Розрахунок просторової рами

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”

РОЗРАХУНОК НА МІЦНІСТЬ ПРОСТОРОВОЇ РАМИ

ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до розрахунково-графічної роботи

здисципліни “Опір матеріалів” для студентів механічних і будівельних спеціальностей

Затверджено на засіданні кафедри «Опір матеріалів», протокол № 5 від 16.11.2006 р.

Львів – 2006

Загальні вказівки щодо виконання розрахунково-графічної роботи

1.Розрахунково-графічну роботу виконують на стандартних листах формату А4 (210×297 мм), зшитих зліва.

2.На титульному листі вказують: а) назву навчального закладу; б) назву кафедри; в) назву задачі;

г) шифр академічної групи, прізвище та ініціали студента, який виконує роботу; д) прізвище та ініціали викладача, який керує роботою; е) місто, календарний рік.

3.На першому листі пишуть умову задачі, наводять числові дані, зображають схему рами, відкладаючи довжини її елементів у масштабі і направляючи складові зовнішнього навантаження з урахуванням їхніх знаків, вказаних у таблиці.

4.Розрахунки супроводжують лаконічними, чіткими поясненнями.

5.Результати розрахунків наводять, вказуючи одиниці виміру величин.

6.Числові значення підставляють в остаточні залежності, одержані на основі аналітичних перетворень.

7.Розрахунки і пояснення до них, а також рисунки виконують лише на одному боці кожного з листів.

8.У технічних розрахунках не прийнято оперувати простими дробами.

1. Завдання для домашніх розрахунково-графічних робіт

Для просторової рами (рис. 1 а, б) підібрати розміри поперечних перерізів: елемента АВ – круглого, елемента ВС – квадратного, елемента СД – прямокутного (із заданим відношенням сторін h/b), раціонально його розташувавши.

Упроцесі розрахунку:

1.Вибрати рухому систему координат XYZ для кожного із елементів рами.

2.Визначити поздовжню силу N і поперечні сили Qz i Qy, крутний момент Mk і згинальні моменти Mz та My для кожного елемента рами і побудувати їх епюри.

3.В небезпечному перерізі елемента АВ рами визначити розрахунковий момент і підібрати діаметр круглого перерізу, використавши вказану в таблиці 1 теорію міцності.

4.В небезпечному перерізі елемента ВС рами побудувати епюри напружень від N, Mz, My, Mk і визначити найбільш небезпечну точку цього перерізу. Використавши вказану теорію міцності, підібрати розмір квадратного перерізу.

5.Проаналізувавши епюри внутрішніх зусиль для елемента СД рами, встановити небезпечний переріз. Раціонально розташувати прямокутний переріз. Побудувати епюри напружень в небезпечному перерізі і знайти найбільш небезпечну точку в ньому. Підібрати розміри прямокутного перерізу.

Числові дані для розрахунку взяти з таблиці 1.

3

4

зусилля в рамі. Епюри згинальних моментів Mz та My зображуємо з боку розтягнутих волокон відповідного елемента рами.

Після побудови епюр визначаємо небезпечний переріз в кожному елементі рами, знаходимо в ньому найбільш напружені точки, за відповідними напруженнями в цих точках проводимо розрахунок на міцність.

Зауважимо, що при розрахунку на міцність просторових рам нетонкостінного профілю дотичними напруженнями від поперечних сил можна знехтувати, врахувавши при цьому дотичні напруження від крутного моменту і нормальні напруження від згинальних моментів і поздовжньої сили. Проте побудова епюр поперечних сил є обов’язковою; ці епюри використовуються, зокрема, для контролю при побудові епюр згинальних моментів.

Розрахунок на міцність будемо проводити використовуючи умову міцності

При наявності як поздовжніх сил і згинальних моментів, так і крутних моментів у небезпечних точках поперечного перерізу елемента рами виникає плоский напружений стан і розрахунок на міцність необхідно виконувати (для пластичних матеріалів) з використанням третьої або четвертої теорій міцності.

