Частина 1
.pdfМіністерство транспорту та зв’язку України Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту
імені академіка В.Лазаряна
Кафедра вищої математики
КУ Р С
ВИ Щ О Ї М А Т Е М А Т И К И
ЧАСТИНА 1
2007
“Курс вищої математики. Частина 1.”
Лінійна алгебра.
Основні визначення.
Визначення. Матрицею розміру mn×, де m- число рядків, n- число стовпців, називається таблиця чисел, розташованих в певному порядку. Ці числа називаються елементами матриці. Місце кожного елементу однозначно визначається номером рядка і стовпця, на перетині яких він знаходиться. Елементи матриці позначаються aij, де i- номер рядка, а j- номер стовпця.
А =
Основні дії над матрицями.
Матриця може складатися як з одного рядка, так і з одного стовпця. Взагалі кажучи, матриця може складатися навіть з одного елементу.
Визначення. Якщо число стовпців матриці рівне числу рядків (m=n), то матриця називається квадратною.
Визначення. Матриця вигляду:
1 |
0 ... |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 ... |
0 |
|
|
|
|
= E |
|||
|
|
... ... |
... |
|
|
... |
|
|
|||
|
0 |
0 ... |
1 |
|
|
|
|
|
|||
називається одиничною матрицею.
Визначення. Якщо amn = anm, то матриця називається симетричною.
2 |
1 |
5 |
|
|
Приклад. |
1 |
3 |
6 |
- симетрична матриця |
|
5 |
6 |
4 |
|
|
|
|||
|
a |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
11 |
a22 |
... |
0 |
|
|
Визначення. Квадратна матриця вигляду |
|
0 |
|
називається |
|||
|
|
... |
... |
0 |
|
||
|
... |
|
|
||||
|
|
0 |
0 |
... |
|
|
|
|
|
ann |
|
||||
діагональною матрицею.
Складання і віднімання матриць зводиться до відповідних операцій над їх елементами. Найголовнішою властивістю цих операцій є те, що вони визначені тільки для матриць однакового розміру. Таким чином, можливо визначити операції складання і віднімання матриць:
Визначення. Сумою (різницею) матриць є матриця, елементами якої є відповідно сума (різниця) елементів початкових матриць.
2
“Курс вищої математики. Частина 1.”
cij = aij ± bij
З = А + У = У + А.
Операція множення (ділення) матриці будь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (діленню) кожного елементу матриці на це число.
|
αa |
αa |
... |
αa |
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
αa21 |
αa22 |
... |
αa2n |
|
αA = |
|
... |
... |
... |
|
... |
|
||||
|
αam1 |
αam2 |
... |
|
|
|
αamn |
||||
α (А+в) =αА ± У
А(α±β) = αА ± А
1 |
2 |
3 |
1 |
3 |
4 |
|
||
Приклад. Дани матриці А = |
2 |
1 |
4 |
; B = |
5 |
7 |
8 |
, знайти 2А + У. |
|
3 |
2 |
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
3 |
|
|
|||||
2 |
4 |
6 |
|
3 |
7 |
10 |
|
||
2А = |
4 |
2 |
8 , |
2А + У = |
9 |
9 |
16 . |
||
|
6 |
4 |
6 |
|
|
7 |
6 |
10 |
|
|
|
|
|
||||||
Операція множення матриць.
Визначення: Твором матриць називається матриця, елементи якої можуть бути обчислені по наступних формулах:
AB = C;
n
сij = ∑aik bkj .
k=1
Зприведеного визначення видно, що операція множення матриць визначена
тільки для матриць, число стовпців першою з яких рівно числу рядків другої.
Властивості операції множення матриць.
1)Умножение матриць не комутативний, тобто АВ ≠ ВА навіть якщо визначено обидва твори. Проте, якщо для яких – або матриць співвідношення Ав=ва виконується, то такі матриці називаються перестановочними.
Найхарактернішим прикладом може служити одинична матриця, яка є перестановочною з будь-якою іншою матрицею того ж розміру.
