Задача 76

Вероятность рождения мальчика равна 0,52. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется ровно: а) 40 мальчиков, б) 50 мальчиков, в) 30 девочек.

Кстати, реальная статистическая вероятность рождения мальчика во многих регионах мира как раз колеблется в пределах от 0,51 до 0,52.

Как вы заметили, вероятности получаются достаточно малыми, и это не должно вводить в заблуждение – ведь речь идёт о вероятностях отдельно взятых, локальных значениях (отсюда и название теоремы). А таковых значений много, и, образно говоря, вероятности «должно хватить на всех». Правда, многие события будут практически невозможными. Так, в серии из 400 испытаний орёл теоретически может выпасть от 0 до 400 раз, и данные события образуют полную группу:

P400(0) P400(1) P400(2) ... P400(199) P400(200) ...

Однако бОльшая часть этих значений представляет собой сущий мизер, и вероятность того, что орёл выпадет ровно 250 раз – уже одна десятимиллионная: P400 (250) 0,0000001. О значениях вроде P400 (100), P400 (350) тактично умолчим :)

С другой стороны, не следует недооценивать и «скромные результаты»: так, если P400 (225) составляет всего около 0,00175 , то вероятность того, орёл выпадет, скажем, от

220 до 250 раз, будет весьма заметна. А теперь задумаемся: как найти эту вероятность?

С современными вычислительными возможностями не составит труда воспользоваться теоремой сложения вероятностей несовместных событий и вычислить сумму

P400(220) P400(221) P400(222) ... P400(249) P400(250) либо абсолютно точное значение

через формулу Бернулли: P400220 P400221 P400222 ... P400249 P400250 .

Но гораздо проще эти значения объединить. А объединение чего-либо называется

интегрированием:

1.12. Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность p появления случайного события A в каждом испытании постоянна, то вероятность Pn (m1 m m2 ) – того, что в n испытаниях событие A

Как и в локальной теореме, количество испытаний n должно быть достаточно большим и вероятность p не слишком мала, и на практике следует ориентироваться на

выполнение того же неравенства npq 10 , в противном случае приближение к точному

Задача 77

Вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

а) от 60 до 80 раз, б) не менее 65 раз

Решение: в данной задаче речь идёт о повторных независимых испытаниях, причём их количество n 100 достаточно велико. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле составляет p 0,7 , следовательно, вероятность промаха: q 1 p 0,3 .

Оценим эффективность применения интегральной теоремы Лапласа:

npq 100 0,7 0,3 21 10 , значит, теорема Лапласа даст хорошее приближение.

а) Найдём вероятность P (60 m 80) – того, что при 100 выстрелах мишень

100

будет поражена от m1 60 до m2 80 раз. Используем интегральную теорему Лапласа:

Обращаю внимание, что произведение npq не обязано извлекаться из-под корня

нацело (как любят «подгонять» числа авторы задач) – без тени сомнения извлекаем корень приближённо и округляем результат; я привык оставлять 4 знака после запятой.

микрокалькулятор здесь не помогут, поскольку этот интеграл не берётся. Но вот в Экселе соответствующий функционал есть – используйте Пункт 5 Калькулятора.

Кроме того, ОБЯЗАТЕЛЬНО найдите значение (2,18) 0,4854 в таблице!

И, учитывая нечётность функции Лапласа ( x) (x) , получаем, распишу подробно:

P (60 m 80) ...

100

0,4854 0,4854 0,9708 – вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 60 до 80 раз.

Результат чаще всего округляют до 4 знаков после запятой (опять же в соответствии с форматом таблицы).

б) Найдём вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 65 раз. Это означает, что m1 65, а m2 100 .

Вычислим значения аргументов:

Таким образом, по интегральной теореме Лапласа и таблице значений функции Лапласа (лучше использовать такую формулировку!), получаем:

... (6,55) ( (1,09)) (6,55) (1,09)

0,5000 0,3621 0,8621 – вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 65 раз.

Примечание: начиная с x 4 , можно считать, что (x) 0,5000 , или, если

записать строже: lim (x) 0,5 .

x

И ради исследовательского интереса я вычислил более точные значения с помощью формулы Бернулли («протянув» в Экселе формулу БИНОМРАСП):

– как видите, расхождение получилось существенным, это обусловлено небольшим значением n . А ещё, надо признать, рассматриваемый метод устарел, ибо экселевские расчёты отняли у меня буквально минуту. Но мы отнесёмся к этому с пониманием, таки Пьер-Симон маркиз де Сад Лаплас жил в 18-19 веках 

Следующая задача для самостоятельного решения:

Задача 78

В здании имеется 2500 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что вечером будет включено:

а) половина ламп, б) не менее 1250 и не более 1275 ламп,

в) не более 1000 ламп

Примерный образец чистового оформления решения в конце книги.

Следует отметить, что рассматриваемые задачи очень часто встречаются в «обезличенном» виде, примерно таком:

Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью 0,5. Опыт повторяется в неизменных условиях 2500 раз. Определить вероятность того, что в 2500 опытах событие А произойдет от 1250 до

1275 раз