Небольшое задание для самостоятельного решения:

Задача 71

Производится 8 выстрелов по цели, в каждом из которых вероятность попадания равна 0,1. Для разрушения цели требуется хотя бы два попадания. Найти вероятность того, что цель будет разрушена

Формула Бернулли очень удобна, но с другой стороны, обладает и рядом недостатков. В частности, при достаточно больших значениях n и m её применение затруднено ввиду огромных значений факториалов. В этом случае используют теоремы Лапласа. В другой распространённой на практике ситуации вероятность p достаточно

мала, а количество испытаний n весьма велико. Здесь вопрос разрешается с помощью

формулы Пуассона, с неё и начнём:

1.10. Формула Пуассона

Если количество независимых испытаний n достаточно велико (100 и больше), а вероятность p появления события A в отдельно взятом испытании весьма мала (0,05-

0,01 и меньше), то вероятность того, что в данной серии испытаний событие A появится

ровно m раз, можно вычислить приближённо по формуле Пуассона:

Pm m e , где np (вместо «лямбды» также используют букву «а»). m!

Утопичная, конечно, задача, но что делать – таких много:)

Задача 72

В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц откажет ровно 1 замок.

Решение: в данном случае количество «испытаний» n 10000 велико, а вероятность «успеха» в каждом из них – мала: p 0,0002 , поэтому используем формулу Пуассона:

Pm m e , по условию, требуется найти вероятность того, что за месяц откажет m!

ровно m 1 замок

Вычислим: np 10000 0,0002 2 – по существу, это среднеожидаемое количество вышедших из строя замков.

Таким образом:

P 21 ... – вероятность того, что за месяц из строя выйдет ровно один замок (из 10

1 1!

тысяч).

Ответ:

несколькими способами, расскажу о них в историческом ракурсе:

1) С помощью специальной таблицы, которая до сих пор встречается в некоторых книгах. В данную таблицу сведены различные значения , m и соответствующие им

вероятности. Табулирование обусловлено тем, что в своё время не существовало бытовых калькуляторов, на которых можно было бы подсчитать значения экспоненциальной функции. Отсюда, кстати, идёт традиция округлять вычисления до 4 знаков после запятой – как в стандартной таблице.

2)С помощью прямого вычисления на микрокалькуляторе (прогресс!), именно этим способом я и провёл вычисления.

3)С помощью стандартной экселевской функции: ПУАССОН(m; лямбда; 0),

вданной задаче забиваем в любую ячейку Экселя =ПУАССОН(1; 2; 0) и жмём Enter.

Следует отметить, что развитие вычислительной техники фактически отправило в историю рассмотренное решение – по той причине, что ответ легко вычислить более точно* по формуле Бернулли, например, с помощью функции БИНОМРАСП приложения

* и, разумеется, существует абсолютно точное значение с длинным «хвостом».

Но формула Пуассона, тем не менее, даёт очень крутое приближение:

P 0,2706705664732 – с погрешностью только на 9-м знаке после запятой!

1

Впрочем, это всё лирика, решать-то всё равно нужно по формуле Пуассона, пока я и мои коллеги не написали для вас новые учебники:) Ну а пока классика жанра:

Задача 73

Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,003. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено:

а) ни одного изделия, б) ровно три изделия, в) более трех изделий.

Решение: используем формулу Пуассона:

Pm m e , в данном случае: np 500 0,003 1,5 – среднеожидаемое m!

количество повреждённых изделий

изделия из 500.

в) m 3 (больше трёх изделий). Это или 4, или 5, или 6, или, …, или 500 штук. Но считать сумму P4 P5 P6 .... P499 P500 , мы, конечно не будем :)

Приём уже знаком – «заходим с чёрного хода». Сначала найдём P(m 3) –

вероятность того, что в пути повредятся не более трёх изделий. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

0,2231 0,3347 0,2510 0,1255 0,9344

И по теореме сложения вероятностей противоположных событий:

P(m 3) 1 P(m 3) 1 0,9344 0,0656 – вероятность того, что при доставке будет повреждено более 3 изделий.

Ответ: а) 0,2231, б) 0,1255 , в) 0,0656

Само собой, ручками это всё считать надоест, и поэтому я добавил в Калькулятор (Пункт 7) автоматическое вычисление этих вероятностей.

Следующий пример самостоятельно; по возможности, проведите вычисления несколькими способами:

Задача 74

Вероятность изготовления бракованных деталей при их массовом производстве равна p 0,001. Определить вероятность того, что в партии из 800 деталей будет: а)

ровно 2 бракованные, б) не более двух.

