Розрахунок стиснутих стрижнів на стійкість
.pdf
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
ПРОЕКТНИЙ РОЗРАХУНОК СТИСНУТИХ СТЕРЖНІВ НА СТІЙКІСТЬ ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до розрахунково-графічної роботи з курсу “Опір матеріалів”
для студентів базових спеціальностей 0901 «Інженерна механіка», 0921 “Будівництво”, 0926 «Водні ресурси»
0905 «Енергетика», 0928 «Пожежна безпека», 0923 «Зварювання».
Затверджено на засіданні кафедри
опору матеріалів.
Протокол № 1 від 31.08.2004 р.
Львів - 2004
Проектний розрахунок стиснутих стержнів на стійкість. Завдання та методичні вказівки до розрахунково-графічної роботи з курсу “Опір матеріалів” для студентів базових спеціальностей: 0901 «Інженерна механіка», 0921 “Будівництво”, 0926 «Водні ресурси» 0905 «Енергетика», 0928 «Пожежна безпека», 0923 «Зварювання». ,– Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2004.- с.
Укладачі: Мартинович Богдан Тимофійович, канд. фіз.-мат. наук, доц. Харченко Євген Валентинович, докт. техн. наук, проф., Стасюк Богдан Мирославович, канд. фіз.-мат. наук, доц., Воробець Богдан Степанович, канд. фіз.-мат. наук, доц.
Відповідальний за випуск |
Харченко Є.В., докт. техн. наук, проф. |
ПІДБІР ПОПЕРЕЧНИХ ПЕРЕРІЗІВ ЦЕНТРАЛЬНО СТИСНУТИХ СТЕРЖНІВ.
Для заданої схеми закріплення (рис. 1) потрібно:
а) методом послідовних наближень із умов стійкості підібрати розміри поперечного перерізу,
який складається з із стандартних профілів (рис. 2). Розмір δ взяти рівним товщині стінки профілю d.
б) прямим методом розрахунку визначити потрібні розміри поперечного перерізу для нестандартного профілю (рис. 3 ).
Матеріал стержня – сталь Ст.3. σT = 240МПа, σпц = 200МПа, [σ]=160МПа .
Необхідний коефіцієнт запасу стійкості nст = 2 .
В процесі розрахунку:
1.Раціонально розташувати задані перерізи в залежності від способу закріплення стержня.
2.Вказаними вище способами визначити оптимальні розміри поперечних перерізів.
3.Перевірити величину забезпечуваного коефіцієнту запасу стійкості.
Числові дані взяти з таблиці 1.
Схеми закріплення центрально стиснутого стержня:
P 
P 
P
l |
l |
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
y z |
y z |
y |
z |
|
|
P 
P 
P 
P
l |
l |
l |
l |
l |
|
||||
y z |
y |
z |
y |
z |
P 
P 
P 
P 
P 
P 
P 
P
l |
l |
l |
l |
l |
|
l |
l |
l |
|
|
|
||||||
y |
z |
y |
z |
|
y |
z |
y |
z |
Рис.1.
2δ |
4δ |
2δ
δ |
2δ |
2δ
4δ
2δ |
4δ |
|
δ
2δ |
|
4δ |
4δ |
4δ |
2δ |
|
δ
4δ
Рис.2а.
3a |
a |
|
|
1 2 a |
a |
|
|
a
2a
a
2a
600
a
|
a |
|
2a |
||
|
2a
|
1 2 a |
|
a |
|
|
|
4a |
5a |
|
a |
|
|
||
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
a
3a
a
a
3a |
3a |
3a |
a a
3a |
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
600 |
a |
|
|
||
3a |
4a |
|
4a |
Рис.2б.
