Контрольное задание

Проверьте, насколько хорошо вы усвоили материал:

Задача 95

Вбилете три задачи. Вероятность того, что студент правильно решит первую задачу, равна 0,9, вторую – 0,8, третью – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить график функции распределения. Найти вероятность того, что студент сдаст зачёт, если для этого нужно правильно решить не менее 2 задач.

Тут нужно использовать теоремы умножения и умножения, и могут возникнуть

авероятности значений случайной величины – через p(0), p(1), p(2), p(3) .

Ина самом деле таких заданий много, и это всегда праздник!

2.3. Наиболее распространённые дискретные распределения

Как же я люблю вступления одной строкой:

Геометрическое распределение вероятностей

И геометрия тут не при чём.

Пусть проводится серия испытаний, в каждом из которых случайное событие A может появиться с вероятностью p ; причём, испытания заканчиваются при первом же

появлении данного события. Тогда случайная величина X , характеризующая количество совершённых попыток, как раз и имеет геометрическое распределение.

Рассмотрим, например, такое событие: A – в результате броска монеты выпадет

орёл.

Начинаем подбрасывать монету. Совершенно понятно, что вероятность появления орла в любом испытании равна p 12 , и наша задача заключается в том, чтобы

проанализировать – как скоро появится первый орёл (после чего серия закончится). Составим закон распределения случайной величины X – количества проведённых бросков.

Если x 1, то это означает, что орёл выпал в первой же попытке. Вероятность этого события равна:

p1 p 12

Если x 2 , то в первой попытке выпала решка (вероятность q 1 p 1 2 ), а во второй – орёл. По теореме умножения вероятностей ЗАвисимых событий:

p2 qp 12 12 14

Если x 3, то в первых двух испытаниях появились решки, а в третьем – орёл. По той же теореме:

p3 qqp 12 12 12 18

Если x 4 , то первый орёл появился лишь в четвёртом испытании: p4 qqqp 12 12 12 12 161

…сколько же можно подбрасывать монету? Теоретически – до бесконечности.

И перед нами пример дискретной случайной величины, которая принимает бесконечное и счётное количество значений. В общем виде её закон распределения записывается следующим образом:

Вероятности pi представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом p и основанием q . Отсюда и название – геометрическое распределение вероятностей. Как известно, сумма такой прогрессии равна:

В частности, для примера с «волшебной» монетой:

Однако жизнь такова, что всё когда-то заканчивается, и поэтому в практических задачах количество испытаний почти всегда ограничивается. На «грубую» такое распределение тоже можно считать геометрическим, и сейчас мы разберём классический пример:

Задача 96

Стрелок производит несколько выстрелов в цель до первого попадания, имея всего 4 патрона. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти закон распределения случайной величины X , математическое ожидание M ( X ) , дисперсию

D( X ) , где X – количество произведённых выстрелов. Построить многоугольник и функцию распределения данной случайной величины. Найти P X M (X ) (X ) .

…если что-то позабылось, то я заботливо проставлю ссылки, решаем:

По условию, вероятность попадания в каждом испытании равна p 0,6 . Тогда вероятность промаха: q 1 p 1 0,6 0,4 .

Составим закон распределения случайной величины X :

1) x 1

Это означает, что стрелок попал с 1-й попытки и на этом испытания закончились: p1 p 0,6

2) x 2 – в первом испытании промах, во втором – попадание. По теореме умножения вероятностей ЗАвисимых событий:

p2 qp 0,4 0,6 0,24

3) x 3 – попадание с третьей попытки, мимо-мимо, попал: p3 qqp 0,4 0,4 0,6 0,096

И, наконец:

4) x 4

Здесь стрелок может промахнуться или попасть, но испытания заканчиваются в любом случае. Вместе с патронами. По теоремам умножения вероятностей зависимых и сложения вероятностей несовместных событий:

p4 qqqq ...

Таким образом, искомый закон распределения:

Обязательно выполняем проверку:

p1 p2 p3 p4 0,6 0,24 0,096 0,064 1 , что и требовалось проверить.

Построим многоугольник распределения:

Вычислим M ( X ) и D( X ) . Для геометрического распределения существуют готовые формулы нахождения математического ожидания и дисперсии:

M ( X ) 1p , D( X ) pq2 , но нам ими воспользоваться не удастся – по той причине, что количество испытаний не бесконечно.

Поэтому придётся использовать общий алгоритм. Заполним расчётную таблицу:

Математическое ожидание лежит готовенькое: M (X ) xi pi 1,624 – это

среднеожидаемое количество выстрелов (при многократном повторении таких серий из 4 выстрелов).

Дисперсию вычислим по формуле:

D( X ) ... – это мера рассеяния количества выстрелов относительно математического ожидания.

Составим функцию распределения вероятностей:

Выполним чертёж:

Найдём P X M (x) (x) – вероятность того, что значение случайной величины отклонится от математического ожидания не более чем на ( X ) .

Сначала вычислим среднее квадратическое отклонение:

(X ) D(X ) 0,810624 0,9

затем – требуемую вероятность:

P X M (X ) ( X ) P ( X ) X M ( X ) ( X )

P M ( X ) ( X ) X M ( X ) ( X ) ...

F 1,624 0,810624 F 1,624 0,810624 0,84 0 0,84 – вспоминаем, что это за интервал, и почему вероятность получилась столь большой ;)

Готово!

Но при всей кажущейся простоте, у этого задания существуют подводные камни. Главное коварство состоит в том, условие может быть сформулировано по такому же шаблону, но случайная величина быть ДРУГОЙ. Например:

X– количество промахов.

Вэтом случае закон распределения вероятностей примет следующий вид:

Здесь p3 qqqp q3 p (0,4)3 0,6 0,0384 – вероятность того, что будет 3 промаха

(и в 4-й попытке попадание); p4 qqqq q4 (0,4)4 0,0256 – вероятность того, что стрелок совершит 4 промаха.

Естественно, что числовые характеристики и содержательные выводы этой задачи будут несколько другими, однако сам закон распределения сохранит свой «геометрический» характер.

Вот ещё одна хитрая вариация, которая мне встречалась на практике:

X – количество неизрасходованных патронов.

Закон распределения этой величины таков:

Проанализируйте данный случай самостоятельно. Кстати, в примере, который мы прорешали, случайную величину X можно эквивалентно сформулировать, как

Количество израсходованных патронов.

Таким образом, к решению подобных задач тоже нельзя подходить формально – во избежание ошибок, ВСЕГДА ДУМАЙТЕ ГОЛОВОЙ и анализируйте реалистичность полученных результатов. И тогда полученное значение M ( X ) 4 в разобранной задаче

вас явно насторожит :)