Частина 2

Міністерство транспорту та зв’язку України Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту

імені академіка В.Лазаряна

Кафедра вищої математики

КУ Р С

ВИ Щ О Ї М А Т Е М А Т И К И

ЧАСТИНА 2

2007

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Диференціальне числення функції однієї змінної.

Похідна функції, її геометричний і фізичний сенс.

Визначення. Похідній функції f(x) в точці х = х0 називається межа відношення приросту функції в цій крапці до приросту аргументу, якщо він існує.

f ′(x) = lim f (x + ∆x) − f (x)

∆x→0 ∆x

у

f(x)

Хай f(x) визначена на деякому проміжку (а, b). Тоді tgβ = ∆∆fx − тангенс кута нахилу січної МР до графіка функції.

де α - кут нахилу дотичної до графіка функції f(x) в крапці (x0, f(x0)).

Кут між кривими може бути визначений як кут між дотичними, проведеними до цих кривих в какойабо крапці.

Рівняння дотичної до кривій: y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 )

Рівняння нормалі до кривій: y − y0 = − f ′(1x0 ) (x − x0 ) .

Фактично похідна функції показує як би швидкість зміни функції, як змінюється функція при зміні змінній.

Фізичний сенс похідної функції f(t), де t- час, а f(t) - закон руху (зміни координат) – миттєва швидкість руху.

Відповідно, друга похідна функциишвидкість зміни швидкості, тобто прискорення.

2

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Односторонні похідні функції в крапці.

Визначення. Правій (лівою) похідній функції f(x) в точці х = х0 називається праве (ліве) значення межі відношення ∆∆fx за умови, що це відношення існує.

Якщо функція f(x) має похідну в деякій точці х = х0, то вона має в цій крапці односторонні похідні. Проте, зворотне твердження невірне. Воперших функція може мати розрив в точці х0, а водругих, навіть якщо функція безперервна в точці х0, вона може бути в ній не дифференцируема.

Наприклад: f(x)= x- має в точці х = 0 і ліву і праву похідну, безперервна в цій крапці, проте, не має в ній похідної.

Теорема. (Необхідна умова існування похідної) Якщо функція f(x) має похідну в точці х0, то вона безперервна в цій крапці.

Зрозуміло, що ця умова не є достатньою.

Основні правила диференціювання.

Позначимо f(x)= u, g(x)= v- функції, що диференціюються в точці х.

1)(u ± v)′= u′± v′

2)(u v)′= u v′+ u′v

3)u ′ = u′v − v′u , якщо v ≠ 0v v2

Ці правила можуть бути легко доведені на основі теорем про межі.

Похідні основних елементарних функцій.

3

Похідна складної функції.

Теорема. Хай у = f(x); u = g(x), причому область значень функції u входить в область визначення функції f.

Тоді y′ = f ′(u) u′

Доказ.

( з урахуванням того, що якщо ∆x0→, то u0, оскільки u = g(x) – безперервна функція)

Враховуючи отриманий результат, можна записати (ln f (x) )′ = f ′(x) .

Спосіб логарифмічного диференціювання полягає в тому, що спочатку знаходять логарифмічну похідну функції, а потім похідну самої функції по формулі

f ′(x) = (ln f (x) )′ f (x)

Спосіб логарифмічного диференціювання зручно застосовувати для знаходження похідних складних, особливо показових функцій, для яких безпосереднє обчислення похідної з використанням правил диференціювання представляється трудомістким.

Похідна показательностатечної функції.

4

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Функція називається показовою, якщо незалежна змінна входить в показник ступеня, і статечною, якщо змінна є підставою. Якщо ж і підстава і показник ступеня залежать від змінній, то така функція буде показова – статечною.

Хай u = f(x) і v = g(x) – функції, що мають похідні в точці х, f(x) >0. Знайдемо похідну функції у = uv. Логарифмуючи, отримаємо:

Похідна зворотних функцій.

Хай потрібно знайти похідну функції = f(x) за умови, що зворотна нею функція x = g(y) має похідну, відмінну від нуля у відповідній крапці.

Для вирішення цього завдання диференціюємо функцію x = g(y) по х:

1 = g′( y) y′

оскільки g(y) ≠ 0

dydx = dx1

dy

тобто похідна зворотної функції зворотна по величині похідної даної функції.

Приклад. Знайти формулу для похідної функції arctg.

Функція arctg є функцією, зворотній функції tg, тобто її похідна може бути знайдена таким чином:

5

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Оскільки cos12 x =1 + tg 2 x =1 + y 2 ; те можна записати остаточну формулу для похідній арктангенса:

Таким чином отримані всі формули для похідних арксинуса, арккосинуса і інших зворотних функцій, приведених в таблиці похідних.

Диференціал функції.

Хай функція у = f(x) має похідну в точці х:

lim ∆y = f ′(x)

∆x→0 ∆x

Тоді можна записати: ∆∆yx = f ′(x) +α , де α→0, при ∆х0.

Отже: ∆y = f ′(x) ∆x +α ∆x .

Величина x- нескінченно мала вищого порядку, ніж f(x)∆x, тобто f(x)∆x- головна частина приросту у.