|
|
|
|
|
Таблиця 1 |
|
|
|
|
|
|
№ |
Довжина стержня |
Стальні стержні |
Дерев’яні стержні |
||
Пп. |
l (м) |
Р (кН) |
[ σ ] (МПа) |
P |
[σ ] (МПа) |
1 |
2.1 |
700 |
160 |
400 |
8 |
2 |
2.2 |
690 |
150 |
390 |
9 |
3 |
2.3 |
680 |
180 |
380 |
10 |
4 |
2.4 |
670 |
170 |
370 |
11 |
5 |
2.5 |
660 |
200 |
360 |
12 |
6 |
2.6 |
650 |
140 |
350 |
13 |
7 |
2.7 |
640 |
160 |
340 |
14 |
8 |
2.8 |
630 |
150 |
330 |
15 |
9 |
2.9 |
620 |
180 |
320 |
14 |
10 |
3.0 |
610 |
190 |
310 |
13 |
11 |
3.1 |
600 |
200 |
300 |
12 |
12 |
3.2 |
590 |
140 |
290 |
11 |
13 |
3.3 |
580 |
150 |
280 |
10 |
14 |
3.4 |
570 |
160 |
270 |
9 |
15 |
3.5 |
560 |
170 |
260 |
8 |
16 |
3.6 |
550 |
180 |
250 |
7 |
17 |
3.7 |
540 |
190 |
240 |
6 |
18 |
3.8 |
530 |
200 |
230 |
5 |
19 |
4.9 |
520 |
140 |
220 |
6 |
20 |
4.0 |
510 |
130 |
210 |
7 |
21 |
4.1 |
500 |
120 |
200 |
8 |
22 |
4.2 |
490 |
150 |
190 |
9 |
23 |
4.3 |
480 |
160 |
180 |
10 |
24 |
4.4 |
470 |
170 |
170 |
11 |
25 |
4.5 |
460 |
180 |
160 |
12 |
26 |
4.6 |
450 |
190 |
150 |
13 |
27 |
4.7 |
440 |
120 |
140 |
14 |
28 |
4.8 |
430 |
130 |
130 |
15 |
29 |
4.9 |
420 |
140 |
120 |
14 |
30 |
5.0 |
410 |
150 |
110 |
13 |
1. Форми рівноваги пружного стиснутого стержня.
При стиску довгого тонкого стержня осьовою силою він може вийти з ладу не через те, що в поперечних перерізах виникатимуть граничні напруження (границя текучості або міцності), а внаслідок того, що стержень втратить свою початкову прямолінійну форму (зігнеться). Для таких стержнів, окрім розрахунку на міцність, потрібно виконувати розрахунок на стійкість. При дії на стержень стискуючої сили можна спостерігати три форми його рівноваги:
а) стійка рівновага (рис. 1 а) – це така форма рівноваги стержня, коли при довільному малому відхиленні його від прямолінійної початкової форми рівноваги внутрішні сили здатні повернути його в початкове положення; б) нестійка форма рівноваги (рис.1 в) – така форма, коли, після малого відхилення стержня з
початкового прямолінійного положення, він не тільки не повертається в початкове положення, а отримує додаткове переміщення;
F F < F |
F F = Fk |
F F > Fk |
k |
|
|
a) |
б) |
в) |
|
рис. 1 |
|
в) байдужа форма рівноваги (рис. 1 б) – така форма рівноваги, коли, після малого відхилення стержня з початкового положення рівноваги, він залишається в цьому новому положенні рівноваги.
Найбільша стискуюча сила F , до якої стержень зберігає стійку форму рівноваги, називається критичною силою Fk . Іншими словами, критична
сила Fk - це найменша осьова
стискуюча сила, при якій початкова прямолінійна форма рівноваги стає нестійкою. Навіть тоді, коли стискуючі напруження від сили Fk набагато
менші від границі текучості σт чи
границі міцності σмц матеріалу стержня, він може виходити з ладу через втрату стійкості. Згин стержня під дією стискуючої сили F =Fk , після втрати стійкості, називають повздовжнім згином стержня.
x
F = Fk
l y(x)
x
y
рис. 2
2. Визначення критичної сили. Критичне напруження.
Нехай на стержень з шарнірно закріпленими краями діє стискуюча сила F =Fk . Під дією цієї сили стержень зігнеться
(рис. 2). Згин буде відбуватися в площині найменшої жорсткості, яка суміщена з площиною xO y . Використавши для визначення
прогину y (x ) диференціальне рівняння зігнутої осі і
задовольнивши граничні умови, одержують формулу Ейлера для критичної сили в стержні з шарнірно закріпленими краями:
Fk = |
π2 |
E J min |
, |
(1) |
|
|
l 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
де J min - мінімальний момент |
інерції |
поперечного перерізу |
|||
стержня.
При будь-якому способі закріплення стержня критична сила Fk визначається із формули
Fk = |
π2 E J min |
, |
(2) |
(µl )2 |
де µ - коефіцієнт приведеної довжини, що залежить від способу закріплення стержня. На рис.3 наведені значення коефіцієнтів µ для деяких способів закріплення стержнів.
