Позацентровий стиск бруса великої жорсткості

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ „ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”

Позацентровий стиск бруса великої жорсткості

Завдання та методичні вказівки до розрахунковографічної роботи з дисципліни “Опір матеріалів” для студентів будівельних та механічних спеціальностей

стаціонарної форми навчання

Затверджено

на засіданні кафедри опору матеріалів протокол № 1 від 29 серпня 2006 р.

Львів – 2006

Позацентровий стиск бруса великої жорсткості: завдання та методичні вказівки до розрахунково-графічної роботи з дисципліни “Опір матеріалів” для студентів будівельних та механічних спеціальностей стаціонарної форми навчання / Укладачі: Харченко Є. В., Стасюк Б. М., Білобран Б. С., Войтович М. І. – Львів: НУ „Львівська політехніка”, 2006. – 14 с.

Відповідальний за випуск Харченко Є.В., д-р. техн. наук, проф.

Рецензент Кузьо І. В., д-р. техн. наук, проф.

1

Загальні вказівки щодо виконання розрахунково-графічної роботи

1.Розрахунково-графічну роботу виконують на стандартних листах формату А4 (210×297 мм), зшитих зліва.

2.На титульному листі вказують: а) назву навчального закладу; б) назву кафедри; в) назву задачі;

г) шифр академічної групи, прізвище та ініціали студента, який виконує роботу; д) прізвище та ініціали викладача, який керує роботою;

е) місто, календарний рік.

3.На першому листі пишуть умову задачі, наводять числові дані, зображають схему перерізу масштабі.

4.Розрахунки супроводжують лаконічними, чіткими поясненнями.

5.Результати розрахунків наводять, вказуючи одиниці виміру величин.

6.Числові значення підставляють в остаточні залежності, одержані на основі аналітичних перетворень.

7.Розрахунки і пояснення до них, а також рисунки виконують лише на одному боці кожного з листів.

8.У технічних розрахунках не прийнято оперувати звичайними дробами.

2

1. Завдання на домашню розрахунково-графічну роботу

ПОЗАЦЕНТРОВИЙ СТИСК БРУСА ВЕЛИКОЇ ЖОРСТКОСТІ

Для бруса великої жорсткості з поперечним перерізом, зображеним на рис. 1 і навантаженого стискуючою силою F , яка прикладена в точці A з координатами (zA , yA ) відносно вказаної системи осей, потрібно ви-

значити величину допустимого навантаження, побудувати просторову епюру нормальних напружень і знайти ядро перерізу.

Порядок розрахунку:

1.Знайти положення центра ваги перерізу, провести головні центральні осі і обчислити головні моменти та квадрати радіусів інерції перерізу.

2.Знайти положення нульової лінії.

3.При заданих допустимих напруженнях на розтяг [σ]+ і на стиск [σ]− визначити допустиме навантаження на брус.

4.При F =[F], знайти напруження в характерних точках перерізу стрижня і побудувати просторову епюру нормальних напружень.

5.Визначити координати вершин ядра перерізу і побудувати ядро перерізу.

Числові дані взяти з табл. 1.

3

4

Рис. 1. Поперечні перерізи бруса.

6

2. Основні теоретичні відомості

При реальному навантаженні елементів конструкцій на розтяг чи стиск навантаження розподілене по всій площі торця бруса. Позацентровий розтяг (стиск) зумовлений навантаженням, рівнодійна якого F є паралельною до осі x та прикладена поза центром поперечного перерізу в точці з координатами zF , yF (рис. 2 а). У цьому випадку, в перерізах бруса виникає три внутрішні си-

лові фактори: поздовжня сила N = F та згинальні моменти Mz = F yF , M y = F zF . Нормальне напруження в точці B(z, y) перерізу знаходимо згідно

принципу суперпозиції (незалежності дії сил), як суму напружень викликаних кожним з цих внутрішніх силових факторів окремо. Це напруження рівне:

Зауважимо, що ця формула буде справедливою лише за умови, якщо брус буде достатньо жорстким і деформаціями згину можемо знехтувати. В цьому випадку ексцентриситет прикладання сили відносно осі бруса не буде змінюватися по довжині бруса і згинальні моменти можна вважати постійними в кожному

−

maxσcт

Рис. 2

поперечному перерізі. Згідно принципу Сен-Венана дію поза центрової сили можна замінити на еквівалентну систему сил N,Mz ,M y лише в перерізах від-

7

далених від кінців бруса на віддаль порядку його діаметра. Враховуючи значення внутрішніх силових факторів, будемо мати:

Лінію, на якій нормальні напруження дорівнюють нулю, називають нейтральною лінією. Для того, щоб отримати рівняння нейтральної лінії, потрібно прирівняти напруження до нуля.

Це рівняння прямої. Отже нейтральна ліній при позацентровому розтягу стиску є прямою. Найпростіше побудувати нейтральну лінію можна визначивши точки, в яких нейтральна лінія перетинає координатні осі. Для цього потрібно в формулу (4) підставити по черзі z =0 та y =0 і визначити іншу координату

(рис. 2 б).

Відкладаємо на координатних осях відрізки визначені з формули (5) і з’єднуємо отримані точки прямою лінією. Це і є нейтральна лінія. З формули

(5) випливає, що коли сила проходить через одну з головних осей наприклад y (zF =0), то тоді . Це означає, що нейтральна лінія є паралельною до осі z .

В залежності від координат yF , zF точки прикладання сили F, нейтральна

лінія може проходити поза перерізом, дотикатися до нього або перетинати його. В останньому випадку в перерізі виникають як розтягуючі, так і стискуючі

8

напруження. Найбільші значення напружень виникають у точках контуру поперечного перерізу, які найбільш віддалені від нейтральної лінії (рис. 2 б).

де [σ]+ , [σ]− - допустимі напруження на розтяг і стиск.

Для позацентрово стиснутих стержнів, виготовлених з крихких матеріалів, небажана поява в точках перерізу розтягуючих напружень, оскільки в цьому випадку можливе виникнення тріщин. Для того, щоб цих напружень не було, позацентрову силу потрібно намагатися прикладати в межах ядра перерізу. Ядро перерізу – це область навколо центра ваги перерізу, яка характерна тим, що всяка позацентрово прикладена в ній сила породжує по всьому перерізі напруження того самого знаку, що і прикладена сила. Це означає, що нейтральна лінія знаходиться або повністю поза поперечним перерізом, або дотикається до його контуру.

Для побудови ядра перерізу потрібно розглянути випадки, коли нейтральні лінії дотикаються до контуру поперечного перерізу і визначити координати точок прикладання сили з формул (5). Таким чином ми визначимо координати точок контура ядра перерізу:

де yн , zн - відрізки, що відтинаються нейтральною лінією на осях y, z , коли ця

лінія дотикається до контура поперечного перерізу стержня.

Коли нейтральна лінія обертається відносно кутової точки поперечного перерізу, то яким би не був кут її нахилу, координати цієї точки повинні задовольняти рівняння нейтральної лінії (4):

1+ zFz + yFy =0,

i2y i2z

Це рівняння прямої. Отже, точка контуру ядра перерізу рухається по прямій лінії, коли нейтральна лінія обертається навколо кутових точок поперечного перерізу. Таким чином, якщо контур поперечного перерізу є многокутником, то контур ядра перерізу також є многокутником з такою ж кількістю кутів. Крім того можемо сказати, що якщо контур поперечного перерізу є гладкою кривою (без кутових точок), то і контур ядра перерізу є гладкою кривою.

9