Методичка-згин

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”

РОЗРАХУНОК БАЛОК ПРИ ПРЯМОМУ ЗГИНІ

ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до розрахунково-графічної роботи з курсу “Опір матеріалів” для студентів базових напрямків

0901 “Інженерна механіка”, 0905 “Енергетика”, 0921 “Будівництво”, 0923 “Зварювання”, 0926 “Водні ресурси”, 0928 “Пожежна безпека”

Затверджено на засіданні кафедри «Опір матеріалів», протокол № 1 від 31.08.2004 р.

Львів – 2004

Загальні вказівки щодо виконання розрахунково-графічної роботи

2.На титульному листі вказують: а) назву навчального закладу; б) назву кафедри; в) назву задачі;

г) шифр академічної групи, прізвище та ініціали студента, який виконує роботу; д) прізвище та ініціали викладача, який керує роботою; е) місто, календарний рік.

3.На першому листі пишуть умову задачі, наводять числові дані, зображають схему стержня, відкладаючи довжини його ділянок у масштабі і направляючи зовнішні моменти з урахуванням їхніх знаків, вказаних у таблиці.

4.Розрахунки супроводжують лаконічними, чіткими поясненнями.

5.Результати розрахунків наводять, вказуючи одиниці виміру величин.

6.Числові значення підставляють в остаточні залежності, одержані на основі аналітичних перетворень.

7.Розрахунки і пояснення до них, а також рисунки виконують лише на одному боці кожного з листів.

8.Епюри внутрішніх сил і прогинів розташовують під розрахунковою схемою балки на одному рівні.

9.У технічних розрахунках не прийнято оперувати звичайними дробами.

- 2 -

1. Завдання на домашню розрахунково-графічну роботу

Виконати розрахунок статично визначеної балки на міцність і жорсткість, вибравши схему балки і числові дані згідно з завданням. Матеріал балки – Ст. 3, модуль пружності якого Е=2·105 МПа. Допустиме напруження прийняти рівним [σ]=160 МПа.

Уході розрахунку виконати наступне.

1.Зобразити схему балки у масштабі, позначити розміри її ділянок (в м) і нанести числові значення навантажень.

2.Визначити опорні реакції.

3.Побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів.

4.Підібрати двотавровий поперечний переріз балки з урахуванням дії в перерізі нормальних напружень, беручи до уваги, що перенапруження матеріалу не повинно перевищувати 5 %.

5.Провести перевірку міцності балки за найбільшими дотичними напруженнями.

6.Побудувати епюри нормальних і дотичних напружень для перерізу балки, в якому одночасно виникають великі поперечна сила та згинальний момент.

7.Для вказаного перерізу в точках переходу від стінки до полички провести перевірку міцності з використанням ІІІ або ІV теорії міцності.

8.Записати рівняння прогинів балки з використанням універсального рівняння зігнутої осі.

9.Обчислити прогини у декількох характерних точках осі балки та побудувати епюру прогинів.

10.Перевірити жорсткість балки за допустимим прогином [n ]= 500l (l – прогин балки).

Дані взяти з таблиці.

- 3 -

Т а б л и ц я

Числові значення геометричних параметрів і складових навантажень балки

- 4 -

2.Основні теоретичні відомості

2.1.Основні поняття. Поперечні сили та згинальні моменти

Стрижень з прямою віссю, що працює на згин, називається балкою. Згин балки викликається зосередженими, розподіленими навантаженнями, а також зовнішніми моментами, які діють у площині, що проходить через вісь балки. Характерною ознакою деформації згину балки є зміна кривини її осі. Площина, в якій діють навантаження, називається силовою площиною.

z

M

F q

x

y

Рис. 1. Навантаження, що діють на балку при прямому згині

Якщо викривлена вісь балки лежить в силовій площині (рис. 1), то має місце прямий згин балки. При прямому згині скривлена вісь балки єплоскою кривою, що є геометричним місцем вертикальних переміщень точок осі балки. Ці переміщення називаються прогинами балки.

При прямому згині в поперечних перерізах балки виникають дві внутрішні сили: поперечна сила Q (x) та згинальний момент M (x ) (рис. 2, а), для визначення яких використовується

метод перерізів. Якщо обидва зазначені силові фактори M (x ) та Q (x) є відмінними від нуля,

то такий згин називається поперечним. У випадку відсутності поперечних сил згин називається

чистим.

