Высшая математика – просто и доступно!
Практикум по теории вероятностей
Краткий курс для начинающих
Настоящая книга позволяет в самые короткие сроки (3 дня - неделя) освоить азы комбинаторики и теории вероятностей и научиться решать наиболее распространённые задачи по теме. Материал предназначен для студентов-заочников и других читателей, которые хотят максимально быстро освоить практику.
Автор: Александр Емелин
|
Оглавление |
|
1. Случайные события ....................................................................................................... |
4 |
|
1.1. Понятие теории вероятностей ............................................................................... |
4 |
|
1.2. События и их вероятности ..................................................................................... |
5 |
|
|
Виды событий .................................................................................................... |
5 |
Совместные и несовместные события. Противоположные события. .......... |
6 |
|
|
Полная группа событий .................................................................................... |
6 |
|
Алгебра событий................................................................................................ |
8 |
|
Вероятность события ...................................................................................... |
10 |
Принцип практической невозможности маловероятных событий............. |
11 |
|
Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу, ...........11
|
Мама мыла раму .............................................................................................. |
12 |
1.3. Элементы комбинаторики.................................................................................... |
13 |
|
Перестановки, сочетания и размещения без повторений ............................ |
13 |
|
|
Перестановки ................................................................................................... |
15 |
|
Сочетания ......................................................................................................... |
16 |
|
Размещения ...................................................................................................... |
17 |
Правило сложения и правило умножения комбинаций............................... |
18 |
|
Перестановки, сочетания и размещения с повторениями ........................... |
21 |
|
|
Перестановки с повторениями ....................................................................... |
21 |
|
Сочетания с повторениями ............................................................................. |
22 |
|
Размещения с повторениями .......................................................................... |
23 |
1.4. Классическое определение вероятности: ........................................................... |
24 |
|
1.5. Геометрическое определение вероятности ........................................................ |
34 |
|
1.6. Теоремы сложения и умножения вероятностей ................................................ |
41 |
|
Теорема сложения вероятностей несовместных событий........................... |
41 |
|
Зависимые и независимые события ............................................................... |
44 |
|
Теорема умножения вероятностей независимых событий.......................... |
44 |
|
Задачи на теоремы сложения и умножения .................................................. |
46 |
|
|
Условная вероятность ..................................................................................... |
52 |
|
Теорема умножения вероятностей зависимых событий............................. |
53 |
1.7. Формула полной вероятности ............................................................................. |
61 |
|
1.8. Формулы Байеса ................................................................................................... |
64 |
|
1.9. Независимые испытания и формула Бернулли.................................................. |
71 |
|
1.10. Формула Пуассона.............................................................................................. |
79 |
|
1.11. Локальная теорема Лапласа............................................................................... |
81 |
|
1.12. Интегральная теорема Лапласа ......................................................................... |
84 |
|
1.13. Статистический подход к определению вероятности ..................................... |
87 |
|
|
Ограниченность классического определения ............................................... |
87 |
Относительная частота события и статистическая вероятность ................ |
88 |
|
Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности ............. |
91 |
|
|
и обратная задача............................................................................................. |
93 |
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
2 |
|
2. Случайные величины .................................................................................................. |
94 |
|
2.1. Понятие и виды случайных величин .................................................................. |
94 |
|
2.2. Дискретная случайная величина ......................................................................... |
95 |
|
Закон распределения дискретной случайной величины.............................. |
