Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Частина5.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
27.04.2021
Размер:
352.49 Кб
Скачать

Q ( x )=

dM ( x )

ì 41 , (0 £ x £1 )ü

(в)

= í

 

(1£ x £ 2 )

ý

dx

1 ,

 

î

þ

 

Епюри M ( x ) і Q ( x ), що побудовані за виразами (а), (б), (в), показані на рис. 9.10 в, г.

 

 

Приклад 9.7.

 

Для зображеної на рис. 9.11 балки визначити момент M1

на проміжній опорі.

 

 

 

 

 

 

 

q = 20kH м

 

 

Задача

 

 

один

раз

 

статично

невизначна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Защемлення

 

 

 

на

 

лівій

 

 

 

опорі

 

замінюємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

шарнірними опорами, які показані на рис. 9.11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б.

 

основна

система

з

врізаним

 

шарніром на

 

 

 

 

 

 

2 м

 

 

опорі “ 1 “, показана

на рис. 9.11 в. Рівняння

 

 

 

 

 

 

 

 

 

трьох моментів для опори “ 1 “:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l1

1

 

 

 

б)

M 0l1 + 2 M1 (l1 + l2 )+ M 2l 2 = -6 E J z (q1' +q1'' ),

 

0

 

 

 

2

де

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

M1

M

 

M

 

 

M

 

= M

 

= 0; l

= 0; q' =

0, E J q'' =

ql3

20×23

 

20

.

 

 

 

0

 

1

 

2

 

0

2

 

2

=

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

1

1

 

z

1

24

 

24

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Тоді рівняння набирає вигляду:

 

 

 

0

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l = 0

 

l = 2 м

 

 

4 M1 = - 6 ×

20

Þ M1 = -10 кН × м .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис. 9.11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X. Стійкість стиснутих стержнів.

10.1. Форми рівноваги пружного стиснутого стержня.

При стиску довгого тонкого стержня осьовою силою він може вийти з ладу не через те,

що в поперечних

перерізах

виникатимуть граничні напруження(границя текучості або

міцності), а внаслідок

того, що

стержень втратить свою початкову прямолінійну форму

(зігнеться). Для таких стержнів, окрім розрахунку на міцність, потрібно виконувати розрахунок на стійкість. При дії на стержень стискуючої сили можна спостерігати три форми його рівноваги:

F F < F

F F = Fk

F F > Fk

k

 

 

a)

б)

в)

 

рис.10.1

 

Найбільша

стискуюча

сила F , до якої

а) стійка рівновага (рис. 10.1 а) – це така

форма

рівноваги

стержня, коли

при

довільному малому відхиленні його від

прямолінійної

початкової

форми

рівноваги

внутрішні

сили

здатні

повернути його в початкове положення;

 

б) нестійка форма

рівноваги(рис.10.1 в)

така форма, коли, після малого відхилення стержня з початкового прямолінійного положення, він не тільки не повертається в початкове положення, а отримує додаткове переміщення;

в) байдужа форма рівноваги (рис. 10.1 б)

така форма рівноваги, коли, після малого відхилення стержня з початкового положення рівноваги, він залишається в цьому новому положенні рівноваги.

стержень зберігає стійку форму рівноваги,

- 81 -

називається критичною силою Fk . Іншими словами, критична сила Fk - це найменша осьова стискуюча сила, при якій початкова прямолінійна форма рівноваги стає нестійкою. Навіть тоді, коли стискуючі напруження від сили Fk набагато менші від границі текучостіsт чи границі

міцності

s мц

матеріалу стержня, він може виходити з ладу черезвтрату стійкост. Згин

стержня

під

дією стискуючої силиF = Fk , після втрати стійкості, називають повздовжнім

згином стержня.

10.2. Визначення критичної сили. Критичне напруження.

Нехай на дією цієї сили

x

F = Fk

стержень з шарнірно закріпленими краями діє стискуюча силаF = Fk . Під

стержень зігнеться(рис. 10.2). Згин буде відбуватися в площині найменшої жорсткості, яка суміщена з площиною xO y . Використавши для

визначення прогину y ( x ) диференціальне рівняння зігнутої осі і задовольнивши граничні умови, одержують формулу Ейлера для критичної сили в стержні з шарнірно закріпленими краями:

 

 

 

Fk =

p2 E J min

,

(10.1)

 

 

 

 

l 2

 

 

 

J min - мінімальний

 

 

 

l

 

де

 

момент інерції

поперечного перерізу

y (x)

стержня.

 

закріплення стержнякритична сила Fk

 

 

При

будь-якому способі

визначається із формули

x

p2 E J min

 

(10.2)

Fk =

 

,

(m l 2)

y

 

 

 

де m - коефіцієнт приведеної довжини, що залежить від способу

рис.10.2

закріплення стержня. На рис. 10.3 наведені значення коефіцієнтів m

 

для деяких способів закріплення стержнів.

l

l 2

l 2

 

m =1

m = 2

m = 0,7

m = 0,5

m =1, 26

m = 0, 44

 

 

 

рис.10.3

 

 

Якщо стиснутий стержень по-різному

закріплений в різних площинах(рис. 10.4),

коефіцієнти приведеної довжини m відносно осей

y і z

є різними.

 

В цьому випадку критичну силу Fk

визначають із формули:

 

- 82 -

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F =

p2

E A

,

 

 

 

 

 

(10.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

l2max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де: A - площа поперечного перерізу стержня;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l =

m l

 

 

 

- гнучкість стержня;

 

 

 

 

 

 

 

(10.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i =

J

 

 

 

- радіус інерції поперечного перерізу.

 

l

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Згин

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відбуватиметься

 

в

площині

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стержня

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

найбільшої гнучкості.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

é

 

 

 

 

mz l

 

 

 

 

 

 

my l

ù

iy

, iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lmax

= max ê lz =

 

 

 

 

 

,

l y =

 

 

 

 

ú ; де

-

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

iz

 

 

iy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

радіуси інерції перерізу відносно його головних

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

осей

 

 

y , z . В

таких

стержнях

 

актуальним

є

mz

=1

 

 

my

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

питання раціонального

розташування перерізу,

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

при

якому виконується

умова

lz - ly

®min .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Після

 

 

 

використання

виразу(10.4) ця

умова

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

набирає вигляду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис.10.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mz

»

m y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Критичне напруження в стиснутих гнучких стержнях визначається за формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

p2 E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sk =

 

k

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l2max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 10.1.

 

Для зображеного на

 

рис. 10.5

стиснутого

 

 

 

сталевого

 

стержня

визначити

критичну силу і критичне напруження. Модуль E = 2 ×104

 

 

кН

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

см2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fk -?

 

 

 

 

 

Критична сила

 

 

 

 

 

 

 

 

Fk

=

 

p2

E J min

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(m l

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

Jmin

= J z

=

b h3

=

20 ×123

 

= 2880см4 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l = 3 м

12см

 

 

 

m = 2, A

=12

 

× 20 = 240см

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.142 ×2 ×104

 

 

кН

×2880 см4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

см2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20 см

 

 

Тоді

 

Fk =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1577 кН .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 ×300 )2

 

см2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Критичне напруження

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sk =

Fk

=

1577 кН

=6.57

 

 

кН

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис.10.5

 

 

 

240 см2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

см2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 10.2. Для зображеного на рис. 10.6 а стиснутого сталевого стержня двотаврового поперечного перерізу № 20, який неоднаково закріплений у площинах xO z і xO y , визначити

критичну силу, раціонально розташувавши переріз. Умова раціонального розташування (10.5) дає

- 83 -

x

x

F

F

l = 4 м

 

 

l

 

a)

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

my

=1

 

= 0,5

(yT )

mz

 

 

 

z

 

 

y

б)

(xT )

рис.10.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

z

 

»

my

 

Þ

0.5

 

»

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iz

iy

 

iz

iy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оскільки 1 > 0.5 ,

то осі y , z

слід

розташувати

так, щоб iy

 

> iz

(а). Для двотавра № 20 із таблиць

сортаменту знаходимо (рис. 10.6 б)

 

 

 

 

A = 26.4 см2

, ix

=8.27 см ,

iy

= 2.06 см .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

Для того, щоб виконувалась умова(а), потрібно

осі

 

xT

присвоїти

 

індекс y , а

осі yT -

індекс

z .