Рис. 2. Поперечні сили та згинальні моменти при прямому згині балки

Внутрішні сили в довільному перерізі балки(рис. 2, а), яка знаходиться під дією зрівно-

- 7 -

важеної системи сил, визначаються таким чином:

·поперечна сила Q(x) чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на вісь y перерізу усіх зовнішніх сил, розташованих по один бік від цього перерізу. Додатними вважаються поперечні сили, які намагаються повернути розглядувану частину балки за ходом стрілки годинника (рис. 2, б);

·згинальний момент М(х) чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів відносно осі

z перерізу всіх зовнішніх сил, розташованих по один бік від цього перерізу. Додатними вважаються згинальні моменти від дії тих сил, що викликають розтяг нижніх волокон балки (рис. 2, в).

На підставі одержаних формул (чи значень для характерних точок осі балки) для поперечних сил Q(x) та згинальних моментів М(х) будують їх епюри.

Між згинальним моментом М(х), поперечною силою Q(x) та інтенсивністю розподіленого навантаження q(x) існують такі диференціальні залежності

Із цих залежностей випливають такі висновки:

1.На ділянках балки, де відсутнє розподілене навантаження ( q = 0 ), поперечна сила Q(x) – постійна величина, а згинальний момент М(x) змінюється за лінійним законом.

2.На ділянках балки, де діє рівномірно розподілене навантаження( q = const ), поперечна сила Q(x) змінюється за лінійним законом, а згинальний момент М(x) – за законом квадратної параболи, ввігнутої в сторону дії навантаження q .

3. На ділянках балки, де поперечна силаQ (x) > 0 , згинальний момент М(x) зростає, а

при Q (x) < 0 – М(x) спадає.

4.У перерізі балки, в якому поперечна силаQ (x) = 0 , згинальний момент М(х) набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.

5.На ділянці балки, на якій поперечна сила Q (x) = 0 , згинальний момент M (x) = M –

постійна величина і на цій ділянці має місце чистий згин.

6.У перерізі балки, в якому діє зосереджена сила, епюра Q(x) має стрибок на величину прикладеної сили, а епюра М(х) має злом в сторону дії цієї сили.

7.У перерізі балки, в якому діє зосереджений момент, епюра М(х) має стрибок на величину моменту пари сил.

2.2. Розрахунок балок на міцність

При поперечному згині балки ( M (x) ¹ 0 , Q (x) ¹ 0 ) у її поперечних перерізах виникають нормальні та дотичні напруження.

Нормальні напруження s (x, y ) в довільній точці перерізу визначаються за формулою

де М(х) – згинальний момент в розглядуваному перерізів балки, значення якого беремо з епюри М(х); Iz – осьовий момент інерції перерізу відносно нейтральної осі z ; y – ордината точки перерізу, в якій визначається напруження. Знак нормальних напружень визначається у відповідності до дії згинального моменту.

- 8 -

s min = -smax

де Wz – осьовий момент опору перерізу.

Моменти інерції Iz і моменти опору Wz обчислюються за такими формулами, зокрема: а) для прямокутного перерізу висотою h і шириною b

Моменти інерції та моменти опору прокатних профілів(двотавр, швелер) приведені у відповідних таблицях сортаментів.

Дотичні напруження t xy в довільній точці перерізу (для нешироких балок) визначаються за формулою Журавського

Q (x)S â³äð ( y )

txy = ( z ) , (6)

b y Iz

де Q(x) – поперечна сила в розглядуваному перерізі балки (беремо з епюри Q(x)); Szвідр – статичний момент відрізаної частини поперечного перерізу балки, що лежить по один бік точки, для якої визначається дотичне напруження; b(у) – ширина перерізу на рівні цієї точки. Знак дотичного напруження, як правило, визначається знаком поперечної сили.

Розподіл дотичних напружень по висоті балки залежить від форми перерізу, тобто від відношення Szâ³äð ( y)b(y ), причому напруження в крайніх точках перерізу дорівнюють нулю, а

найбільших значень вони досягають в точках нейтральної осі. Зокрема, дотичні напруження для балки прямокутного перерізу змінюються за законом квадратної параболи і їх епюра в стінці двотавра зображена на рис. 4.

Найбільші дотичні напруження в стінці двотавра обчислюються за формулою

де Sz – статичний момент половини перерізу двотавра, значення якого наведені в таблицях сортаменту; d – товщина стінки двотавра; Іz – момент інерції поперечного перерізу двотавра відносно нейтральної осі z .

- 9 -