Теоретические основы теплотехники 1
.pdf91
кривую. В области влажного насыщенного пара изобары и изотермы изобра-
жаются в диаграмме Т- s в виде горизонтальных прямых, а в диаграмме h - s –
в виде наклонных прямых.
Наибольший практический интерес из этих диаграмм имеет диаграмма h - s прежде всего в силу того, что удельная работа ( w1,2 ) в адиабатном про-
цессе, исходя из первого начала термодинамики, по этой диаграмме опреде-
ляется как величина отрезка между начальными и конечными точками процесса (h1 – h2).
В энтропийных диаграммах Т - s и h - s обратимые адиабатные (изоэн-
тропийные) процессы изображаются вертикальными отрезками.
Диаграмма Т - s, в основном, пользуется для термодинамического ана-
лиза различных циклов. Она позволяет по соответствующим площадям опре-
делить количество теплоты, подведенного и отведенного к рабочему телу в рассматриваемом цикле и работу цикла. При расчете процессов, в которых имеет место процесс парообразования, а рабочими телами являются различ-
ные вещества, преимущественно используется диаграмма h - s.
10. Истечение жидкостей, паров и газов. Дросселирование
Процессы истечения жидкостей (сжимаемых и несжимаемых) опреде-
ляют работу многих устройств и агрегатов. Процессы истечения являются процессами быстрых изменений состояния вещества. В связи с этим их сле-
дует отнести к неравновесным необратимым процессам.
В общем случае процессы истечения удобно рассматривать как теоре-
тические обратимые процессы истечения: политропный или адиабатный, а
переход к реальным процессам осуществлять путем введения соответствую-
щих поправочных коэффициентов, определяемых опытным путем.
Основной задачей при изучении процессов истечения является опреде-
ление линейной ( c ) и массовой скорости (u ), расхода (G ), параметров и функций состояния рабочего тела (p, v, t, u, h, s) вдоль канала.
92
Общие соотношения
При обратимых процессах истечения жидкости из области большего давления р1 в область с меньшим давлением р2, потенциальная работа расхо-
дуется на повышение кинетической энергии и на изменение высоты центра тяжести потока (рис. 21).
Рис. 21. Истечение жидкости, газа или пара из сопла
При адиабатном процессе истечения шение:
Q dH W
справедливо следующее соотно-
0 |
. |
(241) |
|
Дифференциальное уравнение распределения удельной потенциальной работы, при отсутствии эффективной потенциальной работы потока
( w* 0 ), будет выглядеть следующим образом:
w vdp
cdc
gdz
.
(242)
Уравнение распределения потенциальной работы в конечном процессе
93
|
|
c |
2 |
|
c |
2 |
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
g ( z |
|
z |
) |
||
|
2 |
1 |
2 |
|||||||
1,2 |
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
(243)
дает возможность получить соотношение для определения теоретической ли-
нейной скорости истечения жидкости в выходном сечении сопла (с2)
c |
2 |
|
c2 |
2w |
2g ( z |
2 |
z |
1 |
) . |
(244) |
|
|
1 |
1,2 |
|
|
|
|
Сопла или штуцеры, через которые происходят процессы истечения,
обычно выполняются короткими, поэтому работой, идущей на изменение центра тяжести потока 2g z2 z1 , можно пренебречь. При этом условии теоретическая линейная скорость истечения жидкости в выходном сечении сопла может быть определена из соотношения
c |
|
|
c |
2 |
2w |
2 |
|
||||
|
|
1 |
1,2 |
||
.
(245)
Скорость потока на входе в сопло может быть вычислена, в свою оче-
редь, как теоретическая скорость истечения из воображаемого нулевого со-
стояния (точка 0), в котором жидкость находится в состоянии покоя (с0=0),
до заданного начального состояния (1) (рис. 22). Параметры нулевой точки
р0, v0, T0, h0, называются параметрами адиабатно заторможенного потока.
Состояние адиабатно заторможенного потока находится графически на продолжении кривой процесса истечения в точке (0). Площадь между кривой процесса (0-1) и осью ординат (1-0-а-b) равна потенциальной работе в процессе 0-1 ( w0 ,1 ) (рис. 22).
