Розрахунок просторової рами

∑Fy(i) = 0 , Qy +q 2 = 0 , Qy = −2 q = −80 кН;

i

-крутний момент Mк

∑M x(i) = 0 , Mк + F 2 +q 2 1 = 0 , Mк = −2 F −2 q = −160 кНм;

i

-згинальні моменти Mz і My

∑M z(i) = 0 , M z −M +q 2 x = 0 , M z = M −2 q x = 60 −80x ;

i

F

Рис. 7

M zC = M z (0)= 60 кНм (розтягує нижні волокна елемента CД); M z Д = M z (1)= −20 кНм (розтягує верхні волокна елемента CД);

∑M y(i) = 0 , M y + F x = 0 , M y = −F x = −40x ; M yC = M y (0)= 0 ;

i

M y Д = M y (1)= −40 кНм (розтягує ліві волокна елемента CД).

Рис. 8

11

За одержаними значеннями внутрішніх зусиль будуємо їх епюри (Рис. 8 а-е). Ординати згинальних моментів відкладаємо з боку розтягнутих волокон.

3.Визначення розмірів поперечних перерізів.

Допустиме напруження для матеріалу рами

[σ]= σT = 280 =175 МПа =17,5 кН/см2 кТ 1,6

Елемент АВ – круглий переріз діаметра d.

Елемент АВ перебуває в умовах прямого згину; небезпечним є переріз «В», у якому виникає

Mz=80 кНм.

З умови міцності при прямому згині маємо

Wz ≥ [Mσz].

Звідки з урахуванням, що Wz=0,1·d3, одержимо

Елемент BC – квадратний переріз зі стороною а. Елемент ВС піддається сумісній дії стиску, прямого згину і кручення. Небезпечним є переріз «С», у якому виникає максимальний згинальний момент Mz=160 кНм, поздовжня сила N=40 кН, крутний момент Mк=60 кНм.

Епюри нормальних напружень σ від дії поздовжньої сили і згинального моменту і дотичних напружень τ від дії крутного моменту (без дотримання масштабу) показані на Рис. 9 а, б, в.

τmax

Небезпечною точкою в перерізі є точка «І», у якій діють максимальні (по модулю) нормальні і дотичні напруження. В цій точці матеріал перебуває в умовах плоского напруженого

12

стану. Розрахунок на міцність проводиться за теорією міцності найбільших дотичних напружень

(3).

Підставляємо одержані вирази в формулу для обчислення розрахункового напруження (4.3). Будемо мати

З умови міцності (4.1) одержимо

Приймаємо а=19 см і перевіряємо виконання умови міцності з урахуванням поздовжньої сили N. Тоді

Отже, міцність елемента рами ВС забезпечена.

Елемент СД – прямокутний переріз зі сторонами b i 2b. Елемент зазнає сумісної дії косого згину і кручення. У даному випадку неочевидно, який із «підозрілих» перерізів «С» і «Д» буде небезпечним. Тому проаналізуємо напружений стан в обох цих перерізах. У перерізі «С» – Мк=160 кНм, Mz=60 кНм, Мy=0, у перерізі «Д» – Мк=160 кНм, Mz=20 кНм, Мy=40 кНм. Розташуємо прямокутний переріз, виходячи з того, що в перерізі, де Mz>Мy, повинно бути Wz>Wy. Така ситуація має місце в перерізі «С», але в перерізі «Д» Mz<Мy і для цього перерізу раціональним є розташування прямокутного перерізу, при якому Wz<Wy. У зв’язку з цим проаналізуємо обидва варіанти розташування прямокутного перерізу.

Спочатку розташуємо його так, щоб Wz>Wy. Тоді

Розглянемо переріз «С». У цьому перерізі має місце сумісна дія прямого згину моментом Mz=60 кНм і кручення моментом Мк=160 кНм. Епюри відповідних напружень (без збереження масштабу) показані на рис. 10 а, б.

Небезпечними можуть виявитися точки однієї із пар точок «2» і «6» або «4» і «8». Обчислимо розрахункові напруження у цих точках.

В околі точок «2» і «6» матеріал знаходиться в плоскому напруженому стані. Для обчислення розрахункового напруження в цих точках використаємо формулу (3)

σекв(1) = σ2,6 +4τ2,62 .

13

В околі точок «4» і «3» матеріал перебуває в умовах чистого зсуву і розрахункове напруження в цих точках буде

Розглянемо переріз «Д». У цьому перерізі має місце сумісна дія косого згину моментами Mz=20 кНм і Мy=40 кНм і кручення моментом Мк=160 кНм. Епюри нормальних напружень представлені на рис. 11 а, б.

Розподіл дотичних напружень в перерізі «Д» такий самий, як і в перерізі «С» (рис. 10 б) Небезпечними можуть виявитися точки однієї із пар точок «1» і «5» або «4» і «8».

Обчислимо розрахункові напруження у цих точках.

В околі точок «1» і «5» матеріал перебуває в одновісному напруженому стані (має місце косий згин). Розрахункове напруження визначаємо за формулою

Нормальні і дотичні напруження в цих точках дорівнюють

14

Рис. 11

Тоді

h = 2b =31 см.

Отже, у випадку, коли прямокутний поперечний переріз розташований так, що його більша сторона паралельна осі y, міцність елемента рами буде забезпечена при b=15,5 см, h=31 см.

Розглянемо другий варіант розташування поперечного перерізу – довша сторона прямокутника паралельна осі z. Тоді

Wz = hb62 = 13 b3 , Wy = bh62 = 23 b3 .

У перерізі «С» будемо мати представлений на рис. 12 розподіл нормальних і дотичних напружень.

Небезпечними будуть точки «4» і «8», у яких виникають максимальні нормальні і максимальні дотичні напруження. Матеріал у цих точках перебуває в плоскому напруженому стані. Обчислимо розрахункове напруження за формулою (3).

15

x

Рис. 12 Оскільки розрахункове напруження σекв(5) , одержане в другому варіанті розташування

поперечного перерізу, більше, ніж найбільше розрахункове напруження в першому варіанті

варіант, тобто варіант, коли більша сторона прямокутника паралельна осі y. Таким чином приймаємо

b=15,5 см; h=31 см.

Список літератури

1. Гурняк Л. І., Гуцуляк Ю. В., Юзьків Т. Б. Опір матеріалів: Посібник для вивчення курсу при кредитно-модульній системі навчання. – Львів: Новий світ – 2000, 2005. – 364 с.

2. Опір матеріалів: Підручник для машинобудівних спеціальностей вузів /

Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський; За ред. Г. С. Писаренка. – К.: Вища школа, 2004. – 655 с.

3. Опір матеріалів з основами теорії пружності й пластичності: У 2 ч., 5 кн. – Ч. І, кн. 2. Опір бруса:

Підручник / В. Г. Піскунов, Ю. М. Федоренко, В. Д. Шевченко та ін.; За ред.

В. Г. Піскунова. – К.: Либідь, 1994. – 355 с.

4. Опір матеріалів з основами теорії пружності й пластичності: У 2 ч., 5 кн. – Ч. ІІ, кн. 4. Приклади

ізадачі: Навч. посібник / В. Г. Піскунов, В. Д. Шевченко, М. М. Рубан та ін.; За ред. В. Г.

Піскунова. – К.: Вища школа, 1995. – 300 с.

16

ЗМІСТ

17

НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ

РОЗРАХУНОК НА МІЦНІСТЬ ПРОСТОРОВОЇ РАМИ

ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до розрахунково-графічної роботи

здисципліни “Опір матеріалів” для студентів механічних і будівельних спеціальностей

18