Тоді iy =8.27 > iz = 2.06 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

 

 

 

 

визначення

критичної

 

силиF

слід

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

використати

 

 

 

 

 

формулу (10.3),

визначивши

гнучкості lz , l y

відносно обидвох осей:

 

lz

=

mz l

=

0,5 × 400см

= 97,1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iz

 

 

 

 

 

2,06 см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ly

=

my l

 

=

1× 400 см

= 48, 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iy

 

 

8,27 см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lmax = lz

= 97,1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площина

 

найбільшої

гнучкості–

це

площина

x O y

і

 

викривлення

стержня

відбуватиметься у

цій площині. Критична сила

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F =

p2

E A

=

3.142

×2 ×10 ×26.4

=552 кН .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(97.1 )2

 

 

 

k

 

 

l2max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.3 Діаграма критичних напружень.

З формули для напружень (10.6) видно, що в залежності від гнучкості lmax , критичне напруження sk може бути різним. Якщо гнучкість lmax порівняно невелика, то sk може набувати значень, що перевищують границю пропорційності матеріалу стержняsпц . Оскільки формула Ейлера і формула для визначенняsk одержані при допущенні, що стержень при втраті стійкості деформується пружно і матеріал знаходиться в межах закону Гука (тобто

s £ sпц ), то величина критичних напружень повинна бути обмежена

 

s

k

=

p 2 E

£ s

пц

.

(10.7)

 

l2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

Звідки

l ³

p 2 E

.

(10.8)

 

 

max

sпц

 

 

 

 

 

 

Тобто, нижня границя гнучкості стержня, при якій можна користуватися формулою Ейлера,

становить

l

= p

E

. Так,

для сталі Ст.

3

з пружними характеристиками

s

 

» 20

кН

,

 

 

 

 

пц

 

sпц

 

 

 

 

 

 

пц

 

 

см2

E = 2 ×104

кН

дістаємо l

»100 . Отже,

формулою

Ейлера

для таких

сталей

можна

 

 

 

см2

 

 

пц

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гнучкостях l ³ 100 . Це –

область

стержнів

великої гнучкост.і Область

користуватися

при

- 84 -

гнучкостей l < lпц можна розділити на:

 

 

 

 

 

а) область малих гнучкостей (для сталі Ст. 3 l £

61.4 ), при яких немає небезпеки втрати

стійкості і стержні слід перевіряти тільки на міцність. При l £

61.4

напруження sk =sm , де

sm

- границя текучості матеріалу стержня;

 

 

 

 

 

б)

область

середніх гнучкостей(для сталі 61.4 < l < 100 ).

Визначення

критичних

напружень в цій області викликає певні трудн, ощіскільки

матеріал в

цьому випадку

перебуває в

пружнопластичному стані( sпц < sk < sm ). Формула

Ясинського

для

визначення

цих напружень, що одержана як результат обробки експериментальних даних, має вигляд

 

 

sk = a - b l

,

 

 

 

(10.9)

де коефіцієнти a , b , що отримані на основі експериментів, беруться з таблиць. Зокрема, для

сталі Ст. 3 a = 31.0

кН

, b = 0.114

кН

.

см2

 

 

 

см2

Для кожного матеріалу при різних значенняхl можна на основі наведених вище співвідношень побудувати графік залежності напруженняsk від гнучкості l . Цей графік

називається діаграмою критичних напружень. Для сталі Ст. 3 ця діаграма показана на рис. 10.7.

 

sk

=sm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sm

sк

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sк = a -blmax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sпц

 

 

 

 

 

 

 

p2 E

 

 

 

 

 

 

 

s

к

=

 

 

 

 

 

 

 

 

l2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

61.4

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис.10.7

 

 

 

 

 

 

 

10.4. Практичний розрахунок стержнів на стійкість.

 

Умова стійкості центрально стиснутого стержня має вигляд

 

 

 

 

 

 

F

£ [s ] ,

(10.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

ст

 

де [s ]ст - допустиме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

напруження

стійкост.і Це

напруження виражають через

допустиме

напруження на стиск [s ]:

[s ]ст = j [s ],

(10.11)

де j - коефіцієнт повздовжнього згину ( 0 £ j £ 1), що залежить від матеріалу та гнучкості l стержня. Ці коефіцієнти визначаються із таблиці, наведеної у додатках.

З врахуванням виразу (10.11) умова стійкості (10.10) набирає вигляду

- 85 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

£ [s ] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виходячи з умови стійкості, можна розв’язувати наступні типи задач:

 

 

 

 

 

 

 

а) перевіряти стійкість заданого стержня (формула (10.12));

 

 

 

 

 

 

 

б) підбирати величину допустимої стискуючої сили за формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fдоп = j× A×[s ]

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.13)

 

в) підбирати необхідні розміри поперечних перерізів стиснутих стержнів за формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A ³

 

 

 

F

 

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При розв’язуванні задач останнього типу використовуюметодть

послідовних наближен,ь

 

оскільки

у формулі(10.14)

є дві невідомі– шукана

площа поперечного перерізуA , та

 

коефіцієнт

j . (Коефіцієнт j

знаходиться із

таблиць

в

 

залежності відl =

m l

. Якщо

розміри

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

поперечного перерізу невідомі, то невідомі і радіуси

інерції перерізу“ i “, а отже відповідно і

 

гнучкість l та коефіцієнт j ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З питанням підбору розмірів поперечного перерізу центрально стиснутого стержня тісно

 

пов’язане питання раціональної форми поперечних перерізів. Небезпека втрати стійкості в

 

стиснутих стержнях тим менша, чим менші їх найбільші гнучкості lmax , тобто чим більші при

 

фіксованій величині площі поперечних перерізів A радіуси інерції “ i “ поперечного перерізу.

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

Матеріал

в

таких

 

 

перерізах

повинен

бути

розміщений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

якомога далі від центра перерізу. Цим вимогам найкраще

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

відповідають

порожнисті всередині перерізи

з можливо

 

 

 

 

 

 

 

 

тонкою стінкою.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад

10.3.

 

 

 

 

Підібрати

 

допустиме

 

стискуюч

l = 5 м

 

 

 

 

 

z

 

навантаження Fдоп

для стержня (рис. 10.8), матеріал якого

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сталь

 

 

з

допустимим

напруженням

на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[s ]=16 кН см2 . Переріз стержня – швелер “ № 18.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

 

 

 

 

 

 

заданого

 

 

 

швелера

із

таблиць

:

знах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = 20.5 см2 ;

iy =imin = 2.04 см .

 

 

 

 

 

 

 

 

m = 0,7 рис.10.8

 

 

Величина Fдоп

визначається із формули (10.13). Для цього

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

знаходимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lmax

=

m l

 

=

0.7

×500 см

=172 . Із таблиць коефіцієнтів

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

imin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

2.04 см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для сталі при l =172 отримуємо j= 0.25 . Тоді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

= 0.25×20.5

см2 ×16

кН

=82 кН .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

доп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

см2

 

 

 

 

 

 

 

l =1м

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 10.4. Підібрати із умови стійкості стержня, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зображений

 

на

 

 

. рис10.9,

розміри

прямокутного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поперечного перерізу (з відношенням

сторінh b = 2 ).

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

Матеріал – дерево: [s

]= 3 кН см2 .

 

 

 

 

m = 2

 

 

Розміри поперечного перерізу підбираються з умови (10.14)

 

рис.10.9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 86 -

методом послідовних наближень:

0 +1

 

I наближення: задаємо початкове значенняjп =

= 0.5 . З умови (10.14) визначаємо

 

1

2

 

величину площі в першому наближенні

 

 

 

 

A ³

 

F

 

 

 

=

 

 

 

20 кН

 

 

=13.3

см2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

jn ×[s ] 0.5×3 кН см2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначаємо розміри перерізу b

, h

в першому наближенні:

A =b ×h ³ 13.3 см2

, де h b = 2 ,

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

або h = 2 b . Тобто 2 b2

³ 13.3 см2

. Звідси b ³ 2.6 см , h = 2 b ³ 5.2 см2 .

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

Визначаємо мінімальний радіус інерції перерізу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.62

 

 

 

 

 

 

 

imin =iy =

=

 

 

 

h b

=

 

=0.75 см .

 

 

 

 

A

 

12 b h

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знаходимо максимальну гнучкість

 

 

m l

 

 

2 ×100 см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lmax

=

=

= 267 .

 

 

 

 

 

 

imin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.75 см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Із таблиць коефіцієнтів j для цієї гнучкості (якщо матеріал – дерево) знаходимо кінцеве значення j в першому наближенніj1к »0 . Визначаємо різницю j1к -j1п = 0 - 0.5 = 0.5 .