По аналогии с соотношением (245), линейная скорость потока во вход-
ном сечении сопла определяется по формуле
|
c2 |
|
|
|
|
|
c |
2w |
2w |
. |
(246) |
||
1 |
0 |
0 ,1 |
0 ,1 |
|
|
|
94
Рис. 22. Процесс истечения газа в в p-v диаграмме
Подставив выражение (246) в соотношение (245), получаем
|
|
|
|
|
c2 2w0 ,1 |
2w1,2 . |
(247) |
||
Сумма потенциальных работ w0,1 |
и w1,2, |
представляет собой потенци- |
||
альную работу жидкости (сжимаемой или несжимаемой) в обратимом адиа-
батном процессе истечения от нулевого состояния (с0 =0), определяемого параметрами торможения, до конечного давления p2 ( w0,2 w0 ,1 w1,2 ).
Следовательно, соотношение для определения линейной теоретической скорости обратимого адиабатного процесса истечения жидкости можно запи-
сать следующим образом |
|
с2 2w0 ,2 . |
(248) |
95
Важной характеристикой потока является его массовая скорость, чис-
ленно равная секундному расходу жидкости через единицу площади попе-
речного сечения потока (u , кг/(м2 с))
u |
G |
|
f |
||
|
.
(249)
Связь между массовой и линейной скоростью потока определяется со-
отношением
u2 |
c2 |
2 . |
(250) |
В соответствии с принципом неразрывности потока, массовый расход вещества (G) в любом поперечном сечении канала одинаков
G c f |
u f |
idem
.
(251)
Истечение несжимаемых жидкостей
Несжимаемая жидкость имеет практически неизменную плотность при любых давлениях и температурах ( idem). Соотношения для определения удельной потенциальной работы несжимаемой жидкости в обратимых про-
цессах истечения (1-2, 0-2) имеют следующий вид:
w1,2
2 |
1 |
1 |
|
vdp |
dp |
||
|
|||
1 |
2 |
||
|
p |
p |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
;
w |
|
p |
p |
|
0 |
|
2 |
||
|
|
|
||
0 ,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
.
(252)
С учетом соотношений (252), теоретическая линейная скорость истече-
ния несжимаемой жидкости в выходном сечении сопла (с2) может быть опре-
делена из следующих соотношений:
с |
|
|
с2 |
2 |
p1 p2 |
|
; |
(253) |
2 |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96
|
|
|
p |
p |
2 |
|
с2 |
|
2 |
0 |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(254)
Массовая скорость потока несжимаемой жидкости на выходе из сопла,
в соответствии с уравнением (250), находится по формуле
u |
2 |
|
2 p |
p |
2 |
. |
|
|
0 |
|
|
(255)
Из соотношения (255) видно, что с увеличением по длине канала (x)
разности давления (р0 - рx), повышается массовая скорость потока. При этом,
исходя из принципа неразрывности потока (G = idem), площадь проходного
сечения канала
f
G u
, должна непрерывно уменьшаться. Следовательно,
при истечении несжимаемой жидкости следует применять суживающиеся сопла.
Истечение сжимаемых жидкостей
К классу сжимаемых жидкостей относятся вещества, плотность кото-
рых изменяется в зависимости от давления и температуры. Газы (идеальные и реальные) относятся к классу сжимаемых жидкостей.
Потенциальная работа обратимого адиабатного процесса истечения га-
за от нулевого до конечного состояния (0-2) находится из соотношения
w |
|
k |
|
|
|||
0 ,2 |
|
k 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
||
|
|
k |
|
|
||||
p v |
1 |
|
|
|
|
|
. |
(256) |
|
|
|||||||
0 0 |
|
|
p0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После подстановки выражения (256) в соотношение (248) получаем формулу для расчета скорости истечения газа в выходном сечении сопла
97
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
p2 |
|
k |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
c2 |
|
2w0 ,2 |
|
|
p0v0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
k 1 |
|
p |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(257)
Для вычисления массовой скорости газа по уравнению
необходимо знать плотность газа в выходном сечении сопла (
которой определяется из уравнения адиабаты |
k |
k |
|||||||
p0v0 |
p2v2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
p |
2 |
k |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
v |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|||
(
2
u2
),
c2 |
2 ) |
значение
(258)
После ряда несложных преобразований получим соотношение для рас-
чета массовой скорости газа в выходном сечении сопла
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
p |
|
p |
|
|
k |
|
p |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||
u |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
k 1 |
v |
1 |
|
|
|
p |
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем в уравнение (259) коэффициент расхода λ
|
k |
|
|
p2 |
|
k 1 |
|
p2 |
|
2 |
||
|
|
|
k |
|
k |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 k
.