Перестановочними можуть бути тільки квадратні матриці одного і того ж порядку.
АЄ = ЕА = А Очевидно, що для будь-яких матриць виконуються наступна властивість:
АТ = O; OA = O
де Про – нульова матриця.
3
“Курс вищої математики. Частина 1.”
2) Операція перемножування матриць асоціативна, тобто якщо визначені твори АВ і (АВ) З, то визначені ВС і А, і виконується рівність:
(АВ)С=А(ВС).
3) Операція множення матриць дистрибутивна по відношенню до складання, тобто якщо мають сенс вирази А(В+с) і (А+в) З, то відповідно:
А(У + З)= АВ + АС (А + У)С = АС + ВС.
4) Якщо твір АВ визначений, то для будь-якого числа α вірне співвідношення:
α(AB) = (A)B = A(B).
5) Якщо визначений твір АВ, то визначений твір ВТАТ і виконується рівність: (АВ)Т = ВТАТ, де
індексом Т позначається транспонована матриця.
6) Відмітимо також, що для будь-яких квадратних матриць det (AB) = detAdetB. Що таке det буде розглянуте нижче.
Визначення. Матрицю В називають транспонованою матрицею А, а перехід від А до В транспонуванням, якщо елементи кожного рядка матриці А записати в тому ж порядку в стовпці матриці В.
а11
А= a21
...
am1
a |
... |
a |
|
|
12 |
|
1n |
|
|
a22 |
... |
a2n |
; |
|
... |
... |
... |
|
|
|
|
|||
am2 |
... |
|
|
|
amn |
|
|||
a |
a |
|
... |
a |
m1 |
|
|
11 |
|
21 |
|
|
|
|
|
a12 |
a22 |
... |
am2 |
|
; |
||
У = Ат= |
|
|
... ... |
|
|||
... ... |
|
|
|||||
a |
a |
2n |
... |
a |
mn |
|
|
1n |
|
|
|
|
|
||
іншими словами, bji = aij.
Як слідство з попередньої властивості (5) можна записати, що: (ABC)T = CTBTAT
за умови, що визначений твір матриць АВС.
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Приклад. |
Дани матриці А = |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти Атв+с. |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 |
1 |
|
|
||
|
AT = |
0 |
4 |
− 4 |
; |
ATB = |
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
− 2 |
|
||
|
|
|
αC = |
4 ; |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
||||
|
4 |
1 |
, У = |
|
3 |
, З = |
|
2 |
і число α = 2. |
|||||||||
− 4 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 2 1 |
|
|
1 |
|
1 1+ 2 3 +1 2 |
9 |
|
|
||||||||||
|
0 4 |
|
− 4 |
|
|
3 |
|
= |
|
0 |
1 |
+ 4 3 − 4 2 |
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
= 4 |
|
||||||||||
|
3 1 2 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
1+1 3 + 2 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|||||||||
|
|
|
9 |
|
− 2 |
|
7 |
|
|
|
|
|||||||
Атв+с = |
4 |
+ |
4 = |
|
8 |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|||||
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 1.” |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Приклад. Знайти твір матриць А = |
4 і В = (2 4 |
1). |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
2 1 4 1 1 |
2 4 1 |
|
|||||
|
4 |
|
(2 4 1) = |
|
4 |
|
|
|
|
8 16 4 |
|
|
АВ = |
|
|
2 4 4 4 1 |
= |
. |
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
6 12 3 |
|
|
|
|
|
|
2 3 4 3 1 |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВА = (2 |
4 1) |
4 = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад. Знайти твір матриць А=, В = |
|
|
|
|||||||||
АВ = |
|
3 |
4 |
= |
(3 +10 4 +12)= (13 16). |
|
||||||
(1 2) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначники.( детерминанты).
Визначення. Визначником квадратної матриці А= називається число, яке може бути обчислене по елементах матриці по формулі:
n |
|
|
det A = ∑(−1)k +1 a1k M1k , |
де |
(1) |
k =1 |
|
|
|
|
|
М1к – детермінант матриці, отриманої з початкового викреслюванням першого рядка і до, – го стовпця. Слід звернути увагу на те, що визначники мають тільки квадратні матриці, тобто матриці, у яких число рядків рівне числу стовпців.
