Частина 4

“Курс вищої математики. Частина 4.”

ЛЕКЦІЯ 1.

Теорія ймовірності.

Основні поняття.

Визначення. Подією називається всякий факт, який може відбутися або не відбутися в результаті досвіду.

При цьому той або інший результат досвіду може бути отриманий з різним ступенем можливості. Тобто в деяких випадках можна сказати, що одна подія відбудеться практично напевно, інше практично ніколи.

У відношенні один одного події також мають особливості, тобто в одному випадку подія А може відбутися спільно з подією В, в іншому – ні.

Визначення. Події називаються несумісними, якщо появу одну з них виключає поява інших.

Класичним прикладом несумісних подій є результат підкидання монети – випадання лицьової сторони монети виключає випадання зворотної сторони (у одному і тому ж досвіді).

Визначення. Повною групою подій називається сукупність всіх можливих результатів досвіду.

Визначення. Достовірною подією називається подія, яка напевно відбудеться в результаті досвіду. Подія називається неможливою, якщо воно ніколи не відбудеться в результаті досвіду.

Наприклад, якщо з коробки, що містить тільки червоні і зелені кулі, навмання виймають одну кулю, то поява серед вийнятих куль білого – неможлива подія. Поява червоного і поява зеленого куль утворюють повну групу подій.

Визначення. Події називаються равновозможными, якщо немає підстав вважати, що одне з них з'явиться в результаті досвіду з більшою ймовірністю.

У приведеному вище прикладі поява червоної і зеленої куль – равновозможные події, якщо в коробці знаходиться однакова кількість червоних і зелених куль.

Якщо ж в коробці червоних куль більше, ніж зелених, то поява зеленої кулі – подія менш ймовірне, чим поява червоного.

Виходячи з цих загальних понять можна дати визначення ймовірності.

Визначення. Ймовірністю події А називається математична оцінка можливості появи цієї події в результаті досвіду. Ймовірність події А рівна відношенню числа, що сприяють події А результатів досвіду до загального числа попарно несумісних результатів досвіду, створюючих повну групу подій.

P( A) = mn

Результат досвіду є таким, що сприяє події А, якщо поява в результаті досвіду цього результату спричиняє за собою появу події А.

2

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Очевидно, що ймовірність достовірної події рівна одиниці, а ймовірність неможливого – рівна нулю. Таким чином, значення ймовірності будь-якої події – є позитивне число, поміщене між нулем і одиницею.

0 ≤ P(A) ≤1

Приклад. У коробці знаходиться 10 куль. 3 з них червоні, 2 – зелені, решта білих. Знайти ймовірність того, що вийнята навмання куля буде червоною, зеленою або білою.

Появу червоної, зеленої і білої куль складають повну групу подій. Позначимо появу червоної кулі – подія А, поява зеленого – подія В, поява білого – подія С.

Тоді у відповідністю із записаними вище формулами отримуємо:

Відзначимо, що ймовірність настання одного з двох попарно несумісних подій рівна сумі ймовірності цих подій.

Визначення. Відносною частотою події А називається відношення числа дослідів, в результаті яких відбулася подія А до загального числа дослідів.

Відмінність відносної частоти від ймовірності полягає в тому, що ймовірність обчислюється без безпосереднього твору дослідів, а відносна частота – після досвіду.

Так в розглянутому вище прикладі, якщо з коробки навмання витягує 5 куль і 2 з них виявилися червоними, то відносна частота появи червоної кулі рівна:

W (A) = 52

Як видно, ця величина не співпадає із знайденою ймовірністю.

При достатньо великому числі проведених дослідів відносна частота змінюється мало, коливаючись біля одного числа. Це число може бути прийняте за ймовірність події.

Взагалі кажучи, класичне визначення ймовірності – досить відносне.

Це обумовлено тим, що на практиці складно представити результат досвіду у вигляді сукупності елементарних подій, довести, що події рівноімовірні.

Наприклад при творі досвіду з підкиданням монети на результат досвіду можуть впливати такі чинники як несиметрична монети, вплив її форми на аеродинамічні характеристики польоту, атмосферні умови і так далі

Класичне визначення ймовірності непридатне до випробувань з нескінченним числом результатів. Щоб подолати цей недолік вводиться поняття геометричної ймовірності, тобто ймовірність попадання крапки в якій – або відрізок або частина площини (простори).

Так якщо на відрізку довжиною L виділений відрізок довжини l, то ймовірність попадання навмання узятої крапки у відрізок l рівна відношенню l/L.

Операції над подіями.

Визначення. Події А і В називаються рівними, якщо здійснення події А спричиняє за собою здійснення події В і навпаки.

3

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Визначення. Об'єднанням або сумою подій Аk називається подія A, яка означає появу хоч би одну з подій Аk.

