Розрахунок стрижнів при крученнi

Розрахунок стержнів при крученні. Завдання та методичні вказівки до розрахунковографічної роботи з курсу “Опір матеріалів” для студентів базових напрямків 0901 “Інженерна механіка”, 0905 “Енергетика”, 0921 “Будівництво”, 0923 “Зварювання”, 0926 “Водні ресурси”, 0928 “Пожежна безпека” / Укл.: Харченко Є. В., Білобран Б. С., Войтович М. І., Мартинович Б. Т. – Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2004.

– 10 с.

Загальні вказівки щодо виконання розрахунково-графічної роботи

1.Розрахунково-графічну роботу виконують на стандартних листах формату А4 (210×297 мм), зшитих зліва.

2.На титульному листі вказують: а) назву навчального закладу; б) назву кафедри; в) назву задачі;

г) шифр академічної групи, прізвище та ініціали студента, який виконує роботу; д) прізвище та ініціали викладача, який керує роботою; е) місто, календарний рік.

3.На першому листі пишуть умову задачі, наводять числові дані, зображають схему стержня, відкладаючи довжини його ділянок у масштабі і направляючи зовнішні моменти з урахуванням їхніх знаків, вказаних у таблиці.

4.Розрахунки супроводжують лаконічними, чіткими поясненнями.

5.Результати розрахунків наводять, вказуючи одиниці виміру величин.

6.Числові значення підставляють в остаточні залежності, одержані на основі аналітичних перетворень.

7.Розрахунки і пояснення до них, а також рисунки виконують лише на одному боці кожного з листів.

8.Епюри внутрішніх сил і кутів закручування розташовують під розрахунковою схемою стержня на одному рівні.

9.У технічних розрахунках не прийнято оперувати простими дробами.

1. Завдання на домашню розрахунково-графічну роботу

До сталевого стержня (рис.1) у площинах, перпендикулярних до його осі, прикладені чотири пари сил, моменти яких становлять М1, М2, М3, М4. Стержень на ділянках 0–1, 1–2, 2–3 має суцільний круглий поперечний переріз, а на ділянці 3–4 – поперечний переріз у вигляді кільця з відношенням α внутрішнього діаметра до зовнішнього.

Необхідно виконати наступне.

1.Визначити крутні моменти на ділянках стержня і побудувати епюру крутних моментів.

2.За умовою міцності для кручення визначити діаметри поперечних перерізів ділянок стержня.

3.Визначити відносні кути закручування ділянок стержня, прийнявши модуль зсуву матеріалу G = 0,8·105 МПа.

4.Перевірити, чи забезпечується умова жорсткості стержня, якщо допустимий відносний кут закручування [θ] = 0,044 рад/м = 2,5 град/м. Для ділянок, на яких умова жорсткості не забезпечується, визначити діаметри поперечних перерізів за умовою жорсткості.

5.Обчислити кути поворотів перерізів стержня, розташованих на межах ділянок, побудувати епюру кутів закручування.

Від’ємні знаки при значеннях зовнішніх моментів вказують на те, що ці моменти мають напрями, протилежні до вказаних на рис. 1. Дані взяти з таблиці.

Рис. 1. Схема прямого стержня, навантаженого парами сил у площинах, перпендикулярних до його осі

П р о д о в ж е н н я т а б л и ц і

Числові значення геометричних параметрів і складових навантаження

2. Основні теоретичні відомості

Крученням називається такий вид деформування, при якому в поперечних перерізах стержня виникає лише одне внутрішнє зусилля – крутний момент Т. Кручення прямого стержня відбувається внаслідок його навантаження зовнішніми парами сил, площини дії яких розташовані перпендикулярно до осі стержня. Крутний момент Т будемо вважати додатним, якщо його дія направлена проти ходу годинникової стрілки, коли її спостерігати вздовж зовнішньої нормалі n до перерізу.

Для визначення крутного моменту Т застосовують метод перерізів. Для цього уявно розрізають стержень січною площиною, перпендикулярною до його осі, на дві частини (рис. 2, а); одну з цих частин відкидають, її дію на залишену частину заміняють крутним моментом Т (рис. 2, б, в). З рівняння рівноваги

∑M x(i) = 0 , i

складеного для однієї з частин стержня, випливає правило для визначення крутного моменту: крутний момент у довільному перерізі стержня є чисельно рівним алгебраїчній сумі моментів усіх зовнішніх сил, розміщених з одного боку від розглядуваного перерізу, відносно осі стержня.

В поперечних перерізах стержня в процесі кручення виникають дотичні напруження τ. У випадку стержня круглого або кільцевого перерізу ці напруження визначаються за формулою:

Беручи до уваги залежність (4), подаємо умову міцності стержня, що працює в умовах кручення, у вигляді

де [τ] – допустиме дотичне напруження для матеріалу стержня.

