M-051

Укладачі:

доцент Баб’як М.О., доцент Грилицький М.Д., доцент Лаушник І.П.

Операційне числення. Методичні вказівки та завдання до типових розрахунків для студентів технічних спеціальностей/ Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка В.Лазаряна, факультет Львівської філії/ Укл. Баб’як М.О, Грилицький М.Д., Лаушник І.П. – Львів, 2011 . – 40 с.

Методичні вказівки призначені для самостійної роботи студентів технічних спеціальностей по вивченню теми «Операційне числення» з курсу вищої математики. Вони вміщують основні теоретичні відомості, приклади розв’язків типових задач та варіанти завдань контрольної роботи.

Рецензенти: доцент кафедри вищої математики Національного університету «Львівська політехніка», канд. фіз.-мат. наук Чип М.М.

доцент кафедри фундаментальних дисциплін Львівської філії ДНУЗТу ім. акад. В.Лазаряна, канд. фіз.-мат. наук Станкевич В.З.

Затверджено на засіданні кафедри фундаментальних дисциплін факультету Львівської філії ДНУЗТу.

Протокол № _____ від ____ _____________ 2011 р.

2

Вступ

Операційне (символьне) числення застосовується для розв’язку задач перехідних процесів лінійних фізичних систем електротехніки, радіотехніки, імпульсної техніки, теорії автоматичного регулювання та інших галузей науки і техніки. Цей розділ математики є азбукою сучасної автоматики, комп’ютерної техніки, телемеханіки тощо.

Перетворення Лапласа є зручним інструментом для знаходження розв’язків як звичайних диференціальних рівнянь та їх систем так і для розв’язування диференціальних рівнянь у частинних похідних, а також для розв’язування інтегральних рівнянь Вольтерра і Фредгольма І і ІІ родів, сингулярних рівнянь, інтегро-диференціальних рівнянь..

Метод операційного числення був уперше застосованим англійським інженером – електриком Д.Хевісайдом .

В основі методу операційного числення покладено те, що над оператором диференціювання і деякими функціями цього оператора проводиться певна система дій. В цій системі дій диференціювання функції x = x(t) розглядається, як множення оператора р

на функцію X = X ( p) цього оператора, тобто:

n

За допомогою операційного методу лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами шуканої функції х(t) зводяться до алгебраїчних рівнянь відносно функції

Х(р).

В операційному численні введені поняття оригіналу та зображення, з яких першим є певна функція f(t), що задовольняє відповідним умовам, а зображенням функції – оригіналу f(t) є деяка функція F(p), яка може бути комплексною.

Операційне числення є зручним апаратом у теорії інформації, зокрема при обробці сигналів і зображень. Перетворення Лапласа тісно пов’язане з перетворенням Фур’є, що дає можливість знаходити спектральну щільність сигналів та їх фільтри через перетворення Лапласа.

3

Розділ І. Інтегральне перетворення Лапласа

§ 1. Загальні поняття та означення

Метод перетворення Лапласа полягає в тому, що тут вивченню підлягає не саме деяка функція f(t), яку називаємо оригіналом, а її видозміна, тобто зображення. Це зображення здійснюється за допомогою множення оригіналу на деяку експоненціальну функцію і цей добуток інтегрується в межах від 0 до ∞.

Означення. Якщо функція f(t) задовольняє наступним умовам:

1.f(t) – однозначна і кусково-неперервна функція, t R (яка, взагалі кажучи, може приймати і комплексні значення);

2.f(t)=0 при t<0;

3.f(t) зростає не швидше експоненціальної функції, тобто існують такі дійсні

постійні числа µ>0 і p0 ≥ 0 , що для всіх t>0 виконується нерівність:

f (t) = µ e p0t ,

( число р0 називається показником росту функції), то функція f(t) називається оригіналом. Вираз

у якому р=а+іb (а>p0)- деяке комплексне число, називається перетворенням Лапласа, а інтеграл справа – інтегралом (оператором) Лапласа, якщо цей інтеграл є збіжним.

Отже перетворення Лапласа є інтегральним перетворенням, яке позначається символом

Отже, для будь якої постійної функції її зображення має одержаний вигляд. Приклад . Знайти зображення функцій f(t)=еt,, f(t)=t2.

Розв’язок. Застосовуючи формулу (2), знаходимо:

Для обчислення інтегралу двічі використовувалося інтегрування по частинах:

4

Теореми операційного числення Лапласа

Для знаходження зображень заданих функцій в апараті операційного числення Лапласа маємо сукупність теорем, що значно полегшує їх знаходження. Обмежимось розглядом певної частини з них.

§ 1. Теорема лінійності зображення

Теорема. Якщо f (t) = A f1 (t) ± B f2 (t) , А, В- постійні величини, то

L[f (t)]= L[A f1 (t) ± B f2 (t)]= A L[f1 (t)]± B L[f2 (t)]= A F1 ( p) ± B F2 ( p). ( 3 )

Доведення. Нехай оригінал, тобто функція f(t) задана у лінійному вигляді через дві функції f1(t) і f2(t) , а саме у вигляді. f (t) = A f1 (t) ± B f2 (t) . Тоді застосувавши оператор Лапласа, отримаємо:

L[f (t)]= ∞∫[A f1 (t) ± B f2 (t)]e−pt dt = A∞∫ f1 (t)e−pt dt ± B∞∫ f2 (t)e−pt dt =

Таким чином заміна змінної t на at в оригіналі функції відповідає заміні у зображенні функції р на ap і діленню зображення на число а.

5

Доведення. Згідно перетворення Лапласа і властивості функції S(t), маємо

L[f (t − a) S(t − a)]= ∞∫S(t − a) f (t − a)e−pt dt = ∞∫ f (t − a)e−pt dt =[зробивши заміну

6

Аналогічно запишемо вирази зображень решти функцій:

§ 4. Теорема зсуву (згасання).

Теорема. Якщо F(p) є зображенням функції f(t), то F(p+а) є зображенням функції е-аtf(t), тобто,

Доведення. Згідно означення перетворення Лапласа, тобто, візьмемо оператор Лапласа із заданої функції

L[e−at f (t)]=∞∫f (t) e−t(a+p)dt =F(p +a).