Оскільки різниця велика (більше 0.1), то без перевірки умови стійкості (10.12) переходимо до II наближення.

 

 

 

 

 

 

 

 

наближенняj2п =

jп

+ jк

 

 

0.5 + 0

 

 

II

наближення:

задаємо

початкове

 

1

1

 

=

 

 

 

 

=0.25

(подальша

 

 

2

 

 

 

 

2

процедура повторює процедуру I наближення).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знаходимо A

³

 

F

=

 

20 кН

= 26.7 см2 . 2 b2

³ 26.7 см2

. Тоді

 

 

 

 

 

 

 

2

 

j2n ×[s

] 0.25×3 кН см2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

³ 3.65 см ,

h

= 2 b

³ 7.30 см2 . Радіус

інерції i

min

=

 

3.652

 

 

=1.11 см .

Гнучкість

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lmax = 2 ×100 см =180 . Із таблиці визначаємо jк2 = 0.10 . Різниця

1.11см

j2п - j2к = 0.25 - 0.1 = 0.15 > 0.1 . Виконуємо наступне наближення.

III наближення: j3п =

j2п + j2к

=

 

0.25 + 0.1

=0.175 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20 кН

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

A ³

 

 

 

 

 

 

= 38.0 см2 .

b ³ 4.36 см ,

h

=8.72 см2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0.175×3 кН см2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

imin =

 

 

4.362

 

=1.584 см . lmax

=

2 ×100 см

=126 . j3к = 0.20 .

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.584 см

 

 

 

 

Різниця

 

j3п - j3к

 

=

 

0.175 - 0.20

 

= 0.025 < 0.1.

 

Обчислення

припиняємо. Перевіряємо

 

 

 

 

 

виконання умови стійкості (10.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

£ [s ]

Þ

 

20

£ 3

;

2.61 кН см2

< 3 кН см2 .

 

 

 

 

 

 

 

jк ×

A

 

 

 

0.20 ×38.0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умова стійкості виконується.

Отже, необхідні мінімальні розміри поперечного перерізу стержня: h =8.72 см , b = 4.36 см .

- 87 -

XI. Динамічні задачі.

11.1 Типи динамічних задач. Задачі при постійних прискореннях.

Коли при навантаженні тіл в нихвиникають прискорення і пов’язані з нимисили інерції, то таке навантаження називаютдинамічнимь , а задачі – динамічними задачами. Якщо прискорення будь-якої точки тіла (а отже і сили інерції) відомі, то розв’язування динамічних задач зводиться до розв’язування відповідних статичних задач, коли до заданого зовнішнього навантаження, що діє на тіло, добавити знайдені сили інерції. Якщо навантаження до тіла

прикладається раптово, при якому за короткий проміжок часу виникають дуже великі прискорення, то такі динамічні задачі називаютьзадачами на удар. Якщо прискорення в тілі

періодично змінюються в часі, то задачі, що виникають при цьому – це задачі на коливання.

Найпростіша динамічна задача– це задача про визначення напружень і переміщень в елементах конструкцій, що рухаються з відомим сталим прискоренням.

x

Nд

 

Q

Q

 

 

Fін

 

 

a)

б)

 

 

рис.11.1

Приклад 11.1 Визначити напруження в канаті підйомного механізму (рис. 11.1 а), що підіймає вантаж Q з прискоренням

a .

Площа поперечного

перерізу

канатаA . Вагою каната

 

знехтувати.

 

 

 

 

 

 

При

прискореному

підніманні

вантажу

вверх

виник

направлена вниз сила інерції

 

 

 

 

F

= m a =

Q

×a ,

 

 

 

 

 

 

 

ін

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де g - прискорення сили земного тяжіння.

Рівняння статики (рис. 11.1б) при врахуванні сили інерції Fін , має вигляд:

å X =0 Þ N д -Q - Fін = 0 .

 

 

Q

æ

 

a ö

Звідси N д = Q + Fін

= Q +

 

a = Q ç1

+

 

÷ .

g

 

 

 

è

 

g ø

Динамічне напруження в канаті

 

 

 

 

 

 

 

N

д

 

Q æ

 

a ö

, або

sд = sс ×kд .

(11.1)

 

 

 

 

 

 

s д =

 

=

 

ç1

+

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

A

A è

 

g ø

 

 

 

де

sс

=

 

- статичне напруження в канаті;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kд

=1+

a

- динамічний коефіцієнт.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.2. Динамічні задачі на удар.

Задачі на удар, згідно з технічною теорією удару, розв’язуються при наступних допущеннях:

1)удар вважається непружним;

2)деформації і напруження при ударі зв’язані між собою законом Гука;

3) при ударі немає втрат енергії, тобто сума кінетичної і потенціальної енергії залишається сталою.

- 88 -

Залежно від напрямку прикладання ударного навантаження до стержня розрізняють(рис. 11.2

а, б, в) повздовжній, поперечний і крутильний удар.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

Повздовжній

удар

може

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бути

 

 

розтягуючим

 

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

стискуючим. При повздовжньому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

ударі (рис. 11.2 а) динамічне

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

напруження

 

 

 

 

і

 

видовження

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P =m g

 

 

 

 

 

Dд

 

 

 

(вкорочення) стержня рівні

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sд = sс × kд , Dlд

= Dlс × kд ,

(11.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

де

sc

=

 

P

 

-

статичне

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

напруження

 

 

в

стержні

від

 

сили

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

jд

P ;

 

 

P

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dlд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D lc

=

 

-

статичне

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dд

 

 

 

 

 

 

 

a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

A

 

 

 

 

 

 

 

 

рис.11.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

видовження

 

 

 

 

(вкорочення)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стержня від сили P ;

 

 

 

 

kд =1 + 1 +

2 h

 

 

 

(11.3)

- динамічний коефіцієнт при поздовжньому

ударі;

h

-

D lc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

висота падіння вантажу F .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При поперечному ударі (рис. 11.2 б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M max

 

 

 

max sд = max sс ×kд ,

Dд = Dс ×kд

,

 

 

 

 

 

 

(11.4)

де maxs

c

=

-

найбільше

статичне напруження

від

заданого

навантаження; D

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

динамічний, Dс - статичний прогини балки в місці удару.

Динамічний коефіцієнт

 

kд =1+

1+

2 h

.

 

 

(11.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dc

 

 

 

При крутильному ударі (рис. 11.2 в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M k

 

 

 

max tд = max tс ×kд

,

Dд = Dс ×kд

, jд =jс ×kд ,

(11.6)

де max tc

=

- статичне напруження при крученні;

 

 

 

 

 

 

 

 

Wr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F =1kH

 

 

Dд , jд

- динамічне лінійне і кутове переміщення;

 

 

 

 

 

 

 

 

Dс , jс

- статичне лінійне і кутове переміщення

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h = 5см

 

a)

при крученні.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Динамічний коефіцієнт kд знаходимо за формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1м

 

 

(11.5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 м

 

 

Приклад 11.2. На середину двотаврової балки (рис.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.3

а)

довжиною

l = 2 м з висоти h =5 см падає

 

 

 

 

 

 

 

 

M(x) б)

вантаж

F =1 кН . Визначити найбільше

нормальне

 

 

 

 

 

 

 

 

 

напруження в балці і прогин посередині довжини.

 

 

 

Mmax =0,5kH × м

 

 

Переріз

балки – двотавр № 18, модуль

пружності

 

 

 

 

 

E = 2 ×104 кН см2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Епюра згинального моменту M ( x ) від статичного

рис.11.3

- 89 -

навантаження

 

F =1 кН

 

 

показана

на

рис.

11.3б.

