль траектории. Это значит, что радиус-вектор (x,y,z) получил приращение. Тогда

=, (25)

откуда следует, что,,. Векторв декартовых координатах можно представить суммой= -. Дифференциальную операцию в скобках, примененную к скалярной функцииφ, называют градиентом этой функции (grad φ). Обратите внимание:grad φ– это векторная функция, полученная дифференцированием скалярной функцииφ! Таким образом, связь напряженности и потенциала выражается формулой

. (26)

При решении задач бывает полезно найти проекцию на направление некоторого вектора. Так как=, то искомая проекция равна

. (27)

Эквипотенциальные поверхности. Так называются поверхности в пространстве, на которых потенциал имеет постоянное значение. Чтобы показать, что векторвсюду перпендикулярен эквипотенциальной поверхности, спроектируем его на касательный к этой поверхности вектор. Посколькуна эквипотенциальной поверхности, производная,в соответствии с (27), равна нулю и проекция:=0. Если в некоторой точке проекция вектора на любое касательное направление к поверхности равна нулю, значит, этот вектор перпендикулярен поверхности. Таким образом,векторперпендикулярен эквипотенциальной поверхности и направлен с учетом знака в сторону максимальной скорости убывания потенциала.

Потенциал системы зарядов. Напряженность поля системы точечных зарядов (6) равна

.

Умножим это выражение скалярно на вектор

=.

Проинтегрируем это равенство с учетом того, что в знаменателе выражения (22) для потенциала точечного заряда стоит расстояние от заряда до точки с радиус-вектором , где вычисляется потенциал. Для каждого изnточечных зарядов системы это расстояние равно, где- радиус-векторi-го заряда. Следовательно, потенциал поля системы точечных зарядов равен

. (28)

Итак, потенциал поля системы точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов, независимо от других.

Чтобы получить потенциальную энергию заряда qв поле системы зарядовдостаточно потенциал той точки, где находится зарядqумножить на потенциал этой точки

. (29)

Потенциальная энергия измеряется работой поля системы зарядов по переносу заряда qиз точки с радиус-вектором на бесконечность.

Потенциал и напряженность электростатического поля диполя. Диполь – это система из двух разноименных зарядов, расположенных друг от друга на расстоянии, где - радиус-вектор произвольной точкиАпространства относительно центра диполя (рис.13). Введем вектор дипольного момента :. Потенциал в точкеАвычислим, как алгебраическую сумму потенциалов зарядов диполя

=. Так как, положим;. Тогда. Таким образом, потенциал поля диполя равен

. (30)

Напряженность поля диполя найдем в проекциях на вектор (Е_r) и на перпендикулярное к направление (E_):

; . (31)

Модуль вектора найдем по теореме Пифагора

,

что после подстановки дает

. (32)

Напряженность поля диполя убывает обратно пропорционально третьей степени расстояния – быстрее, чем поле точечного заряда. Из (32) легко получить и другие проекции вектора: параллельную (=0) и перпендикулярную оси диполя (=/2):

;. (33)