Стандартная задача для самостоятельного решения:

Задача 26

В ящике находится 15 качественных и 5 бракованных деталей. Наудачу извлекаются 2 детали. Найти вероятность того, что:

а) обе детали будут качественными; б) одна деталь будет качественной, а одна – бракованной; в) обе детали бракованны.

События перечисленных пунктов образуют полную группу, поэтому проверка здесь напрашивается сама собой.

И ещё одна задача, которая не только популярна, но и актуальна для многих читателей. Когда она мне попадается на глаза, то я всегда думаю: «чего же он так много выучил-то?!». Поэтому сделаю пример более реалистичным :=)

Задача 27

Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на 2 из 3 вопросов?

Узнайте, насколько велики ваши шансы  И, конечно же, эти шансы нужно всячески увеличивать, едем дальше:

1.5. Геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности оказывается эффективным для решения целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом ограничений. Одним из таких ограничений является тот факт, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. Простейший пример:

На отрезок 0;1 наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что она попадёт в промежуток 0,4; 0,7 ?

Поскольку на отрезке бесконечно много точек, то здесь нельзя применить формулу

P( A) mn (ввиду бесконечно большого значения «эн») и поэтому на помощь приходит другой подход, называемый геометрическим определением вероятности:

Вероятность наступления некоторого события A в испытании равна отношению

P( A) Gg , где G – геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и

равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество

благоприятствующих событию A исходов.

На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже – объём.

Рассмотрим событие: A – брошенная на отрезок 0;1 точка, попала в промежуток0,4; 0,7 . Очевидно, что общее число исходов выражается длиной бОльшего отрезка:

L 1 0 1 ед. , а благоприятствующие событию A исходы – длиной вложенного отрезка: l 0,7 0,4 0,3 ед. По геометрическому определению вероятности:

Примечание: ед. – метрические единицы: метры, сантиметры или какие-то др.

Слишком просто? Как и в случае с классическим определением, это обманчивое впечатление. Обстоятельно и добросовестно разбираемся в практических примерах:

Задача 28

Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.

Решение: «чего тут сложного? Вероятность равна 15 ». Это автоматическая ошибка,

которую допускают по небрежности. Да, совершенно верно – длина обрезка составит не менее 80 см, если от ленты отрезать меньше 20 сантиметров. Но здесь часто забывают, что искомый разрез можно сделать как с одного конца ленты, так и с другого:

Рассмотрим событие: A – длина обрезка составит не менее 0,8 м.

Поскольку ленту можно разрезать где угодно, то общему числу исходов соответствует её длина: L 1 м. Благоприятствующим исходам соответствуют участки,

отмеченные красным цветом, и их суммарная длина равна: l 0,2 0,2 0,4 м. По геометрическому определению:

Ответ: 0,4

Какой можно сделать вывод?

Даже если задача кажется вам очень простой, НЕ СПЕШИТЕ

При оформлении задач следует обязательно указывать размерность (единицы,

метры, квадратные единицы, квадратные метры и т.д.). Кстати, обратите внимание, что на финальном этапе вычислений геометрическая мера сокращается. Так в рассмотренном примере, сократились метры:

, в результате чего получилась привычная безразмерная вероятность.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Задача 29

После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошёл между 50-м и 55-м километрами линии?

Значительно чаще встречаются примеры, в которых фигурируют площади:

Задача 30

В треугольник со сторонами a 9, b 13, c 16 вписан круг. Точка M произвольно ставится в треугольник. Найти вероятность того, что точка попадёт в круг.

Вспоминаем геометрию: вписанный круг лежит внутри треугольника и касается его сторон в трёх точках. …Представили? Отлично!

Решение: поскольку точка ставится в треугольник, а круг лежит внутри, то общему числу исходов соответствует площадь треугольника, а множеству благоприятствующих исходов – площадь вписанного круга.

Осталось вспомнить или отыскать (проще всего в Сети) школьные геометрические формулы. Если даны длины сторон треугольника, то его площадь удобно найти по

формуле Герона:

T

круг.

Ответ: 0,51

Более простой пример для самостоятельного решения:

Задача 31

Вкруге радиуса 10 см находится прямоугольный треугольник с катетами 12 и 7 см.

Вкруг наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник.

Следует отметить, что в этой задаче треугольник вовсе не обязан как-то касаться окружности, он просто расположен внутри круга и всё. Будьте внимательны!

А теперь рассмотрим широко известную задачу о встрече:

Задача 32

Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 19.00 до 20.30. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй – 15 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой?

