- •1. Случайные события
- •1.1. Понятие теории вероятностей
- •1.2. События и их вероятности
- • Виды событий
- • Вероятность события
- • Принцип практической невозможности маловероятных событий
- • Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу,
- •1.3. Элементы комбинаторики
- • Перестановки, сочетания и размещения без повторений
- • Перестановки
- • Размещения
- • Правило сложения и правило умножения комбинаций
- • Перестановки, сочетания и размещения с повторениями
- • Сочетания с повторениями
- • Размещения с повторениями
- •1.4. Классическое определение вероятности:
- •1.5. Геометрическое определение вероятности
- •1.6. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- • Зависимые и независимые события
- • Теорема умножения вероятностей независимых событий
- • Задачи на теоремы сложения и умножения
- • Условная вероятность
- • Теорема умножения вероятностей зависимых событий
- •1.7. Формула полной вероятности
- •1.8. Формулы Байеса
- •1.9. Независимые испытания и формула Бернулли
- •1.10. Формула Пуассона
- •1.11. Локальная теорема Лапласа
- •1.12. Интегральная теорема Лапласа
- •1.13. Статистический подход к определению вероятности
- • и обратная задача
- •2. Случайные величины
- •2.1. Понятие и виды случайных величин
- •2.2. Дискретная случайная величина
- • Математическое ожидание дискретной случайной величины
- • Формула для нахождения дисперсии
- • Многоугольник распределения
- • Вероятность попадания в промежуток
- •2.3. Наиболее распространённые дискретные распределения
- • Биномиальное распределение вероятностей
- • Гипергеометрическое распределение вероятностей
- •2.4. Непрерывная случайная величина
- • Вероятность попадания в промежуток
- • функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей
- •2.5. Распространённые виды непрерывных распределений
- • Равномерное распределение вероятностей
- • Показательное распределение вероятностей
- • Нормальный закон распределения вероятностей
- •Решения и ответы
На практике не менее популярна
и обратная задача
Её можно сформулировать следующим образом: Как определить, сколько нужно провести испытаний (n) , чтобы с заранее заданной вероятностью обеспечить
желаемую точность ?
Задача 81
Проводится некоторый опыт, в котором случайное событие A может появиться с вероятностью 0,4. Определить, сколько опытов нужно провести, чтобы с вероятностью большей, чем 0,9 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события A от p 0,4 не более чем на 0,05.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
Решение: используем ту же формулу |
P |
|
|
|
p |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
, но на этот раз |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pq |
|
||||
|
|
|
|
|
нам известны величины: p 0,4; |
q 1 p 0,6; |
0,05; |
0,9 |
|||
По условию, требуется найти такое количество опытов n , чтобы с вероятностью |
||||||
|
m |
|
|
|||
бОльшей чем 0,9 разница |
0,4 |
составила не более чем 0,05 . Ну, а коль скоро с |
||||
n |
||||||
|
|
|
|
|
вероятностью «бОльшей», то задачу следует разрулить через строгое неравенство:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
– подставляем известные значения и делим обе части на два: |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pq |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0,05 |
|
|
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0,24 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
По таблице значений функции (x) либо с помощью Калькулятора (Пункт 5*, этот способ будет точнее) по известному значению функции (x) 0,45 находим соответствующий аргумент: x 1,64 . Таким образом:
0,05n 1,64
0,24
Возведём обе части в квадрат:
|
0,05 |
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|||
|
0,24 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0,00250,24 n 2,6896 , и финальный штрих:
... 0,00250,24 258,2
Ответ: для того, чтобы с вероятностью большей, чем 0,9, можно было ожидать
отклонения |
m |
0,4 |
0,05 , нужно провести более 259 опытов. |
|
n |
||||
|
|
|
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
93 |
|