95 |
|
Математическое ожидание дискретной случайной величины.................... |
97 |
|
Дисперсия дискретной случайной величины ............................................... |
99 |
|
|
Среднее квадратическое отклонение........................................................... |
100 |
Формула для нахождения дисперсии .......................................................... |
101 |
|
|
Многоугольник распределения .................................................................... |
105 |
Функция распределения случайной величины........................................... |
106 |
|
Вероятность попадания в промежуток ........................................................ |
109 |
|
|
Контрольное задание..................................................................................... |
112 |
2.3. Наиболее распространённые дискретные распределения .............................. |
112 |
|
|
Геометрическое распределение вероятностей............................................ |
112 |
|
Биномиальное распределение вероятностей .............................................. |
117 |
|
Распределение Пуассона............................................................................... |
121 |
|
Гипергеометрическое распределение вероятностей .................................. |
124 |
2.4. Непрерывная случайная величина .................................................................... |
130 |
|
Функция распределения непрерывной случайной величины ................... |
130 |
|
Вероятность попадания в промежуток ........................................................ |
131 |
|
функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей............................... |
132 |
|
Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ?................ |
140 |
|
2.5. Распространённые виды непрерывных распределений .................................. |
144 |
|
|
Равномерное распределение вероятностей ................................................. |
144 |
|
Показательное распределение вероятностей .............................................. |
150 |
Нормальный закон распределения вероятностей....................................... |
154 |
|
Решения и ответы .......................................................................................................... |
166 |
|
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
3 |
|
1. Случайные события
Доброго времени суток, и я сразу открываю 1-й параграф 1-й главы, как говорится, в первый раз в первый класс:) Ну а Первое сентября у каждого своё:
1.1. Понятие теории вероятностей
Первое и очень важное. Что изучает эта наука? Многим в голову наверняка пришли мысли вроде «вероятность дождя велика», «вероятность выигрыша в лотерею мала», «орёл и решка выпадают с вероятностью 50 на 50» и т.п. Но тогда сразу возникает вопрос, при чём здесь наука? Пожалуйста, прямо сейчас возьмите в руки монету и скажите, какой гранью она выпадет после броска? …совсем не похоже на теорию – скорее какое-то гадание….
И действительно, обывательское понимание вероятности больше смахивает на некое предсказание, часто с изрядной долей мистицизма и суеверий. Теория же
вероятностей изучает вероятностные закономерности массовых однородных случайных событий. То есть, у неё нет цели что-либо угадать, например, результат броска той же монеты в единичном эксперименте. Однако если одну и ту же монету в одинаковых условиях подбрасывать сотни и тысячи раз, то будет прослеживаться чёткая закономерность, описываемая вполне жёсткими законами.
Другой пример. Вокруг нас летают молекулы воздуха. Некоторые из них движутся быстро, некоторые не очень, а некоторые – с низкой скоростью. Совершенно понятно, что не имеет смысла угадывать скорость отдельно взятых молекул; но их массовый учёт находит самое широкое применения в физических исследованиях. Обратите внимание, что самолёты «умеют» летать, газовые и паровые котлы обычно не взрываются, а чайники при кипении не скачут по кухне. За многими и многими, казалось бы, обыденными фактами и событиями кроются серьёзные вероятностно-статистические расчёты!
Или пример попроще. Если вы приобретёте лотерейный билет, то вряд ли что-то выиграете и совсем невероятно, что сорвёте крупный куш. Но организатор лотереи при случайном розыгрыше тиража (извлечение пронумерованных шариков и т.п.)
гарантированно и с высокой точностью знает, сколько билетов выиграют и проиграют,
что очень важно для распределения призового фонда. Ровно так же научно обоснована житейская фраза «всё равно ничего не выиграю». И мы обязательно рассмотрим «секреты» выигрыша в лотереи и азартные игры!
Да, кстати подумайте ещё над одной насущной задачей: многие из нас за жизнь сдают десятки экзаменов, и практически всегда имеет место следующая ситуация: часть вопросов студент знает, а другую часть… плохо с ней:( В каком случае вероятнее сдать экзамен – если идти «в первых рядах», «в серединке» или если зайти в аудиторию в числе последних?
…изучаем теорию вероятностей!
Исначала мы познакомимся с основными понятиями, которые ниже по тексту
ябуду выделять жирным коричневым курсивом. Обращаю ваше внимание, что это ИМЕННО ТЕРМИНЫ, а не «просто слова»!
Начинаем:
Внимание! Это демо-версия книги, полную и свежую версию курса можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ |
4 |
|