Иногда условие встречается в несколько другой интерпретации. Так, в предложенной задаче может идти речь о том, что производственный брак составляет 0,1% или, например, «в среднем 0,8 детали на каждую тысячу». Обратите внимание, что в последнем случае нам дано готовое значение «лямбда».

Ни в коем случае не отключаем голову – даже в таких простых примерах!

Ещё раз подчёркиваю, что формула Пуассона лишь приближает формулу Бернулли, и на самом деле это её не единственное применение. В следующей главе мы познакомимся с распределением Пуассона и разберём другие задачи с этой формулой.

1.11. Локальная теорема Лапласа

Итак, те же независимые испытания, но значения n и m достаточно велики:

Найти вероятность того, что при 400 бросках монеты орёл выпадет 200 раз.

Очевидно, что здесь следует применить формулу Бернулли, и мы попробуем её

Микрокалькулятор (по крайне мере, мой) не справился с 400-й степенью и капитулировал перед факториалами.

Воспользуемся стандартной функцией Экселя (БИНОМРАСП – см. п. 3 Калькулятора), которая сумела обработать монстра:

P400200 0,0398693019637926 .

Заостряю ваше внимание, что это точное значение и такое решение вроде бы идеально,… но: 1) программного обеспечения может не оказаться под рукой, 2) учебное решение будет смотреться нестандартно, 3) Эксель – тоже не панацея, «сломался» на значениях, чуть бОльших, чем n 1000 (специально ради интереса ломал).

Возникает мысль написать специальную программу, например, на Паскале, но… сами понимаете, изощрённые фантазии многими преподавателями не одобряются =)

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления случайного события

A в каждом испытании постоянна, то вероятность Pn (m) того, что в n испытаниях

При этом, чем больше n , тем рассчитанная вероятность Pn (m) будет лучше приближать точное значению Pnm (по Бернулли). Рекомендуемое минимальное количество испытаний – примерно 50-100, в противном случае результат Pn (m) может

оказаться далёким от истины. Кроме того, локальная теорема Лапласа работает тем лучше, чем вероятность p ближе к 0,5, и наоборот – даёт существенную погрешность, когда p

меньше, чем 0,05 - 0,1 (впрочем, это зависит от n ). Поэтому критерием эффективного использования теоремы является выполнение неравенства npq 10 ( 10) .

Так, например, если n 50, p 0,5 , то npq 50 0,5 0,5 12,5 10 и применение теоремы Лапласа для 50 испытаний оправдано. Но если n 50 и p 0,1, то

npq 50 0,1 0,9 4,5 10 и приближение Pn (m) к точному значению Pnm будет плохим. Оформим официальные отношения с нашим примером:

С чего начать решение? Сначала распишем известные величины, чтобы они были перед глазами:

n 400 – общее количество независимых испытаний;

p 0,5 – вероятность выпадения орла в каждом броске; q 1 p 0,5 – вероятность выпадения решки.

а) Найдём вероятность того, что в серии из 400 бросков орёл выпадет ровно m 200 раз. Ввиду большого количества испытаний используем локальную теорему

На первом шаге вычислим значение аргумента:

Далее находим соответствующее значение функции: (0) . Это можно сделать

несколькими способами. В первую очередь, конечно же, напрашивается прямое вычисление:

запятой. Для ускорения вычислений я добавил эту формулу в Калькулятор (пункт 4).

Кроме того, существует таблица значений функции (x) , которая есть практически в любой книге по теории вероятностей. И эта книга не исключение:

Прямо сейчас откройте Приложение Таблицы

иразберитесь, как пользовать таблицей значений функции (x) !

Вчастности, найдите по таблице значение (0) 0,3989 . «Дедовский» способ

поможет в тех случаях, когда под рукой не окажется нужной техники (что вполне реально на практике).

P400 (200) 101 (0) 0,1 0,3989 0,03989 – вероятность того, что при 400 бросках монеты орёл выпадет ровно 200 раз.

Как видите, полученный результат очень близок к точному значению P400200 0,0398693019637926 , вычисленному по формуле Бернулли.

б) Найдём вероятность того, что в серии из 400 испытаний орёл выпадет ровно m 225 раз. Используем локальную теорему Лапласа. Раз, два, три – и готово:

Обязательно найдите это значение по таблице!

3) P400 (225) 101 (2,5) 0,1 0,0175 0,00175 – искомая вероятность.

Следующий пример посвящен,… правильно догадываетесь, и это вам для самостоятельного решения :)