У залежності від взятої для розрахунку теорії міцності розрахункове напруження буде обчислюватись за формулами

при використанні теорії максимальних дотичних напружень

при використанні енергетичної теорії формозміни.

Якщо для деякого елемента просторової рами зовнішні сили мають великі (у порівнянні з розмірами його поперечного перерізу) ексцентриситети, то вирішальне значення в цьому випадку мають згинальний і крутний моменти. Тому при визначені із умов (1)–(4) розмірів поперечного перерізу цього елемента рами доцільно спочатку необхідно врахувати нормальні напруження тільки від дії згинальних моментів. Потім, після обчислення і округлення розмірів поперечного перерізу в бік їх збільшення, необхідно виконати перевірку міцності вже з урахуванням впливу поздовжньої сили.

3. Приклад розв’язання задачі

Для статично визначної просторової рами, зображеної на рис. 4 а:

-вибрати рухому систему координат XYZ;

-побудувати епюри поздовжньої і поперечних сил та крутного і згинального моментів;

-визначити із розрахунку на міцність розміри поперечних перерізів: для елемента АВ – круглого, для елемента ВС – квадратного, для елемента СД – прямокутного з відношенням сторін h/b=2, розташувавши його найбільш раціонально; використати при цьому теорію міцності найбільших дотичних напружень.

Дані до задачі: а=1 м, q=40 кH/м, F=40 кН, М=60 кHм.

Матеріал – Ст. 5, для якої σт=280 МПа. Коефіцієнт запасу прийняти kт=1,6.

8

Розв’язання

1.Вибір системи координат.

Вибираємо рухому систему координат XYZ, вісь Х якої співпадає з віссю розглядуваного

елемента рами, осі Z і Y співпадають з головними центральними осями поперечного перерізу. При цьому рух координатної системи відбувається так, що вісь, яка є нормаллю до площини, в якій розташовані осі двох сусідніх елементів, при переході від першого елемента до другого елемента зберігає свій напрям (рис. 4 б).

Рис. 4

2.Визначення внутрішніх зусиль в рамі і побудова їх епюр.

Застосувавши метод перерізів визначимо внутрішні зусилля в елементах рами. За

отриманими значеннями цих зусиль будуємо їх епюри. Розглядаємо елемент АВ ( 0 ≤ x ≤ 2 м).

Складаємо рівняння рівноваги для виділеної частини цього елемента (рис. 5) і знаходимо з них внутрішні зусилля:

∑Fz(i) = 0 , Qz = 0 ;

i

-крутний момент Мк

∑M x(i) = 0 , Mк = 0 ;

i

-згинальні моменти Мy і Мz

9

∑M z(i) = 0 , −M z − F x = 0 , M z = −F x = −40x ;

i

M z( A) = M z (0) = 0 , M z( B) = M z (2) = −80 кНм (розтягує ліві волокна елемента АB);

∑M y(i) = 0 , M y = 0 . i

Розглядаємо елемент ВС ( 0 ≤ x ≤ 2 м).

Складаємо рівняння рівноваги для виділеної частини рами (Рис. 6) і визначаємо з цих рівнянь внутрішні зусилля в елементі ВС рами:

Qy

M y y

F

Рис. 6

-поздовжню силу N

∑Fx(i) = 0 , N + F = 0 , N = −F = −40 кН;

M z B = M z (0)= −80 кНм (розтягує верхні волокна елемента BC); M zC = M z (2)= −160 кНм (розтягує верхні волокна елемента BC);

∑M y(i) = 0 , M y = 0 .

i

Розглядаємо елемент СД ( 0 ≤ x ≤1 м).

З рівнянь рівноваги для виділеної частини рами (Рис. 7) знаходимо внутрішні зусилля в цьому елементі:

-поздовжню силу N

∑Fx(i) = 0 , N = 0 ;

i

- поперечні сили Qz i Qy ∑Fz(i) = 0 , Qz −F = 0 , Qz = F = 40 кН;

i

10