l |
|
l 2 |
l 2 |
|
µ =1 |
|
|
µ = 2 |
µ =0,7 |
µ =0,5 |
|
|
|
|
µ =1, 26 |
|
|
|
|
|
|
µ =0, 44 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
рис. 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Якщо стиснутий стержень по-різному закріплений в різних площинах (рис. 4), |
||||||||||||||||||||||||||||||||
коефіцієнти приведеної довжини µ відносно осей y і z |
є різними. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
В |
|
цьому |
|
випадку |
критичну |
силу Fk |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
визначають із формули: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
F |
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fk |
= |
|
π2 E A |
, |
|
|
|
(3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2max |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
де: A - площа поперечного перерізу стержня; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
λ= |
µl - гнучкість стержня; |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
l |
i = |
|
J |
- радіус інерції поперечного перерізу. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Згин стержня відбуватиметься в площині |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
найбільшої гнучкості. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
l |
|
|
|
|
|
µy |
l |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
y |
|
λmax =max |
λz = |
|
|
|
|
|
, |
λy = |
|
|
|
|
; де iy , iz - |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
iz |
|
iy |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радіуси |
|
інерції |
|
|
|
перерізу |
|
|
відносно |
його |
||||||||||||||||
µz =0, 7 |
|
µy =1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
y |
головних |
осей |
|
|
y, z . |
В |
таких |
стержнях |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
актуальним |
|
є |
|
|
|
питання |
|
|
|
раціонального |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
розташування |
|
|
|
перерізу, |
|
|
|
при |
|
якому |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
виконується |
|
умова |
|
|
λz |
−λy |
|
→min . |
Після |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
рис. 4 |
|
|
використання |
виразу |
(.4) |
ця |
умова набирає |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
вигляду |
µy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
µz ≈ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iz |
|
|
iy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критичне напруження в стиснутих гнучких стержнях визначається за формулою |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
π2 |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
σk = |
k |
= |
λ2max |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.Діаграма критичних напружень.
Зформули для напружень (6) видно, що в залежності від гнучкості λmax , критичне
напруження σk може бути різним. Якщо гнучкість λmax порівняно невелика, то σk може набувати значень, що перевищують границю пропорційності матеріалу стержня σпц . Оскільки формула Ейлера і формула для визначення σk одержані при допущенні, що стержень при втраті стійкості деформується пружно і матеріал знаходиться в межах закону
Гука (тобто σ ≤σпц ), то величина критичних напружень повинна бути обмежена |
|
|||||||||||
|
|
|
|
σ |
k |
= |
π2 E |
≤σ |
пц |
. |
(7) |
|
|
|
|
|
λ2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
Звідки |
λ |
|
≥ |
π2 E |
. |
|
|
|
(8) |
|||
max |
|
|
σпц |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тобто, нижня границя гнучкості стержня, при якій можна користуватися формулою Ейлера,
становить |
λ |
=π |
E |
. |
Так, для сталі Ст. 3 з пружними характеристиками σ |
пц |
≈ 20 кН |
, |
|
||||||||
|
пц |
σпц |
|
см2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
E = 2 104 |
кН |
дістаємо |
λ ≈100 . Отже, формулою Ейлера для таких сталей можна |
|||||
|
см2 |
|
|
|
пц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
користуватися при гнучкостях λ ≥ 100 . Це – область стержнів великої гнучкості. Область
гнучкостей λ < λпц можна розділити на: |
|
|
а) область малих гнучкостей (для сталі Ст. 3 λ |
≤ |
61.4 ), при яких немає небезпеки втрати |
стійкості і стержні слід перевіряти тільки на міцність. При λ ≤ 61.4 напруження σk =σm , |
||
де σm - границя текучості матеріалу стержня; |
|
|
б) область середніх гнучкостей (для сталі |
61.4 |
< λ < 100 ). Визначення критичних |
напружень в цій області викликає певні труднощі, оскільки матеріал в цьому випадку перебуває в пружнопластичному стані (σпц <σk <σm ). Формула Ясинського для визначення
цих напружень, що одержана як результат обробки експериментальних даних, має вигляд
σk =a −b λ , |
(9) |
де коефіцієнти a , b , що отримані на основі експериментів, беруться з таблиць. Зокрема, для
сталі Ст. 3 a =31.0 |
кН |
, b =0.114 |
кН |
. |
см2 |
|
|||
|
|
см2 |
||
Для кожного матеріалу при різних значеннях λ можна на основі наведених вище співвідношень побудувати графік залежності напруження σk від гнучкості λ. Цей графік називається діаграмою критичних напружень. Для сталі Ст. 3 ця діаграма показана на рис. 5.
|
σk |
σк =σm |
|
|
|
|
|
|
σm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σк =a −bλmax |
|
|
|
|
|
|
|
σпц |
|
|
|
|
π2 |
E |
||
|
|
σ |
к |
= |
||||
|
|
|
λ2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
max |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
61.4100
рис.5