A = UAk

k

Визначення. Перетином або твором подій Ak називається подія А, яке полягає в здійсненні всіх подій Ak.

A = IAk

k

Визначення. Різницею подій А і В називається подія З, яке означає, що відбувається подія А, але не відбувається подія В.

C = A \ B

Визначення. Додатковим до події А називається подія А , що означає, що подія А не відбувається.

Визначення. Елементарними результатами досвіду називаються такі результати досвіду, які взаємно виключають один одного і в результаті досвіду відбувається одна з цих подій, також як би не була подія А, по елементарному результату, що наступив, можна судити про те, відбувається або не відбувається ця подія.

Сукупність всіх елементарних результатів досвіду називається простором елементарних подій.

Теорема (складання ймовірності). Ймовірність суми двох несумісних подій рівна сумі ймовірності цих подій.

P(A + B) = P( A) + P(B)

Слідство 1: Якщо події A1 , A2 ,..., An утворюють повну групу несумісних подій,

то сума їх ймовірності рівна одиниці.

n

∑P(Ai ) =1

i=1

Визначення. Протилежними називаються дві несумісні події, створюючі повну

групу.

Теорема. Ймовірність появи хоч би однієї з двох сумісних подій рівна сумі ймовірності цих подій без ймовірності їх сумісної появи.

P(A + B) = P( A) + P(B) − P(AB)

Слідство 2: Сума ймовірності протилежних подій рівна одиниці.

P(A) + P( A) =1

Визначення. Подія А називається незалежним від події В, ймовірність події А не залежить від того, відбулася подія В чи ні. Подія А називається залежним від події В, якщо ймовірність події А міняється залежно від того, відбулася подія В чи ні.

Визначення. Ймовірність події В, обчислена за умови, що мала місце подія А,

називається умовною ймовірністю події В.

4

“Курс вищої математики. Частина 4.”

PA (B) = P(B / A) = P(AB) / P(A)

Теорема. (Множення ймовірності) Ймовірність твору двох подій (сумісної появи цих подій) рівна твору ймовірності одного з них на умовну ймовірність іншого, обчислену за умови, що перша подія вже наступила.

P(AB) = P(A)P(B / A) = P( A)PA (B)

Також можна записати: P(AB) = P( A)P(B / A) = P(B)P(A / B) = P(B)PB (A) Доведення цієї теореми безпосередньо витікає з визначення умовної

ймовірності.

Якщо події незалежні, тоP(B / A) = P(B) , і теорема множення ймовірності

приймає вигляд:

P( AB) = P(A)P(B)

У разі твору декількох залежних подій ймовірність рівна твору одного з них на умовну ймовірність всіх останніх за умови, що ймовірність кожного подальшого обчислюється в припущенні, що решта всіх подій вже здійснилася.

P(A1 A2 ...An ) = P(A1 )P( A2 / A1 )P(A3 / A1 A2 )...P( An / A1 A2 ...An−1 )

З теореми твору ймовірності можна зробити вивід про ймовірність появи хоч би однієї події.

Якщо в результаті випробування може з'явитися п подій, незалежних в сукупності, то ймовірність появи хоч би однієї з них рівна

P(A) =1 − q1q2 ...qn

Тут подія А позначає настання хоч би одне з подій Ai, а qi – ймовірність протилежних подій A1 , A2 ,..., An .

Приклад. З повної колоди карт (52 шт.) одночасно виймають чотири карти. Знайти ймовірність того, що серед цих чотирьох карт буде хоч би одна бубнова або одна червона карта.

Позначимо появу хоч би однієї бубнової карти – подія А, поява хоч би однієї червоної карти – подія В. Таким образом нам треба визначити ймовірність події = А + У.

Крім того, події А і В – сумісні, тобто появу одну з них не виключає появи іншого.

Всього в колоді 13 червоних і 13 бубнових карт.

При витягуванні першої карти ймовірність того, що не з'явиться ні червоною ні бубнової карти рівна 5226 , при витягуванні другої карти - 2551 , третьою - 5024 , четвертою -

4923 .

Тоді ймовірність того, що серед вийнятих карт не буде ні бубнових, ні червоних рівна P(C ) = 5226 2551 5024 4923 .

5

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Тоді P(C) =1 − P(C ) ≈ 0,945

Приклад. Чому рівна ймовірність того, що при киданні трьох гральних кісток 6 очок з'явиться хоч би на одній з кісток?

Ймовірність випадання 6 очок при одному кидку кістки рівна 16 . Ймовірність того, що не випаде 6 очок - 56 . Ймовірність того, що при кидку трьох кісток не випаде

Тоді ймовірність того, що хоч би один раз випаде 6 очок рівна 1 − 125216 = 21691 .

Приклад. У барабані револьвера знаходяться 4 патрони з шести в довільному порядку. Барабан розкручують, після чого натискають на спусковий гачок двічі. Знайти ймовірність хоч би одного пострілу, двох пострілів, двох осічок.