Формула (1) дозволяє обчислити визначника матриці по першому рядку, також справедлива формула обчислення визначника по першому стовпцю:
n |
|
det A = ∑(−1)k +1 ak1M k1 |
(2) |
k =1 |
|
Взагалі кажучи, визначник може обчислюватися по будь-якому рядку або стовпцю матриці, тобто справедлива формула:
|
n |
|
|
|
detA = ∑(−1)k +i aik M ik , i = 1,2.,n. |
|
(3) |
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
Очевидно, що різні матриці можуть мати однакових визначників. |
|
||
Визначник одиничної матриці рівний 1.
Для вказаної матриці А число М1к називається додатковим мінором елементу матриці a1k. Таким чином, можна укласти, що кожен елемент матриці має свій додатковий мінор. Додатковий мінор існує тільки в квадратних матрицях.
5
“Курс вищої математики. Частина 1.”
Визначення. Додатковий мінор довільного елементу квадратної матриці aij рівний визначникові матриці, отриманої з початкової викреслюванням i-ой рядка і j-го стовпця.
Свойство1. Важливою властивістю визначників є наступне співвідношення: det A = det AT;
Властивість 2. |
det ( A ± B) = det A ± det B. |
Властивість 3. |
det (AB) = detAdetB |
Властивість 4. Якщо в квадратній матриці поміняти місцями які-небудь два рядки (або стовпця), то визначника матриці змінить знак, не змінившись по абсолютній величині.
Властивість 5. При множенні стовпця (або рядки) матриці на число її визначник умножається на це число.
Властивість 6. Якщо в матриці А рядки або стовпці лінійно залежні, то її визначник рівний нулю.
Визначення: Стовпці (рядки) матриці називаються лінійно залежними, якщо існує їх лінійна комбінація, що рівна нулю, має нетривіальні (не рівні нулю) рішення.
Властивість 7. Якщо матриця містить нульовий стовпець або нульовий рядок, то її визначник рівний нулю. (Дане твердження очевидне, оскільки рахувати визначника можна саме по нульовому рядку або стовпцю.)
Властивість 8. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів одного з його рядків(стовпця) додати(відняти) елементи іншого рядка(стовпця), помножені на яке-небудь число, не рівне нулю.
Властивість 9. Якщо для елементів какойабо рядка або стовпця матриці вірне співвідношення: d = d1± ± d2, e = e1± ± e2, f = f1± ± f2, то вірно:
a b |
c |
|
a |
b |
c |
|
a |
b |
c |
|
d |
e f |
= |
d1 |
e1 |
f1 |
± |
d2 |
e2 |
f2 |
|
k |
l |
m |
|
k |
l |
m |
|
k |
l |
m |
Приклад. Обчислити визначника матриці А =
|
1 |
2 |
1 |
|
− 2 |
3 |
|
0 |
3 |
|
|
0 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
− 2 |
3 |
=1 |
− 2 |
+1 |
|
= (−2 1−1 3) − 2(0 1 −3 3) + (0 1 +3 2) = |
||||||||
|
3 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
3 |
1 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= -5 + 18 + 6 = 19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Приклад:. Дани матриці А = |
1 |
2 |
5 |
2 |
. Знайти det (AB). |
||||||||
|
|
|
|
|
, У = |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
1 |
3 |
|
|
1-й спосіб: det A = 4 – 6 = -2; |
|
det B = 15 – 2 = 13; |
|
det (AB) = det A det B = -26. |
||||||||||||
6
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 1.” |
|
1 5 + 2 1 1 2 + 2 3 |
7 8 |
|
, |
det (AB) = 718 - 819 = 126 – |
2- й спосіб: AB = |
|
= |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3 5 + 4 1 3 2 + 4 3 |
19 18 |
|
|
|
– 152 = -26. |
|
|
|
|
|
Елементарні перетворення.
