50. Исследование устойчивости в большом.
Устойчивым режимом работы «в большом» называют такой режим работы, при котором система, получив достаточно большое начальное отклонение, возвращается в исходное состояние после прекращения действия возмущения.
Если при достаточно большом отклонении от исходного состояния после прекращения действия возмущения система не возвращается в исходное состояние, то ее называют системой, неустойчивой «в большом».
Различие между устойчивостью «в малом» и устойчивостью «в большом» можно проиллюстрировать с помощью рис. 17.1, а. На этом рисунке изображены желоб с помещенным в нем шариком. Если шарик толкнуть так, что он переместится из положения 1 в положение 2, а затем предоставить его себе самому, то под действием силы тяжести шарик возвращается в исходное положение (положение равновесия).
Рис. 17.1
Если шарик толкнуть с большей силой, то он пройдет через положение 3 и выскочит из желоба. Таким образом, система (рис. 17.1, а) устойчива «в малом» и неустойчива «в большом».
51. Исследование устойчивости по Ляпунову.
Системой,
устойчивой по Ляпунову, называют систему,
для которой можно указать область
допустимых отклонений [область
на
рис. 17.1, б] от состояния равновесия (точки
0), для которой ни одно из движений,
начинающихся внутри области
,
никогда не достигнет границ некоторой
заданной области
.
52. Фазовая плоскость, фазовые траектории.
Фазовая плоскость — координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка.[1] Фазовая плоскость является частным случаем фазового пространства, которое может иметь бо́льшую размерность.
В физике колебаний на оси абсцисс фазовой плоскости откладывается значения параметра x, а на оси ординат — первая производная x по времени (что, очевидно, связывает ось ординат с импульсом. См. Фазовое пространство).[2]
Каждая точка фазовой плоскости отражает одно состояние системы и называется фазовой, изображающей или представляющей точкой.[3] Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением этой точки. След от движения изображающей точки называется фазовой траекторией. Через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория, за исключением особых точек. Стрелками на фазовых траекториях показывается перемещение изображающей точки с течением времени. Полная совокупность различных фазовых траекторий — это фазовый портрет. Он даёт представление о совокупности всех возможных состояний системы и типах возможных движений в ней. Фазовый портрет удобен для рассмотрения движений макроскопических и квантовых частиц