Решение: сначала выясним длительность временнОго промежутка, на котором могут пересечься автомобили: это 90 минут (коль скоро, от 19.00 до 20.30). Изобразим прямоугольную систему координат, где в подходящем масштабе построим квадрат размером 90 на 90 единиц:

Общему множеству исходов соответствует площадь данного квадрата:

S 902 8100 ед.2

Далее по оси OX от начала координат откладываем время погрузки одного автомобиля (зелёная линия), а по оси OY – время погрузки другого автомобиля (красная линия) (можно наоборот, это не повлияет на решение).

Теперь из правого конца зелёного отрезка и из верхнего конца красного отрезка под углом 45 градусов проводим две линии внутри квадрата (малиновые отрезки).

Множеству благоприятствующих исходов (когда автомобили «пересекутся» во

~

времени) соответствует площадь S заштрихованной фигуры. В принципе, её можно вычислить «на пальцах», но технически проще использовать окольный путь, а именно, вычислить площади двух прямоугольных треугольников. Используем формулу:

S12 ab , где a, b – длины катетов.

Внашей задаче: верхний треугольник имеет катеты длиной по 80 единиц, нижний треугольник – по 75 единиц. Обратите внимание, что в общем случае эти треугольники не равны.

Таким образом, суммарная площадь треугольников составляет:

S* 12 80 80 12 75 75 3200 2812,5 6012,5 ед.2

И бесхитростный заключительный манёвр: из площади квадрата вычитаем

площади треугольников, получая тем самым благоприятствующую площадь:

S S S 8100 ...

~ *

По геометрическому определению:

~

p SS ... – вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой.

Ответ: 0,26

Подробное объяснение этого способа решения можно найти, например, в учебном пособии В.Е. Гмурмана, я же остановился лишь на техническом алгоритме, дабы не тратить ваше драгоценное время.

И если в разобранной задаче встреча явно нежелательна, то в следующей, скорее, наоборот. Романтичный эпизод для самостоятельного изучения:

Задача 33

Студенты случайным образом приходят в столовую с 14.00 до 15.00, при этом обед каждого из них занимает примерно 20 минут. Найти вероятность того, что: а) Коля встретится с Олей во время обеда, б) данная встреча не состоится.

Не нужно печалиться по поводу пункта «бэ» – любовь приходит и уходит, а кушать хочется всегда! =)

Решение, чертёж и ответ в конце книги.

Оставшиеся примеры параграфа посвящены не менее распространённому типу задач, где фигурируют неравенства.

Для начала разогревающий пример:

Задача 34

В квадрат с вершинами (0; 0), (1; 0), (1; 1), (0; 1) наудачу брошена точка (x ; y) . Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству y 2x .

Решение: изобразим на чертеже искомый квадрат и прямую y 2x :

Общему множеству исходов соответствует площадь квадрата S 1 1 1 ед.2

Прямая y 2x делит квадрат на треугольник и трапецию. Как определить фигуру, которая удовлетворяет условию y 2x ? Вспоминаем линейные неравенства: нужно взять любую точку, не принадлежащую прямой y 2x , например, точку (1; 0) и

подставить её координаты в неравенство:

0 2 1

0 2

Получено верное неравенство, значит, множеству благоприятствующих исходов

~

соответствует площадь S трапеции. Рассчитаем данную площадь как сумму площадей

прямоугольного треугольника и прямоугольника (разделены на чертеже пунктиром):

…аналитическую геометрию немного вспомнили, теперь на очереди математический анализ, ибо неравенства бывают не только линейными:

Задача 35

Загадываются два числа x и y в промежутке от 0 до 5. Какова вероятность, что

xy 2 ?

Схема решения уже знакома: коль скоро загадываются 2 произвольных числа от нуля до пяти (они могут быть и иррациональными), то общему количеству исходов

соответствует площадь квадрата S 5 5 25 ед.2

Изобразим ветвь гиперболы xy 2 y 2x , которая делит квадрат на две части:

Теперь выясним, какой из этих двух «кусков» удовлетворяет неравенству xy 2 . Для этого выберем любую точку, не принадлежащую гиперболе, проще всего взять (0; 0) ,

и подставим её координаты в наше неравенство:

0 0 2

0 2

Получено неверное неравенство, а значит, условию xy 2 соответствует «верхний

~

кусок», площадь S которого, деваться тут некуда, придётся вычислить с помощью определённого интеграла. Уточним нижний предел интегрирования аналитически

5

25 2ln 5 2 2ln 52 ... 23 2ln 252 ед.2