Визначення. Елементарними перетвореннями матриці назвемо наступні перетворення:
1)множення рядка на число, відмінне від нуля;
2)збільшення до одного рядка іншого рядка;
3)перестановка рядків;
4)викреслювання (видалення) одного з однакових рядків (стовпців);
5)транспонування;
Ті ж операції, вживані для стовпців, також називаються елементарними перетвореннями.
За допомогою елементарних перетворень можна до якого-небудь рядка або стовпця додати лінійну комбінацію решти рядків ( стовпців ).
Мінор.
Вище було використано поняття додаткового мінору матриці. Дамо визначення мінору матриці.
Визначення. Якщо в матриці А виділити декілька довільних рядків і стільки ж довільних стовпців, то визначник, складений з елементів, розташованих на перетині цих рядків і стовпців називається мінором матриці А. Еслі виділено s рядків і стовпців, то отриманий мінор називається мінором порядку s.
Відмітимо, що вищесказане застосовно не тільки до квадратних матриць, але і до прямокутних.
Якщо викреслити з початкової квадратною матриці А виділені рядки і стовпці, то визначник отриманої матриці буде додатковим мінором.
Доповнення алгебри.
Визначення. Доповненням алгебри мінору матриці називається його, помножений на (-1) в ступені, рівній сумі номерів рядків і номерів стовпців мінору матриці.
У окремому випадку, доповненням алгебри елементу матриці називається його мінор, узятий зі своїм знаком, якщо сума номерів стовпця і рядка, на яких коштує елемент, є число парне і з протилежним знаком, якщо непарне.
Теорема Лапласа. Якщо вибрано s рядків матриці з номерами i1 .,is, то визначник цієї матриці рівний сумі творів всього мінору, розташованого у вибраних рядках на їх доповнення алгебри.
7
“Курс вищої математики. Частина 1.”
Зворотна матриця.
Визначимо операцію ділення матриць як операцію, зворотну множенню.
Визначення. Якщо існують квадратні матриці Х і А, що задовольняють умові: XA = AX = E
де Е - одинична матриця того ж самого порядку, то матриця Х називається зворотною до матриці А і позначається А-1.
Кожна квадратна матриця з визначником, не рівним нулю має зворотну матрицю і притому тільки одну.
Розглянемо загальний підхід до знаходження зворотної матриці. Виходячи з визначення твору матриць, можна записати:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
= eij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
AX = E |
∑ aik xkj |
|
, i=(1,n), j=(1,n) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i ≠ j |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eij = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eij = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = j . |
|
|
|
|||||||||
Таким чином, отримуємо систему рівнянь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
+ a |
|
|
x |
2 j |
+...+a |
|
|
x |
nj |
= 0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 1 j |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
................................................ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a j1x1 j + a j2 x2 j +...+a jn xnj = 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
................................................ |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
+ a |
n2 |
x |
2 j |
+...+a |
nn |
x |
nj |
= 0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 1 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вирішивши цю систему, знаходимо елементи матриці Х. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приклад. Дана матриця А = |
|
|
, знайти А-1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
x |
|
x |
|
|
= |
|
1 0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
12 |
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 x21 |
|
x22 |
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|||||||||||||||
a x |
+ a x |
21 |
= e |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
2x |
21 |
=1 |
x |
|
= −2 |
|||||||||||||
11 11 |
12 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
||||||||||
a11 x12 + a12 x22 = e12 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x12 + |
2x22 |
= 0 |
x12 = 1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
+ a22 x21 |
= e21 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a21 x11 |
|
|
|
|
|
|
|
3x11 + 4x21 = 0 |
x21 = 3/ 2 |
||||||||||||||||||||||||
a |
x |
+ a |
22 |
x |
22 |
= e |
22 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
+ 4x |
22 |
=1 |
x |
22 |
= −1/ 2 |
||||||||||
|
21 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
−2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким чином, А-1= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3/ 2 −1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Проте, такий спосіб не зручний при знаходженні зворотних матриць великих порядків, тому зазвичай застосовують наступну формулу:
xij = ( |
−1 i + j |
M |
|
|
) |
|
ji |
, |
|
|
det A |
|
|
|
8
“Курс вищої математики. Частина 1.”