(259)
(260)
и получим следующее соотношение для определения массовой скорости газа на выходе из сопла
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
2 |
p0 |
. |
(261) |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
v0 |
|
||
|
|
|
|
|
||
Анализ уравнения (259) для массовой скорости потока показывает, что скорость газа изменяясь в зависимости от соотношения давлений в процессе
98
истечения p2 / p0 , дважды обращается в нуль - при р2/р0 = 1 (нет движе-
ния), а также при p2 / p0 = 0 (истечение в вакуум, р2 = 0). Следовательно,
значение массовой скорости, по теореме Ролля, проходит через экстремум
(рис. 23). Соотношение давлений, при котором массовая скорость истечения
становится максимальной
(
umax
), называется критическим (
p2 p0
кр
), а
режим истечения при этом условии называется критическим режимом исте-
чения.
Рис. 23. Зависимость линейной и массовой скоростей истечения газа от соотношения давлений в процессе истечения
99
Для определения характеристик критического режима истечения обо-
значим через ψ члены уравнения (259), зависящие от величины |
|
p2 |
|
p0 |
|||
|
|
(остальные члены зависят лишь от параметров исходного состояния и приро-
ды газа)
1
p |
2 |
|
|
|
|
||
p |
|
||
|
|||
0 |
|||
k1 k
|
|
|
|
||
|
||
|
||
|
||
|
|
|
|
||
|
|
p2 p0
2 k
.
(262)
Введем в уравнение (262) дополнительно характеристику адиабатного расширения газа
Тогда
так как
p2v2 p0v0
1
|
|
k |
|
p |
2 |
|
|
|
|
||
p |
|
||
|
|||
0 |
|||
|
|
2 |
|
k 1 |
|||
1 k
,
.
(263)
(264)
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
p |
|
||
|
|
|||
0 |
||||
2 k
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
k 1 |
k 1 |
|
|
p |
|
|
k |
|
||
2 |
|
|
||||
|
|
|
||||
p |
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2k 1
.
(265)
Очевидно, что массовая скорость достигнет максимального
при таком же βкр, что и функция |
|
. Условием максимума функции |
|||||||||||||||
ся |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
k 1 |
0 |
. |
||||||
d |
k 1 |
k |
k 1 |
|
|
|
|
k |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
значения
являет-
(266)
100
Исходя из соотношения (266), после преобразования, находим крити-
ческое значение характеристики адиабатного расширения сжимаемых жид-
костей при истечении ( кр ) и критическое соотношение давлений ( кр ):
кр
|
|
|
|
|
2 |
|
|
кр |
|
k |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
||
кр |
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
; 1
1
k k 1
.
(267)
(268)
Подставив выражение (267) в соотношение (257), получим выражение для расчета критической линейной скорости истечения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cкр 2 |
k |
|
p0v0 1 кр |
2 |
k |
|
p0v0 . |
(269) |
||||
k 1 |
k 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С учетом того, что справедливо следующее выражение
|
|
pv |
|
|
p0v0 |
|
кр |
, |
|
|
||||
|
|
|
||
|
|
кр |
|
получаем следующие соотношения для расчета рости истечения:
|
|
|
2k |
|
pv |
k |
c |
|
|
|
кр |
|
|
кр |
k 1 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
cкр |
k ( pv )кр , |
||
(270)
критической линейной ско-
1 |
|
; |
(271) |
|
(272) |
где
( pv )кр
– потенциальная функция сжимаемой жидкости в сечении сопла,
где наблюдается критическая скорость истечения (267), (270).
Для обратимого адиабатного истечения любой сжимаемой жидкости критическая линейная скорость равна местной скорости звука в данной среде
|
|
|
|
a |
k ( pv )кр . |
(273) |
|