 

Для

двотавра

18

 

Wz =148 см3

,

 

J z =1330 см4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Максимальне статичне напруження

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max sд

=

M max

=

0.5×100 кН ×см

= 0.338 кН см2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

148 см3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Статичний прогин для заданої балки, що визначається за формулою (формулу можна отримати

 

способом Верещагіна):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dс =

 

F l 3

 

,

дорівнює

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48 E J z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dc =

 

1×2003 кН ×см3

 

 

= 0.00626 см .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48×2 ×104

 

кН

×1330 см4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

см2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Динамічний коефіцієнт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kд =1+ 1+

 

2 h

 

1+

2 ×5

 

=1+ 40 = 41 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dc

 

 

 

 

0.00626

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже max sд = max sс ×kд = 0.338

кН

 

×41 =13.86

 

кН

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

см2

 

см2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dд = Dс ×kд = 0.00626 см ×41= 0.26 см .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.3. Поведінка матеріалів при ударі. Ударна в’язкість.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вплив ударних навантажень на міцність елементів

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

конструкцій

позначається

не

лише

на

збільшенн

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

напружень

 

і деформацій, але й у тому, що матеріал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

елементу

 

конструкції

інакше

 

реагує

на

уд

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

навантаження,

ніж

 

 

на

 

статичні. Відбувається

значне

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зменшення

 

пластичності матеріалу

з

одночасним

 

 

 

 

 

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

збільшенням

 

значень

 

механічних

 

характерист

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

міцності. Зменшення пластичності призволить до того,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

що

матеріал,

який

при

статичних

 

випробуваннях

 

 

 

 

 

 

 

рис. 11.4

 

 

 

 

 

 

 

 

руйнується із значними пластичними деформаціями, при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ударі руйнується, як крихкий. Для виявлення схильності

 

матеріалу до крихкого руйнування при ударі, проводять випробування на удар на стандартних

 

зразках (рис. 11.4), визначаючи ударну в’язкість матеріалу aн , що характеризує пластичність

 

матеріалу при ударних випробуваннях

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aн =

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де: W - робота, затрачена на руйнування зразка, при ударному згині;

 

 

 

 

 

 

A - площа поперечного перерізу зразка в ослабленому місці (в місці надрізу).

 

 

 

 

На величину ударної в’язкості впливають різні фактори. Серед них, в першу чергу, слід

 

відзначити

вплив температури

 

 

 

зразка. При

 

пониженні

 

температури

ударна

в’язкість

зменшується. Значення температури, при якій відбувається різке зменшення ударної в’язкості, називається критичною температурою крихкост.і Елементи конструкцій, що працюють при ударі, доцільно експлуатувати при температурах, що перевищують критичну температуру крихкості.

- 90 -

11.4. Динамічні задачі на коливання.

В опорі матеріалів розглядаються тільки ті питання теорії механічних коливань, які пов’язані із розрахунком на міцність і жорсткість елементів пружних систем, що коливаються.

Пружні системи, що коливаються, поділяються за числом ступенів вільності. Число

ступенів

вільності – це кількість незалежних координат, які визначають положення

мас

системи

в будь-який момент часу. Якщо у вибраній для досліджень розрахунковій

схемі

системи цікавляться лише положенням зосереджених мас, прикладених до системи, то число ступенів вільності системи визначається кількістю координат центрів мас системи. Наприклад,

система “пружина – вантаж” (рис.

11.5) може розглядатися як система з одним ступенем

вільності, коли знехтувати масою пружини в порівнянні з масою вантажуm і цікавитись

тільки положенням

вантажу

в

будь-який

момент, щочасу визначатиметься

однією

координатою x . Нижче розглядатимуться тільки системи з одним ступенем вільності.

 

 

 

 

 

 

 

Залежно від характеру сил, що підтримують коливання, вони

 

 

 

поділяються на власні і вимушені коливання. Власні – це коливання

 

 

 

під дією внутрішніх сил пружності. Вони є затухаючими. Вимушені

 

 

 

коливання

це

коливання

під дією

зовнішніх

періодичних

 

 

 

збурюючих сил.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Залежно від напрямку коливань розрізняютьпоздовжні,

 

 

 

поперечні і крутильні коливання. Найпростіший вид коливань – це

 

 

 

гармонічні коливання.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кількість власних коливань системи за 2часp секунд

 

 

 

називається круговою частотою власних коливаньw0 . У випадку

 

 

 

повздовжніх або поперечних коливань кругова частота власних

 

 

 

коливань

системи

з

одним

ступенем вільності визначається за

 

 

x

формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w0 =

c

=

 

g

 

,

 

 

 

(11.8)

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де c =

-

жорсткість системи,

що коливається;

Q - навантаження;

 

 

 

 

 

рис. 11.5

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

D - статична деформація;

g - прискорення сили тяжіння; m =

-

 

 

 

 

 

 

 

g

маса вантажу.

При дії на систему збурюючої періодичної силиS (t )= H sin wt , де H - найбільше значення збурюючої сили, w - кругова частота вимушених коливань, найбільше відхилення системи від положення рівноваги(амплітуда вимушених коливаньA ) визначається за формулою

 

 

 

A =

Q

1

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

×

 

 

 

 

=

 

×b ,

 

(11.9)

 

 

 

c

1- (w w

0

)2

c

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де

- статична деформація від сили H . Коефіцієнт b , що визначається за формулою

 

 

c

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.10)

 

 

 

1- (w w )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

називають коефіцієнтом зростання коливань.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У випадку, коли

частота власних коливаньw0 збігається

з

частотою збурюючої сили

w ( w w0 =1 ), наступає

резонанс, при

 

якому

 

коефіцієнтb

і

амплітудаA необмежено

- 91 -

зростають (b ® ¥ , A ® ¥ ).

 

В реальних конструкціях, де мають місце сили

опору

коливанням, коефіцієнт зростання коливань визначається за формулою

 

b =

 

1

 

,

(11.11)

 

 

 

 

 

[1- ( w w0 )2 ]2 + g2 ( w w0 )2

де g - питомий коефіцієнт

сил опору. В таких конструкціях при резонансі(коли

w= w0 )

коефіцієнт b і амплітуда коливань A досягають великих значень, проте вони не дорівнюють безмежності.

Коли до пружної системи, що коливається, одночасно прикладена постійна силаQ і збурююча сила з найбільшим значеннямH , то найбільше динамічне переміщенняDд визначається за формулою

 

 

 

 

 

 

 

Q æ

 

 

H

 

ö

 

×kд ,

(11.12)

 

 

 

 

 

Dд =

 

ç1+

 

 

b ÷

= Dc

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

Q

 

 

 

 

c è

 

 

 

ø

 

 

 

де Dc

=

- статичне переміщення від сили Q ;

 

kд

 

- динамічний коефіцієнт при коливаннях,

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

який дорівнює

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kд =1+

×b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Максимальні динамічні напруження при коливаннях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max s

д

= max s

с

×k

д

ü

,

 

 

(11.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ý

 

 

 

 

 

max tд = max tс ×kд

þ

 

 

 

 

де maxsс , maxtс - максимальні статичні напруження в системі від заданого навантаження Q .

3

1

Тоді

Q = 3kH

Приклад 11.3. На вільному кінці консолі довжиною

a)

l =1 м (рис.

11.6

а) встановлений

двигун

вагою

Q = 3 кН , який

робить n =1000 об хв .

Внаслідок

l =1м

невідцентрованого ротора двигуна виникає збурююча

 

сила, найбільше значення

якої H =1 кН . Визначити

M(x) б)

найбільше

нормальне

напруження

в

консолі

 

найбільший

прогин, якщо

матеріал

балки–

сталь

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

[E = 2 ×104

 

кН см2 ].

Поперечний переріз

балки–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямокутник зі сторонами b =10 см ,

h =12 см .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частоту

власних

коливаньw0

консолі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

визначають за формулою (11.8). Статичний прогин в

 

 

 

 

 

M1

в)

 

 

 

місці

прикладання

 

силиQ ,

що

визначається

 

 

 

 

 

 

 

 

способом

 

Верещагіна (див.

п.

9.1)

шляхом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис.11.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перемноження епюр M ( x ) (рис. 11.6 б) і M1 (рис.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.6 в), дорівнює

 

 

 

 

 

 

 

D =

1

æ 1

×3×1×

2

×1

ö

=

 

 

 

1×106 кН ×см3 ×12

 

= 0.0347

см .

 

 

ç

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

2 ×107 кН см2 ×10 ×123 см4

 

 

E J z è

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w0

=

 

 

g

=

 

 

980

=168

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.0347

 

 

сек

 

 

 

 

 

- 92 -

Частота збурюючої сили w=

p n

=

3.14 ×1000

=104.7

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

сек

 

Коефіцієнт зростання коливань (формула (11.10)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

b =

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

=

 

=1.63 .

1- (w w0 )2

 

1- (104.7 168 )2

0.612

Динамічний коефіцієнт (формула (11.13))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kд =1+

H

×b =1 +

1

×1.63 =1.54 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

3

 

 

 

 

 

 

 

Максимальне статичне напруження в балці від сили Q

 

max sс =

M max

=

3×102 кН ×см ×6

=1.25 кН см2 .