де Мjiдодатковий мінор елементу аji матриці А.
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Приклад. Дана матриця А = |
, знайти А-1. |
|
||||
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
det A = 4 - 6 = -2. |
|
||
|
M11=4; |
M12= 3; |
M21= 2; |
M22=1 |
||
|
x11= -2; |
x12= 1; |
x21= 3/2; |
x22= -1/2 |
||
Таким чином, А-1= |
−2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
3/ 2 |
−1/ 2 |
|
|
|
|
Cвойства зворотних матриць.
Вкажемо наступні властивості зворотних матриць:
1)(A-1)-1 = A;
2)(AB)-1 = B-1A-1
3)(AT)-1 = (A-1)T.
Приклад. |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
, знайти А3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Дана матриця А = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 2 |
3 2 |
|
11 14 |
|
|
|
|
|
A3 = |
|
3 2 11 14 |
|
47 78 |
|||||||||||||
А2 = АА = |
|
|
|
= |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
||||||
|
|
1 4 |
|
|
7 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 86 |
|
||||||
1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 |
7 18 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
і |
11 |
14 |
є перестановочними. |
|
||||||||||||||
Відзначимо, що матриці |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 0 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Приклад. |
Обчислити визначника |
2 |
−1 |
|
1 |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
−1 |
0 |
3 |
4 |
|
−1 1 2 |
|
|
2 −1 2 |
|
|
2 −1 1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
−1 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= -1 |
3 2 1 |
+3 |
0 3 1 |
− 4 |
0 3 2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
3 |
2 |
1 |
|
1 |
4 |
|
3 |
|
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
2 |
1 |
4 |
|
|
|||
|
2 |
|
1 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9
|
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 1.” |
|
−1 |
1 |
2 |
|
= -1(6 – 4) – 1(9 – 1)+ 2(12 – 2)= -2 – 8 + 20 = 10. |
|
|
|
|||||
|
3 |
2 |
1 |
|
||
|
1 |
4 |
3 |
|
|
|
|
2 |
−1 |
2 |
|
= |
|
0 |
− 2 |
−1 |
|
= 2(0 – 2) – 1(0 – 6)= 2. |
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
3 |
1 |
|
|
0 |
3 |
1 |
|
||
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
−1 |
1 |
|
= |
|
|
0 |
− 2 |
−3 |
|
= 2(-4) – 3(-6)= -8 + 18 = 10. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
3 |
2 |
|
|
|
0 |
3 |
2 |
|
||
|
|
2 |
1 |
4 |
|
|
|
|
2 |
1 |
4 |
|
|
Значення визначника: -10 + 6 |
– 40 = -44. |
|
|
||||||||||
Базисний мінор матриці.
Ранг матриці.
Як було сказано, мінором матриці порядку s називається визначник матриці, утвореної з елементів початкової матриці, що знаходяться на перетині яких, - або вибраних s рядків і s стовпців.
Визначення. У матриці порядку mn мінор порядку r називається базисним, якщо він не рівний нулю, а весь мінор порядку r+1 і вище рівні нулю, або не існують зовсім, тобто r співпадає з меншим з чисел m або n.
Стовпці і рядки матриці, на яких коштує базисний мінор, також називаються
базисними.
У матриці може бути декілька різного базисного мінору, що має однаковий порядок.
Визначення. Порядок базисного мінору матриці називається рангом матриці і позначається Rg А.
Дуже важливою властивістю элементарних перетворень матриць є те, що вони не змінюють ранг матриці.
Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення,
називаються еквівалентними.
Треба відзначити, що рівні матриці і эвивалентные матриці - поняття абсолютно
різні.
Теорема. Найбільше число лінійно незалежних стовпців в матриці рівне числу лінійно незалежних рядків.
Оскільки елементарні перетворення не змінюють ранг матриці, то можна істотно спростити процес знаходження рангу матриці.
Приклад. Визначити ранг матриці.
10