Визначення. Диференціалом функції f(x) в точці х називається главня лінійна частина приросту функції.

Позначається dy або df(x).

З визначення виходить, що dy = f(x)∆x або

dy = f(x)dx.

Можна також записати: f ′(x) = dydx

Геометричний сенс диференціала.

y

α

З трикутника ∆MKL: KL = dy = tgx = юшок

Таким чином, диференціал функції f(x) в точці х рівний приросту ординати дотичною до графіка цієї функції в даній крапці.

Властивості диференціала.

6

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Якщо u = f(x) і v = g(x) - функції, що диференціюються в точці х, то безпосередньо з визначення диференціала виходять наступні властивості:

1)d(u ± v)= (u ± v)′dx = udx ± vdx = du ± dv

2)d(uv)= (uv)′′dx = (uv + vu)dx = vdu + udv

3)d(Cu)= Cdu

Диференціал складної функції. Інваріантна форма запису диференціала.

Хай у = f(x), x = g(t), т.е у- складна функція.

Видно, що форма запису диференціала dy не залежить від того, чи буде х незалежної змінної або функцією какойте іншій змінній, у зв'язку з чим ця форма запису називається інваріантною формою запису диференціала.

Проте, якщо х- незалежна змінна, то

dx = ∆x, але якщо х залежить від t, то ∆х ≠ dx.

Таким чином форма запису dy = f(x)∆x не є інваріантною.

Приклад. Знайти похідну функції y = x cos x sin x + 12 cos2 x .

7

=x cos x sin 2 x

= xex2 (1 + 2 ln x + 2x2 ln x)

Формула Тейлора.

Тейлор (1685-1731) – англійський математик

Теорема Тейлора. 1) Хай функція f(x) має в точці х = а і деякій її околиці похідні порядку до (n+1) включно.{ Тобто і всі попередні до порядку n функції і їх похідні безперервні і дифференцируемы в цій околиці}.

2) Хай х- будь-яке значення з цієї околиці, але х ≠ а.

Тоді між точками х і а знайдеться така крапка, що справедлива формула:

-цей вираз називається формулою Тейлора, а вираз:

f (n++1) (ε) (x − a)n+1 = Rn+1 (x)

(n 1)!

називається залишковим членом у формі Лагранжа.

Доказ. Представимо функцію f(x) у вигляді деякого многочлена Pn(x), значення якого в точці х = а рівно значенню функції f(x), а значення його похідних рівно значенням відповідних похідних функції в точці х = а.

8

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Многочлен Pn(x) буде близький до функції f(x). Чим більше значення n, тим ближче за значення многочлена до значень функції, тим точніше він повторює функцію.

Представимо цей многочлен з невизначеними поки коефіцієнтами:

Pn (x) = C0 +C1 (x − a) +C2 (x − a)2 +... +Cn (x − a)n (2)

Для знаходження невизначених коефіцієнтів обчислюємо похідні многочлена в точці х = а і складаємо систему рівнянь:

Як було відмічено вище, многочлен не точно співпадає з функцією f(x), тобто відрізняється від неї на деяку величину. Позначимо цю величину Rn+1(x). Тоді:

f(x)= Pn(x)+ Rn+1(x)

Теорема доведена.

Розглянемо докладніше величину Rn+1(x).

y

9

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Як видно на малюнку, в точці х = а значення багаточлена в точності співападає із значенням функції. Проте, при видаленні від точки х = а розбіжність значень збільшується.

Іноді використовується інший запис для Rn+1(x). Оскільки крапка ε (а, x), то знайдеться таке число θ з інтервалу 0 < < 1, що ε = а + θ(x – а).

Тоді можна записати:

де 0 < θ < 1

Якщо прийняти n =0, отримаємо: f(x0 + ∆x) – f(x0)= f′(x0 + θ∆x) ∆ ∆x – цей вираз називається формулою Лагранжа. (Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) французький математик і механік).

Формула Тейлора має величезне значення для різних математичних перетворень. З її допомогою можна знаходити значення різних функцій, інтегрувати, вирішувати диференціальні рівняння і так далі

При розгляді степеневих рядів буде докладніше описані деякі особливості і умови розкладання функції по формулі Тейлора.

Формула Маклорена.

Колін Маклорен (1698-1746) шотландський математик.

Формулою Маклорена називається формула Тейлора при а = 0:

Ми отримали так звану формулу Маклорена із залишковим членом у формі Лагранжа.

Слід зазначити, що при розкладанні функції в ряд застосування формули Маклорена переважно, чим застосування безпосередньо формули Тейлора, оскільки обчислення значень похідних в нулі простіше, ніж в какойабо іншій крапці, природно, за умови, що ці похідні існують.

Проте, вибір числа а дуже важливий для практичного використання. Річ у тому, що при обчисленні значення функції в крапці, розташованій відносно близько до крапки а, значення, отримане по формулі Тейлора, навіть при обмеженні трьома – чотирма першими доданками, співпадає з точним значенням функції практично абсолютно. При видаленні ж даної крапки від крапки а для набуття точного значення треба брати всю більшу кількість доданків формули Тейлора, що незручно.

10