 

 

 

 

 

 

Wz

 

 

 

 

 

 

10×122 см3

 

 

 

 

 

 

Найбільше динамічне напруження при коливаннях

 

 

 

 

 

 

max sд = max sс ×kд =1.25 кН см2

×1.54 =1.93 кН см2 .

Найбільший динамічний прогин (в точці A консолі)

 

 

 

 

 

 

max Dд = max kд = 0.0347 ×1.54 =0.053 см .

XII. Розрахунок на міцність при повторно-змінних напруженнях.

12.1. Руйнування матеріалів при повторно-змінних напруженнях.

s

T

рис.12.1

Б

A

рис.12.2

 

В деяких машинах чи спорудах під дією

 

прикладених змінних сил напруження не є

 

постійними,

а періодично

змінюються

в часі

 

(напруження в поперечних перерізах вагонних

 

осей, напруження в кривошипах, шатунах, валах

 

двигунів і т. д.). Змінність напруження в часі

t

задається кривою в координатах“напруження –

час” (рис. 12.1).

 

 

 

 

 

Час T ,

 

протягом

якого

напруження

 

повторює

своє

найбільше

або

найменше

 

значення, називають періодом. Послідовність

 

значень напружень протягом одного періоду

 

називають

 

циклом

 

напружень.

При

 

 

 

 

 

 

 

 

напруженнях, що циклічно змінюються в часі, виникає процес руйнування, який називається

втомним руйнуванням. Процес (хід) втомного руйнування:

спочатку утворюються мікротріщини, які за певних умов, з часом, перетворюються в макротріщину. Остання поступово збільшується і після того, як вона досягає певної значної величини, відбувається раптове крихке руйнування. Поверхня зруйнованої деталі (рис. 12.2) має дві зони: зону А утворення і

розвитку

тріщини (вона

має

вигляд

уступів

з

гладкими

поверхнями) і

зону , Бпо

якій

проходить раптове

крихке

руйнування (вона має шороховатий, кристалічний вигляд).

 

Швидкість процесу втомного руйнування залежить відтипу

циклів

напружен,ь при якому

працює

деталь

і механічних

властивостей

матеріалу

деталі. Будь-який

цикл

напружень

- 93 -

повністю задається, якщо відомі характеристики циклу. Такими характеристиками є (рис. 12.3 в):

а) напруження smax і smin (або sср і sа ), що зв’язані між собою відношеннями

smax = sср + sа ü smin = sср - sа ýþ

б) коефіцієнт асиметрії циклу r

r = smin smax

s

 

 

sa

 

smax

smin

s

ср

 

 

 

 

t

 

 

 

s

smax

t

(r = -1)

smin = -smax

s

smax

t (r = 0)

 

smin = 0

(12.1)

(12.2)

рис.12.3

Цикл називається симетричним, якщо (рис. 12.3 а) smin = - smax ( r = -1 ).

Для пульсаційного циклу (рис. 12.3 б) smin =0 , ( r = 0 ).

12.2. Границя витривалості і вплив на неї різних факторів.

Границя витривалості sr - найбільша величина змінного напруження, що не призводить до втомного руйнування тіла при як завгодно великій кількості циклів. Визначають границю витривалості експериментальним шляхом на спеціальних машинах, що створюють в зразках

змінні напруження певного циклу. Найбільш поширеним є випробування на згин при симетричному циклі напружень (при r = -1). Тоді границя витривалості позначається s-1 . Для

визначення цієї величини для заданого матеріалу з нього виготовляють партію8 – у10 однакових зразків з полірованою поверхнею і будують, при їх послідовному випробуванні на

- 94 -

циклічний згин, криву витривалості. Перший зразок піддають дії великого навантаження (при якому в перерізі виникає велике максимальне напруженняs1 ). Цей зразок зруйнується при невеликій кількості циклів N1 (рис. 12.4). На перетині значень s1 і N1 дістають точку“1” кривої. Для наступних зразків навантаження, а отже і напруження, поступово зменшують і при цьому зростатиме кількість циклів N2 , N3 , ... , при якій проходитиме руйнування. Дістають

точки 2, 3, 4,... кривої витривалості. З’єднуючи отримані експериментально точки1, 2, 3, 4,...

лінією, отримують криву витривалості. Для сталей і чавунів (рис. 12.4) ця крива асимптотично наближається до горизонтальної прямої smax = s-1 .

smax

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

 

чорних

 

і

кольорових

 

 

 

 

 

 

металів

крива

 

витривалості

із

s1

1

 

 

 

 

збільшенням

 

N ,

 

 

поступово

 

 

 

 

 

наближається до осі N . Для таких

 

 

2

 

 

 

 

металів

 

 

визначають умовну

 

s2

 

 

 

 

границю

витривалост,і

під

якою

 

 

3

 

 

 

 

розуміють

найбільше

напруження,

без

 

 

 

4

крива витривалості

 

що

їх

витримують

зразки

 

 

 

 

руйнування при заданому базовому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

числі

 

циклів N .

 

Границі

 

 

 

 

 

 

 

 

витривалості

 

 

матеріалів sr

 

sr =s-1

 

 

 

 

N

 

залежать

 

в

значній

мірі

від

 

 

 

 

 

коефіцієнта

асиметрії

циклівr .

 

 

 

N1 N2

 

 

 

 

 

 

 

N ® ¥

 

Найнижчі

 

границі

 

 

витривалості

 

 

 

рис.12.4

 

 

 

при симетричних циклах. Границя

 

 

 

 

 

 

 

витривалості

при

згині s-зг1

вища

 

 

 

 

 

 

 

 

 

від границі витривалості при розтягу s-р1 і від границі витривалості при крученні t-к

1 .

 

 

 

На величину границі витривалості впливнизкаає

факторів. Основними з них : є

 

наявність у деталі концентратора напружень(різких змін розмірів і форми, наявність отворів,

 

виточок і т.д.), стан обробки поверхні деталі, розміри поперечного перерізу. Всі вищеназвані

 

фактори понижують

границю

витривалості в

порівнянні

з

 

границею

витривалості

 

 

 

 

стандартного зразка, яким є зразок з полірованою поверхнею і постійним діаметромd =10 мм

 

без

концентраторів

напружень. Вплив перерахованих

 

факторів

 

на

 

величину границі

витривалості враховується за допомогою коефіцієнтів, які для різних матеріалів і типів деформацій беруться з експериментально отриманих графіків. Такими коефіцієнтами є:

а) ефективний коефіцієнт концентрації напружень ks ( kt )

ks

=

s-1

, kt

=

t-1

, ( ks , kt > 1 ) ,

s-1к

 

 

 

 

 

t-1к

де: s-1 , (t-1 ) - границя витривалості зразка без концентратора, s-1к , (t-1к ) - границя витривалості зразка з концентратором;

б) коефіцієнт bn , що враховує стан обробки поверхні зразка

 

 

 

s

-1n

æ

 

 

t

-1n

ö

 

(b

 

< 1 ) ,

b

n

=

 

ç b

n

=

 

÷

,

n

 

 

 

 

 

 

s-1

ç

 

t-1

÷

 

 

 

 

 

 

è

 

 

ø

 

 

 

 

де: s-1n , (t-1n ) - границя витривалості зразка з певною обробкою поверхні, s-1 , (t-1 ) - границя витривалості стандартного (полірованого) зразка;

в) масштабний коефіцієнт eм , що враховує вплив на границю

(12.3)

(12.4)

витривалості розмірів

- 95 -

(діаметру) зразка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

-1d

æ

 

 

 

t

-1d

ö

, (e

 

< 1 ) ,

 

e

м

=

 

ç

e

м

=

 

÷

м

(12.5)

 

 

 

 

 

 

s-1

ç

 

 

t-1

÷

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

ø

 

 

 

 

де: s-1d - границя витривалості деталі з довільним діаметром d ,

s-1 - границя витривалості стандартного (діаметром d =10 мм ) зразка.

12.3. Розрахунки на міцність.

Найбільш поширеним розрахунком є перевірочний розрахунок на втомну міцність наявної деталі (зразка), коли визначається коефіцієнт запасу втомної міцності nв .