Діаметр круглого перерізу стержня за умовою міцності (8) визначається з урахуванням залежності (6) за формулою

Аналогічно із співвідношень (7) та (8) одержуємо формулу для знаходження зовнішнього діаметра d1 стержня кільцевого поперечного перерізу за умовою міцності

Відношення α внутрішнього діаметра до зовнішнього здебільшого задають заздалегідь. В процесі кручення поперечні перерізи стержня повертаються один відносно одного на

деякий кут, який називається кутом закручування φ. Для ділянки стержня сталого поперечного перерізу, на якій крутний момент є постійним, кут закручування в радіанах, відповідно до закону Гука, визначається за формулою

де G – модуль зсуву матеріалу стержня, l – довжина ділянки.

Кут закручування в градусах знаходимо з урахуванням (11) у вигляді

Кут закручування ділянки стержня, віднесений до одиниці її довжини, називається відносним кутом закручування і визначається в рад/м, згідно з (11), за формулою

Відповідно до залежності (12), відносний кут закручування у град/м знаходимо як

Визначивши відносний кут закручування стержня за допомогою співвідношення (13) або (14), перевіряємо умову жорсткості стержня за формулою

де θmax і θomax – найбільше із значень відносного кута закручування, знайдене відповідно у радіанах та в градусах; [θ] і [θo] – допустимі значення відносного кута закручування в радіанах та в градусах.

Зурахуванням співвідношення (14) та другої залежності (15) запишемо умову жорсткості

увигляді

Отже, діаметр круглого поперечного перерізу стержня повинен одночасно задовольняти умову міцності (9) та умову жорсткості (17). Відповідні умови, яким повинен задовольняти зовнішній діаметр кільцевого поперечного перерізу виражаються залежностями (10) та (18).

3. Приклад розв’язання задачі

До сталевого стержня (рис. 3, а) у площинах, перпендикулярних до його осі, прикладені чотири пари сил, моменти яких становлять M1=2,0 кН·м; M2=3,0 кН·м; M3 =7,5 кН·м; M4=4 кН·м. Стержень на ділянках 0–1, 1–2, 2–3 має суцільний круглий поперечний переріз, а на ділянці 3–4 – поперечний переріз у вигляді кільця з відношенням α=0,4 внутрішнього діаметра до зовнішнього. Довжини ділянок стержня: a =1,5 м; b = 1 м; c = 2,5 м; d = 2 м.

Необхідно виконати наступне.

1.Визначити крутні моменти на ділянках стержня і побудувати епюру крутних моментів.

2.За умовою міцності для кручення визначити діаметри поперечних перерізів ділянок стержня, якщо [τ] = 70 МПа.

3.Визначити відносні кути закручування ділянок стержня, прийнявши модуль зсуву матеріалу G = 8·104 МПа.

4.Перевірити чи забезпечується умова жорсткості стержня, якщо допустимий відносний кут закручування [θ] = 0,044 рад/м = 2,5 град/м. Для ділянок, на яких умова жорсткості не забезпечується, визначити діаметри поперечних перерізів за умовою жорсткості.

5.Обчислити кути поворотів перерізів стержня, розташованих на межах ділянок, побудувати епюру кутів закручування.

Ро з в’ я з а н н я

1.Визначаємо реактивний момент М0 в защемленні з рівняння рівноваги (рис. 3, б)

∑M x(i) = 0 . i

Для заданої схеми навантаження стержня рівняння рівноваги набуває вигляду

-М0+М1+М2-М3+М4=0,

звідки

М0 = М1+М2-М3+М4 = 2+3-7,5+4 = 1,5 кН·м.

Згідно з правилом визначення крутних моментів отримуємо їх значення для ділянок стержня:

Т0-1 = М0 = 1,5 кН·м; Т1-2 = М0-М1 = 1,5-2,0 = -0,5 кН·м;

Т2-3 = М4 - М3 = 4-7,5 = -3,5 кН·м; Т3-4 = М4 = 4 кН·м.

За отриманими результатами будуємо епюру крутних моментів (рис. 3, в).

2. Визначаємо діаметри поперечних перерізів ділянок стержня за умовою міцності для кручення.

Діаметри поперечних перерізів ділянок 0–1, 1–2, 2–3 обчислюємо за формулою (9):

Для визначення зовнішнього діаметра поперечного перерізу ділянки 3–4 використовуємо формулу (10):

За умовою задачі, відношення внутрішнього діаметра поперечного перерізу ділянки 3–4 до його зовнішнього діаметра становить α= d3(−в)4 / d3(−з)4 = 0, 4 . Отже, внутрішній діаметр ділянки 3–4 буде

d3(−в)4 = 0, 4d3(−з)4 = 0, 4 66, 4 = 26, 6 мм.

Рис. 3. Схема навантаження стержня (а), його розрахункова схема після звільнення від в’язі (б) та епюри крутних моментів (в) і кутів закручування (г)

3. Визначаємо відносні кути закручування ділянок стержня в град/м за формулою (14). Ділянка 0 – 1:

де

I p0−1 = 0,1d04−1 = 0,1 47,54 =5, 091 105 мм4.