натисненні на курок залежить від результату першого натиснення.

Так якщо в першому випадку відбувся постріл, то в барабані залишилися тільки 3 патрони, причому вони розподілені по 5 гніздам, оскільки при другому натисненні на курок напроти стовбура не може опинитися гніздо, в якому був патрон при першому натисненні на курок.

Умовна ймовірність пострілу при другій спробі - P(B / A) = 53 , якщо вперше був постріл, P(B / A) = 54 - якщо вперше відбулася осічка.

Умовна ймовірність осічки удруге -, P(B / A) = 52 якщо вперше відбувся постріл,

P(B / A) = 15 - якщо вперше була осічка.

Розглянемо ймовірність того, що в другому випадку відбудеться постріл (подія В) або відбудеться осічка (подія ) В за умови, що в першому випадку відбувся постріл (подія А) або осічка (подія ) А .

P(B) = P(A)P(B / A) = 64 53 = 156 = 0,4 - два постріли підряд

P(B) = P( A)P(B / A) = 13 54 = 154 ≈ 0,267 - перша осічка, другий постріл

P(B ) = P( A)P(B / A) = 64 52 = 154 ≈ 0,267 - перший постріл, друга осічка

P(B ) = P( A)P(B / A) = 13 15 = 151 ≈ 0,067 - дві осічки підряд

Ці чотири випадки утворюють повну групу подій (сума їх ймовірності рівна одиниці)

6

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Аналізуючи отримані результати, бачимо, що ймовірність хоч би одного пострілу рівна сумі P1 = 156 +154 +154 = 1415 ≈ 0,933

Тепер розглянемо інший випадок. Припустимо, що після першого натиснення на курок барабан розкрутили і знову натиснули на курок.

Ймовірність першого пострілу і першої осічки не змінилася - P(A) = 64 ,

P(A) = 62 . Умовна ймовірність другого пострілу і осічки обчислюється з умови, що напроти стовбура може опинитися те ж гніздо, що і вперше.

Умовна ймовірність пострілу при другій спробі - P(B / A) = 63 , якщо вперше був постріл, P(B / A) = 64 - якщо вперше відбулася осічка.

Умовна ймовірність осічки удруге -, P(B / A) = 63 якщо вперше відбувся постріл,

Ниже показаны диаграммывероятностей для первого и второго рассмотренных случаев.

Приклад. Два стрільці стріляють по мішені. Ймовірність попадання в мішень при одному пострілі для першого стрільця рівна 0,7, а для другого – 0,8. Знайти ймовірність того, що при одному залпі в мішень потрапляє тільки один із стрільців.

7

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Позначимо попадання в ціль першим стрільцем – подія А, другим – подія В, промах першого стрільця – подія А , промах другого – подія В .

P(A) = 0,7; P( A) = 0,3; P(B) = 0,8; P(B ) = 0,2.

Ймовірність того, що перший стрілець потрапить в мішень, а другий – ні рівна

P(A)P(B ) = 0,7 0,2 = 0,14

Ймовірність того, що другий стрілець попаде в ціль, а перший – ні рівна

P(A)P(B) = 0,3 0,8 = 0,24

Тоді ймовірність попадання в ціль тільки одним стрільцем рівна

P = 0,14 + 0,24 = 0,38

Той же результат можна отримати іншим способом – знаходимо ймовірність того, що обидва стрільці попали в ціль і обидва промахнулися. Ця ймовірність відповідно рівна:

P(A)P(B) = 0,7 0,8 = 0,56; P( A)P(B ) = 0,3 0,2 = 0,06.

Тоді ймовірність того, що в ціль попаде тільки один стрілець рівна:

P =1 −0,56 −0,06 = 0,38.

Приклад. Ймовірність того, що узята навмання деталь з деякої партії деталей, буде бракованою рівна 0,2. Знайти ймовірність того, що з трьох узятих деталей 2 виявиться не бракованими.

Позначимо браковану деталь – подія А, не браковану – подія А .

P(A) = 0,2; P(A) = 0,8;

Якщо серед трьох деталей виявляється тільки одна бракована, то це можливо в одному з трьох випадків: бракована деталь буде першою, другою або третьою.

P = P( A)P(A)P(A) + P(A)P(A)P( A) + P( A)P(A)P(A)

P = 3 0,2 0,8 0,8 = 0,384

Приклад. Ймовірність того, що потрібна деталь знаходиться в першому, другому, третьому або четвертому ящику, відповідно рівні 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Знайти ймовірність того, що ця деталь знаходиться: а) не більш, ніж в трьох ящиках; би) не менше, чим в двох ящиках.