Цей коефіцієнт знаходиться з виразів:

а) для стандартного зразка, який працює при осесиметричному циклі

 

 

nвs =

s-1

 

, nвt

=

t-1

,

 

(12.6)

 

 

 

 

 

sа

 

 

tа

 

де sa ( ta ) - амплітудне (найбільше) значення напруження;

 

б) для деталі, що працює при симетричному циклі

 

 

 

 

 

 

nвs =

s-1 ×bn ×eм

, nвt

=

t-1 ×bn ×eм

,

(12.7)

 

 

 

sа ×ks

 

 

tа ×kt

 

де bn , eм , ks - коефіцієнти, що враховують вплив вищеназваних факторів на величину

границі витривалості;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) для деталі, що працює при довільному асиметричному циклі

 

 

 

 

 

 

 

nвs =

 

 

 

 

s

- 1

 

 

 

 

 

 

, nвt =

 

 

 

 

t

- 1

 

 

 

 

 

,

(12.8)

 

 

×

s

- 1

 

+

s

 

×k

 

 

 

 

×

t

- 1

+

t

 

×k

 

s

ср

 

а

s

 

t

ср

а

t

 

 

 

s

 

 

 

b

 

×e

 

 

 

 

b

 

×e

 

 

 

 

 

 

 

т.о.

 

 

 

n

м

 

 

 

t

т.о.

 

n

м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де: sср (tср ) - середнє напруження заданого циклу;

s т.о. (t т.о. ) - границя тимчасового опору матеріалу деталі.

Якщо деталь працює при сумісному згині і крученні, то загальний коефіцієнт запасу по відношенню до втомного руйнування визначається за формулою

nвs =

 

nвs

×nвt

 

,

(12.9)

 

 

 

 

nв2s + nв2t

 

 

 

 

 

де коефіцієнти nвs , nвt визначаються в залежності від виду і умов роботи деталі, за однією з формул (12.6) – (12.8).

- 96 -

ДОДАТКИ

ДОДАТОК 1.

y

Сортамент прокатної сталі.

 

t

 

 

 

 

 

 

Балки двотаврові (ГОСТ 8239-72)

 

 

h

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розміри,

мм

 

Площа

Моменти

Моменти

Радіуси

Smax ,

Маса

Номер

 

 

п/п

інерції,

см4

опору,

см3

інерції,

см

1 м ,

профілю

 

 

 

 

 

 

A , см2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

см3

кг

h

b

 

 

d

t

Ix

 

I y

Wx

 

Wy

ix

 

iy

10

100

55

 

 

4,5

7,2

12,0

198

 

17,9

39,7

 

6,49

4,06

 

1,22

23,0

9,46

12

120

64

 

 

4,8

7,3

14,7

350

 

27,9

58,4

 

8,72

4,88

 

1,38

33,7

11,5

14

140

73

 

 

4,9

7,5

17,4

572

 

41,9

81,7

 

11,5

5,73

 

1,55

46,8

13,7

16

160

81

 

 

5,0

7,8

20,2

873

 

58,6

109

 

14,5

6,57

 

1,70

62,3

15,9

18

180

90

 

 

5,1

8,1

23,4

1 290

 

82,6

143

 

18,4

7,42

 

1,88

81,4

18,4

18а

180

100

 

 

5,1

8,3

25,4

1 430

 

114

159

 

22,8

7,51

 

2,12

89,8

19,9

20

200

100

 

 

5,2

8,4

26,8

1 840

 

115

184

 

23,1

8,28

 

2,07

104

21,0

20а

200

110

 

 

5,2

8,6

28,9

2 030

 

155

203

 

28,2

8,37

 

2,32

114

22,7

22

220

110

 

 

5,4

8,7

30,6

2 550

 

157

232

 

28,6

9,13

 

2,27

131

24,0

22а

220

120

 

 

5,4

8,9

32,8

2 790

 

206

254

 

34,3

9,22

 

2,50

143

25,8

24

240

115

 

 

5,6

9,5

34,8

3 460

 

198

289

 

34,5

9,97

 

2,37

163

27,3

24а

240

125

 

 

5,6

9,8

37,5

3 800

 

260

317

 

41,6

10,1

 

2,63

178

29,4

27

270

125

 

 

6,0

9,8

40,2

5 010

 

260

371

 

41,5

11,2

 

2,54

210

31,5

27а

270

135

 

 

6,0

10,2

43,2

5 500

 

337

407

 

50,0

11,3

 

2,80

229

33,9

30

300

135

 

 

6,5

10,2

46,5

7 080

 

337

472

 

49,9

12,3

 

2,69

268

36,5

30а

300

145

 

 

6,5

10,7

49,9

7 780

 

436

518

 

60,1

12,5

 

2,95

292

39,2

33

330

140

 

 

7,0

11,2

53,8

9 840

 

419

597

 

59,9

13,5

 

2,79

339

42,2

36

360

145

 

 

7,5

12,3

61,9

13 380

 

516

743

 

71,1

14,7

 

2,89

423

48,6

40

400

155

 

 

8,3

13,0

72,6

19 062

 

667

953

 

86,1

16,2

 

3,03

545

57,0

45

450

160

 

 

9

14,2

84,7

27 696

 

808

1 231

 

101

18,1

 

3,09

708

66,5

50

500

170

 

 

10

15,2

100

39 727

 

1 043

1 589

 

123

19,9

 

3,23

919

78,5

55

550

180

 

 

11

16,5

118

55 962

 

1 356

2 035

 

151

21,8

 

3,39

1 181

92,6

60

600

190

 

 

12

17,8

138

76 806

 

1 725

2 560

 

182

23,6

 

3,54

1 491

108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 97 -

 

 

 

y t

 

 

 

 

 

Сортамент прокатної сталі.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Швелери (ГОСТ 8240-72)

 

 

 

 

h

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розміри,

мм

 

Площа

Моменти

Моменти

Радіуси

Smax

z0

Маса

Номер

 

 

 

п/п

інерції,

см4

опору,

см3

інерції,

см

1 м ,

профілю

 

 

 

 

 

 

A , см2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

см3

см

кг

h

 

b

 

d

t

Ix

 

I y

Wx

 

Wy

ix

 

iy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

50

 

32

 

4,4

7,0

6,16

22,8

 

5,61

9,1

 

2,75

1,92

 

0,954

5,59

1,16

4,84

6,5

65

 

36

 

4,4

7,2

7,51

48,6

 

8,7

15,0

 

3,68

2,54

 

1,08

9,0

1,24

5,90

8

80

 

40

 

4,5

7,4

8,98

89,4

 

12,8

22,4

 

4,75

3,16

 

1,19

13,3

1,31

7,05

10

100

 

46

 

4,5

7,6

10,9

174

 

20,4

34,8

 

6,46

3,99

 

1,37

20,4

1,44

8,59

12

120

 

52

 

4,8

7,8

13,3

304

 

31,2

50,6

 

8,52

4,78

 

1,53

29,6

1,54

10,4

14

140

 

58

 

4,9

8,1

15,6

491

 

45,4

70,2

 

11,0

5,60

 

1,70

40,8

1,67

12,3

14a

140

 

62

 

4,9

8,7

17,0

545

 

57,5

77,8

 

13,3

5,66

 

1,84

45,1

1,87

13,3

16

160

 

64

 

5,0

8,4

18,1

747

 

63,6

93,4

 

13,8

6,42

 

1,87

54,1

1,80

14,2

16a

160

 

68

 

5,0

9,0

19,5

823

 

78,8

103

 

16,4

6,49

 

2,01

59,4

2,00

15,3

18

180

 

70

 

5,1

8,7

20,7

1 090

 

86

121

 

17,0

7,24

 

2,04

69,8

1,94

16,3

18a

180

 

74

 

5,1

9,3

22,2

1 190

 

105

132

 

20,0

7,32

 

2,18

76,1

2,13

17,4

20

200

 

76

 

5,2

9,0

23,4

1 520

 

113

152

 

20,5

8,07

 

2,20

87,8

2,07

18,4

20a

200

 

80

 

5,2

9,7

25,2

1 670

 

139

167

 

24,2

8,15

 

2,35

95,9

2,28

19,8

22

220

 

82

 

5,4

9,5

26,7

1 110

 

151

192

 

25,1

8,89

 

2,37

110

2,21

21,0

22a

220

 

87

 

5,4

10,2

28,8

2 330

 

187

212

 

30,0

8,99

 

2,55

121

2,46

22,6

24

240

 

90

 

5,6

10,0

30,6

2 900

 

208

242

 

31,6

9,73

 

2,60

139

2,42

24,0

24a

240

 

95

 

5,6

10,7

32,9

3 180

 

254

265

 

37,2

9,84

 

2,78

151

2,67

25,8

27

270

 

95

 

6,0

10,5

35,2

4 160

 

262

308

 

37,3

10,9

 

2,73

178

2,47

27,7

30

300

 

100

 

6,5

11,0

40,5

5 810

 

327

387

 

43,6

12,0

 

2,84

224

2,52

31,8

33

330

 

105

 

7,0

11,7

46,5

7 980

 

410

484

 

51,8

13,1

 

2,97

281

2,59

36,5

36

360

 

110

 

7,5

12,6

53,4

10 820

 

513

601

 

61,7

14,2

 

3,10

350

2,68

41,9

40

400

 

115

 

8,0

13,5

61,5

15 220

 

642

761

 

73,4

15,7

 

3,23

444

2,75

48,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 98 -

d

 

 

 

 

 

 

 

Сортамент прокатної сталі.

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

x

 

 

Кутники рівнобокі (ГОСТ 8509-72)

 

 

 

 

z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Номер

Розміри,

Площа

 

Моменти інерції, см4

 

Радіуси інерції,

z0 ,

Маса 1

профіл

 

мм

п/п

 

 

 

 

 

 

 

см

 

ю

b

 

d

A , см2

Ix

 

Ix0 (max)

I y0 (min)

 

Ix1

ix

ix0

iy0

см

м , кг

 

 

 

 

5

50

 

3

2,96

7,11

 

11,3

2,95

 

12,4

1,55

1,95

1,00

1,33

2,32

 

4

3,89

9,21

 

14,6

3,80

 

16,6

1,54

1,94

0,99

1,38

3,05

 

 

 

5

4,80

11,2

 

17,8

4,63

 

20,9

1,53

1,92

0,98

1,42

3,77

5,6

56

 

4

4,38

13,1

 

20,8

5,41

 

23,3

1,73

2,18

1,11

1,52

3,44

 

5

5,41

16,0

 

25,4

6,59

 

29,2

1,72

2,16

1,10

1,57

4,25

 

 

 

 

 

6,3

63

 

4

4,96

18,9

 

29,9

7,81

 

33,1

1,95

2,45

1,25

1,69

3,90

 

5

6,13

23,1

 

36,6

9,52

 

41,5

1,94

2,44

1,25

1,74

4,81

 

 

 

6

7,28

27,1

 

42,9

11,20

 

50

1,93

2,43

1,24

1,78

5,72

 

 

 

4,5

6,20

29,0

 

46,0

12,0

 

51

2,16

2,72

1,39

1,88

4,87

7

70

 

5

6,86

31,9

 

50,7

13,2

 

56,7

2,16

2,72

1,39

1,90

5,38

 

6

8,15

37,6

 

59,6

15,5

 

68,4

2,15

2,71

1,38

1,94

6,39

 

 

 

7

9,42

43,0

 

68,2

17,8

 

80,1

2,14

2,69

1,37

1,99

7,39

 

 

 

8

10,70

48,2

 

76,4

20,0

 

91,9

2,13

2,68

1,37

2,02

8,37

 

 

 

5

7,39

39,5

 

62,6

16,4

 

69,6

2,31

2,91

1,49

2,02

5,80

7,5

75

 

6

8,78

46,6

 

73,9

19,3

 

83,9

2,30

2,90

1,48

2,06

6,89

 

7

10,1

53,3

 

84,6

22,1

 

98,3

2,29

2,89

1,48

2,10

7,96

 

 

 

8

11,5

59,8

 

94,6

24,8

 

113

2,28

2,87

1,47

2,15

9,02

 

 

 

9

12,8

66,1

 

105

27,5

 

127

2,27

2,86

1,46

2,18

10,10

 

 

 

5,5

8,63

52,7

 

83,6

21,8

 

93,2

2,47

3,11

1,59

2,17

6,78

8

80

 

6

9,38

57,0

 

90,4

23,5

 

102

2,47

3,11

1,58

2,19

7,36

 

7

10,8

65,3

 

104

27,0

 

119

2,45

3,09

1,58

2,23

8,51

 

 

 

 

 

 

 

 

8

12,3

73,4

 

116

30,3

 

137

2,34

3,08

1,57

2,27

9,65

 

 

 

6

10,6

82,1

 

130

34,0

 

145

2,78

3,50

1,79

2,43

8,33

9

90

 

7

12,3

94,3

 

150

38,9

 

169

2,77

3,49

1,78

2,47

9,64

 

8

13,9

106

 

168

43,8

 

194

2,76

3,48

1,77

2,51

10,9

 

 

 

 

 

 

 

 

9

15,6

118

 

186

48,6

 

219

2,75

3,46

1,77

2,55

12,2

 

 

 

6,5

12,8

122

 

193

50,7

 

214

3,09

3,88

1,99

2,68

10,1

 

 

 

7

13,8

131

 

207

54,2

 

231

3,08

3,88

1,98

2,71

10,8

10

100

 

8

15,6

147

 

233

60,9

 

265

3,07

3,87

1,98

2,75

12,2

 

10

19,2

179

 

284

74,1

 

333

2,05

3,84

1,96

2,83

15,1

 

 

 

12

22,8

209

 

331

86,9

 

402

3,03

3,81

1,95

2,91

17,9

 

 

 

14

26,3

237

 

375

99,3

 

472

3,00

3,78

1,94

2,99

20,6

 

 

 

16

29,7

264

 

416

112

 

542

2,98

3,74

1,94

3,06

23,3

11

110

 

7

15,2

176

 

279

72,7

 

308

3,40

4,29

2,19

2,96

11,9

 

8

17,2

198

 

315

81,8

 

353

3,39

4,28

2,18

3,00

13,5

 

 

 

 

 

 

 

 

8

19,7

294

 

467

122

 

516

3,37

4,87

2,49

3,36

15,5

 

 

 

9

22,0

327

 

520

135

 

582

3,86

4,86

2,48

3,40

17,3

12,5

125

 

10

24,3

360

 

571

149

 

649

3,85

4,84

2,47

3,45

19,1

 

12

28,9

422

 

670

174

 

782

3,82

4,82

2,46

3,53

22,7

 

 

 

 

 

 

 

 

14

33,4

482

 

764

200

 

916

3,80

4,78

2,45

3,61

26,2

 

 

 

16

37,8

539

 

853

224

 

1 051

3,78

4,75

2,44

3,68

29,6

14

140

 

9

24,7

466

 

739

192

 

818

4,34

5,47

2,79

3,78

19,4

 

10

27,3

512

 

814

211

 

911

4,33

5,46

2,78

3,82

21,5

 

 

 

12

32,5

602

 

957

248

 

1 097

4,31

5,43

2,76

3,90

25,5

 

 

 

10

31,4

774

 

1 229

319

 

1 356

4,96

6,25

3,19

4,30

24,7

 

 

 

11

34,4

844

 

1 341

348

 

1 494

4,95

6,24

3,18

4,35

27,0

16

160

 

12

37,4

913

 

1 450

376

 

1 633

4,94

6,23

3,17

4,39

29,4

 

14

43,3

1 046

 

1 662

431

 

1 911

4,92

6,20

3,16

4,47

34,0

 

 

 

16

49,1

1 175

 

1 866

485

 

2 191

4,89

6,17

3,14

4,55

38,5

 

 

 

18

54,8

1 299

 

2 061

537

 

2 472

4,87

6,13

3,13

4,63

43,0

 

 

 

20

60,4

1 419

 

2 248

589

 

2 756

4,85

6,10

3,12

4,70

47,4

18

180

 

11

38,8

1 216

 

1 933

500

 

2 128

5,60

7,06

3,59

4,85

30,5

 

12

42,2

1 317

 

2 093

540

 

2 324

5,59

7,04

3,58

4,89

33,1

 

 

 

 

 

 

 

 

12

47,1

1 823

 

2 896

749

 

3 182

6,22

7,84

3,99

5,37

37,0

 

 

 

13

50,9

1 961

 

3 116

805

 

3 452

6,21

7,83

3,98

5,42

39,9

20

200

 

14

54,6

2 097

 

3 333

861

 

3 722

6,20

7,81

3,97

5,46

42,8

 

16

62,0

2 363

 

3 755

970

 

4 264

6,17

7,78

3,96

5,54

48,7

 

 

 

20

76,5

2 871

 

4 560

1182

 

5 355

6,12

7,72

3,93

5,70

60,1

 

 

 

25

94,3

3 466

 

5 494

1438

 

6 733

6,06

7,63

3,91

5,89

74,0

 

 

 

30

111,5

4 020

 

6 351

1688

 

8 130

6,00

7,55

3,89

6,07

87,6

22

220

 