а) Ймовірність того, що дана деталь знаходиться у всіх чотирьох ящиках, рівна

P = P1 P2 P3 P4 = 0,6 0,7 0,8 0,9 = 0,3024.

Ймовірність того, що потрібна деталь знаходитися не більш, ніж в трьох ящиках рівна ймовірності того, що вона не знаходиться у всіх чотирьох ящиках.

P(A) =1 − P =1−0,3024 = 0,6976 .

б) Ймовірність того, що потрібна деталь знаходиться не менше, чим в двох ящиках, складається з ймовірності того, що деталь знаходитися тільки в двох ящиках, тільки в трьох ящиках, тільки в чотирьох ящиках. Звичайно, цю ймовірність можна порахувати, а потім скласти, проте, простіше поступити інакше. Та ж ймовірність рівна ймовірності того, що деталь не знаходиться тільки в одному ящику і є взагалі.

Ймовірність того, що деталь знаходиться тільки в одному ящику, рівна

P = P1q2 q3 q4 + q1 P2 q3 q4 + q1q2 P3 q4 + q1q2 q3 P4

P = 0,6 0,3 0,2 0,1 + 0,4 0,7 0,2 0,1 + 0,4 0,3 0,8 0,1 + 0,4 0,3 0,2 0,9 =

8

“Курс вищої математики. Частина 4.”

= 0,0036 + 0,0056 + 0,0096 + 0,0216 = 0,0404

Q =1 −0,0404 = 0,9596

Ймовірність того, що потрібною деталь немає ні в одному ящику, рівна:

P0 = q1q2 q3 q4 = 0,4 0,3 0,2 0,1 = 0,0024 Q0 =1 −0,0024 = 0,9976

Шукана ймовірність рівна P(B) = Q Q0 = 0,9596 0,9976 = 0,9573.

P(H1 ), P(H 2 ),..., P(H n ) і умовна ймовірність настання події А при настанні події Hi P(A / H1 ), P(A / H 2 ),..., P(A / H n ) .

Теорема. Ймовірність події А, яке може відбутися разом з однією з подій, рівна сумі парних творів ймовірності кожної з цих подій на відповідних їм умовна ймовірність настання події А.

n

P(A) = ∑P(Hi )P( A / Hi )

i=1

Фактично ця формула повної ймовірності вже використовувалася при вирішенні прикладів, приведених вище, наприклад, в завданні з револьвером.

Доказ.

Оскільки події H1 , H 2 ,..., H n утворюють повну групу подій, та подія А можна

представити у вигляді наступної суми:

n

A = AH1 + AH 2 +... + AH n = ∑AHi

i=1

Оскільки події H1 , H 2 ,..., H n несумісні, то і події AHi теж несумісні. Тоді можна

застосувати теорему про складання ймовірності несумісних подій:

n

P(A) = ∑P( AHi )

i=1

При цьому P(AHi ) = P(Hi )P( A / Hi )

n

Остаточно отримуємо: P(A) = ∑P(Hi )P( A / Hi )

i=1

Теорема доведена.

Приклад. Один з трьох стрільців робить два постріли. Ймовірність попадання в ціль при одному пострілі для першого стрільця рівна 0,4, для другого – 0,6, для третього – 0,8. Знайти ймовірність того, що в мету потраплять двічі.

Ймовірність того, що постріли робить перший, другий або третій стрілець рівна 13 .

Ймовірність того, що один із стрільців, що роблять постріли, двічі попадає в ціль, рівні:

9

“Курс вищої математики. Частина 4.”

-для першого стрільця: p12 = 0,42 = 0,16;

-для другого стрільця: p22 = 0,62 = 0,36;

-для третього стрільця: p32 = 0,82 = 0,64;

Шукана ймовірність рівна:

p = 13 p12 + 13 p22 + 13 p33 = 13 (0,16 + 0,36 + 0,64) = 2975

ЛЕКЦІЯ 2.

Формула Бейеса. (формула гіпотез)

Хай є повна група несумісних гіпотез H1 , H 2 ,..., H n з відомою ймовірністю їх настання P(H1 ), P(H 2 ),..., P(H n ) . Хай в результаті досвіду наступила подія А, умовна

Теорема. Ймовірність гіпотези після випробування рівна твору ймовірності гіпотези до випробування на відповідну їй умовну ймовірність події, яка відбулася при випробуванні, діленому на повну ймовірність цієї події.

Ця формула називається формулою Бейеса.

Доказ.

По Теореме умножения вероятностей отримуємо:

P(A)P(Hi / A) = P(Hi )P(A / Hi )

Тоді якщо P(A) ≠ 0, P(Hi / A) = P(Hi )P( A / Hi ) .

Для знаходження ймовірності P(A) використовуваний

Якщо до випробування всі гіпотези рівноімовірні з ймовірністюP(Hi ) = p , то формула Бейеса приймає вигляд:

10