14

60,4

2 814

 

4 470

1159

 

4 941

6,83

8,6

4,38

5,93

47,4

 

16

68,6

3 175

 

5 045

1306

 

5 661

6,81

8,58

4,36

6,02

53,8

 

 

 

 

 

 

 

 

16

78,4

4 717

 

7 492

1942

 

8 286

7,76

9,78

4,98

6,75

61,5

 

 

 

18

87,7

5 247

 

8 337

2158

 

9 342

7,73

9,75

4,96

6,3

68,9

25

250

 

20

97,0

5 765

 

9 160

2370

 

10 401

7,71

9,72

4,94

6,91

76,1

 

22

106,1

6 270

 

9 961

2579

 

11 401

7,69

9,69

4,93

7,00

83,3

 

 

 

25

119,7

7 006

 

11 125

2887

 

13 064

7,65

9,64

4,91

7,11

94,0

 

 

 

28

133,1

7 717

 

12 244

3190

 

14 674

7,61

9,59

4,89

7,23

104,5

 

 

 

30

142,0

8 177

 

12 965

3389

 

14 753

7,59

9,56

4,89

7,31

111,4

- 99 -

y1 x0

y

 

 

 

 

 

 

 

Сортамент прокатної сталі.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кутники нерівнобічні (ГОСТ 8510-72)

 

 

 

 

B

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розміри,

мм

 

 

 

Моменти інерції, см

4

Радіуси

x0 ,

 

 

Маса

Номер

 

Площа п/п

 

 

інерції,

см

 

y ,

профілю

 

 

 

 

A , см

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1 м ,

B

b

d

 

 

Ix

I y

I x1

I y1

 

Imin

ix

 

iy

imin

см

 

см

кг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,6/3,6

56

36

4

 

3,58

 

11,4

3,7

23,2

6,25

 

2,19

1,78

 

1,02

0,78

0,84

 

1,82

2,81

5

4,41

 

13,8

4,48

29,2

7,91

 

2,66

1,77

1,01

0,78

0,88

1,86

3,46

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4,04

 

16,3

5,16

33,0

8,51

 

3,07

2,01

1,13

0,87

0,91

2,03

3,17

6,3/4

63

40

5

4,98

 

19,9

6,26

41,4

10,8

 

3,72

2,00

1,12

0,86

0,95

2,08

3,91

6

5,90

 

23,3

7,28

49,9

13,1

 

4,36

1,99

1,11

0,86

0,99

2,12

4,63

 

 

 

 

 

 

 

 

8

7,68

 

29,6

9,15

66,9

17,9

 

5,58

1,96

1,09

0,85

1,07

2,20

6,03

7/4,5

70

45

5

5,59

 

27,8

9,05

56,7

15,2

5,34

2,23

1,27

0,98

1,05

2,28

4,39

7,5/5

75

50

5

6,11

 

34,8

12,5

69,7

20,8

7,24

2,39

1,43

1,09

1,17

2,39

479

6

7,25

 

40,9

14,6

83,9

25,2

 

8,48

2,38

1,42

1,08

1,21

2,44

5,69

 

 

 

8

9,47

 

52,4

18,5

112

34,2

 

10,9

2,35

1,40

1,07

1,29

2,52

7,43

8/5

80

50

5

6,36

 

41,6

12,7

84,6

20,8

 

7,58

2,56

1,41

1,09

1,13

2,60

4,99

6

7,55

 

49,0

14,8

102

25,2

8,88

2,55

1,40

1,08

1,17

2,65

5,92

 

 

 

 

9/5,6

90

56

5,5

7,86

 

65,3

19,7

132

32,2

11,8

2,88

1,58

1,22

1,26

2,92

6,17

6

8,54

 

70,6

21,2

145

35,2

12,7

2,88

1,58

1,22

1,28

2,95

6,70

 

 

 

8

11,18

 

90,9

27,1

194

47,8

16,3

2,85

1,56

1,21

1,36

3,04

8,77

 

 

 

6

9,59

 

98,3

30,6

198

49,9

18,2

3,2

1,79

1,38

1,42

3,23

7,53

10/6,3

100

63

7

11,1

 

113

35,0

232

58,7

 

20,8

3,19

1,78

1,37

1,46

3,28

8,70

8

12,6

 

127

39,2

266

67,6

 

23,4

3,18

1,77

1,36

1,50

3,32

9,87

 

 

 

 

 

 

 

 

10

15,5

 

154

47,1

333

85,8

 

28,3

3,15

1,75

1,35

1,58

3,40

12,10

11/7

110

70

6,5

11,4

 

142

45,6

286

74,3

26,9

3,53

2,00

1,53

1,58

3,55

8,98

8

13,9

 

172

54,6

353

92,3

 

32,3

3,51

1,98

1,52

1,64

3,61

10,90

 

 

 

 

 

 

 

 

7

14,1

 

227

73,7

452

119

 

43,4

4,01

2,29

1,76

1,80

4,01

11,0

12,5/8

125

80

8

16,0

 

256

83

518

137

 

48,8

4,00

2,28

1,75

1,84

4,05

12,5

10

19,7

 

312

100

649

173

 

59,3

3,98

2,26

1,74

1,92

4,14

15,5

 

 

 

 

 

 

 

 

12

23,4

 

365

117

781

210

 

69,5

3,95

2,24

1,72

2,00

4,22

18,3

14/9

140

90

8

18,0

 

364

120

727

104

 

70,3

4,49

2,58

1,98

2,03

4,49

14,1

10

22,2

 

444

146

911

245

 

85,5

4,47

2,56

1,96

2,12

4,58

17,5

 

 

 

 

 

 

 

 

9

22,9

 

606

186

1 221

300

 

110

5,15

2,85

2,20

2,23

5,19

18,0

16/10

160

100

10

25,3

 

667

204

1 359

335

 

121

5,13

2,84

2,19

2,28

5,23

19,8

12

30,0

 

784

239

1 634

405

 

142

5,11

2,82

2,18

2,36

5,32

23,6

 

 

 

 

 

 

 

 

14

34,7

 

897

272

1 910

477

 

162

5,08

2,80

2,16

2,43

5,40

27,3

18/11

180

 

10

28,3

 

952

276

1 933

444

 

165

5,80

3,12

2,42

2,44

5,88

22,2

 

12

33,7

 

1 123

324

2 324

537

 

194

5,77

3,10

2,40

2,52

5,97

26,4

 

 

 

 

 

 

 

 

11

34,9

 

1 449

446

2 920

718

 

264

6,45

3,58

2,75

2,79

6,50

27,4

20/12,5

200

125

12

37,9

 

1 568

482

3 189

786

 

285

6,43

3,57

2,74

2,83

6,54

29,7

14

43,9

 

1 801

551

3 726

922

 

327

6,41

3,54

2,73

2,91

6,62

34,4

 

 

 

 

 

 

 

 

16

49,8

 

2 026

617

4 264

1 061

 

367

6,38

3,52

2,72

2,99

6,71

39,1

 

 

 

12

48,3

 

3 147

1 032

6 212

1 634

 

604

8,07

4,62

3,54

3,53

7,97

37,9

25/16

250

160

16

63,6

 

4 091

1 333

8 308

2 200

 

781

8,02

4,58

3,5

3,69

8,14

49,9

18

71,1

 

4 545

1 475

9 358

2 487

 

896

7,99

4,56

3,49

3,77

8,23

55,8

 

 

 

 

 

 

 

 

20

78,5

 

4 987

1 613

10 410

2 776

 

949

7,97

4,53

3,48

3,85

8,31

61,7

- 100 -

ДОДАТОК 2.

Якщо немає спеціальних вказівок в умовах задач, то при їх розв’язуванні необхідно приймати наступні середні значення вказаних величин

Модуль пружності сталі при розтягу або стиску

E = 2 ×10 5

МПа

алюмінія та дюралюмінія

E =0.7×10 5

МПа

чавуна

E =1.2×10 5

МПа

міді

E =1×10 5

МПа

дерева вздовж волокон

E =1×10 4

МПа

 

Модуль пружності сталі при зсуві

G =8×10 4

МПа

Об’ємна вага сталі

g =7.8×10 4

Н м 3

Температурний коефіцієнт лінійного розширення

 

 

 

 

cталі

a t =125×10 -7

град -1

міді

a t =165×10 -4

град -1

Коефіцієнт Пуасона сталі

m =0.3

 

 

 

- 101 -

Соседние файлы в предмете Сопротивление материалов