Частина 1

Приклад. Визначити ранг матриці.

Якщо за допомогою елементарних перетворень не вдається знайти матрицю, еквівалентну початковою, але меншого розміру, то знаходження рангу матриці слід починати з обчислення мінору найвищого можливого порядку. У вищенаведеному прикладі – це мінор порядка 3. Якщо хоч би один з них не рівний нулю, то ранг матриці рівний порядку цього мінору.

Теорема про базисний мінор.

Теорема. У довільній матриці А кожен стовпець (рядок) є лінійною комбінацією стовпців (рядків), в яких розташований базисний мінор.

Таким чином, ранг довільної матриці А рівний максимальному числу лінійно незалежних рядків (стовпців) в матриці.

Якщо А- квадратна матриця і detA = 0, то принаймні один із стовпців – лінійна комбінація решти стовпців. Те ж саме справедливо і для рядків. Дане твердження виходить з властивості лінійної залежності при визначнику рівному нулю.

Матричний метод вирішення систем лінійних рівнянь.

Матричний метод застосовний до вирішення систем рівнянь, де число рівнянь рівне числу невідомих.

Метод зручний для вирішення систем невисокого порядку.

Метод заснований на застосуванні властивостей множення матриць.

Хай дана система рівнянь:

11

Зробимо наступне перетворення: A-1AX = A-1B

оскільки А-1а = Е, то ЕХ = А-1в

Х = А-1в

Для застосування даного методу необхідно знаходити, що може бути пов'язане з обчислювальними труднощами при вирішенні систем високого порядку.

Приклад. Вирішити систему рівнянь:

5x − y − z = 0x + 2y +3z =14

4x +3y + 2z =16

Cделаем перевірку:

12

Разом вирішення системи: x =1; у = 2; z = 3.

Не дивлячись на обмеження можливості застосування даного методу і складність обчислень при великих значеннях коефіцієнтів, а також систем високого порядку, метод може бути легко реалізований на ЕОМ.

Метод Крамера.

(Габрієль Крамер (1704-1752) швейцарський математик)

Даний метод також застосовний тільки у разі систем лінійних рівнянь, де число змінних співпадає з числом рівнянь. Крім того, необхідно ввести обмеження на коефіцієнти системи. Необхідно, щоб всі рівняння були лінійно незалежні, тобто жодне рівняння не було б лінійною комбінацією останніх.

Для цього необхідно, щоб визначник матриці системи не дорівнював 0. det A ≠ 0;

Дійсно, якщо какоеабо рівняння системи є лінійна комбінація останніх, то якщо до елементів какойабо рядки додати елементи інший, помножені на какоеабо числі, за допомогою лінійних перетворень можна отримати нульовий рядок. Визначник в цьому випадку буде рівний нулю.

Теорема. (Правило Крамера):

Теорема. Система з n рівнянь з n невідомими

у випадку, якщо визначник матриці системи не рівний нулю, має єдине рішення і це рішення знаходиться по формулах:

xi = ∆i/, де

13

“Курс вищої математики. Частина 1.”

∆ = det A, а i – визначник матриці, що отримується з матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів bi.

∆i =

Приклад.

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

x1 = ∆1/detA; x2 = ∆2/detA; x3 = ∆3/detA;

Приклад. Знайти вирішення системи рівнянь:

x3 = ∆3/∆ = 3.

Як видно, результат співпадає з результатом, отриманим вище матричним методом.

Якщо система однорідна, тобто bi = 0, то при 0 система має єдине нульове вирішення x1 = x2 = . = xn = 0.

14

“Курс вищої математики. Частина 1.”

При ∆ = 0 система має нескінченну безліч рішень.

Для самостійного вирішення:

Вирішення довільних систем лінійних рівнянь.

Як було сказано вище, матричний метод і метод Крамера застосовні тільки до тих систем лінійних рівнянь, в яких число невідомих дорівнює числу рівнянь. Далі розглянемо довільні системи лінійних рівнянь.

Визначення. Система m рівнянь з n невідомими в загальному вигляді записується таким чином:

де aij – коефіцієнти, а bi – постійні. Вирішеннями системи є n чисел, які при підстановці в систему перетворюють кожне її рівняння на тотожність.

Визначення. Якщо система має хоч би одне рішення, то вона називається сумісною. Якщо система не має жодного рішення, то вона називається несумісною.

Визначення. Система називається визначеною, якщо вона має тільки одне рішення і невизначеною, якщо більш за одне.

Визначення. Для системи лінійних рівнянь вигляду (1) матриця

Визначення. Якщо b1, b2 .,bm = 0, то система називається однорідною. однорідна система завжди сумісна.

15

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Елементарні перетворення систем.

До елементарних перетворень відносяться:

1)Прибавление до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого, помножених на одне і те ж число, не рівне нулю.

2)Перестановка рівнянь місцями.

3)Удаление з системи рівнянь, що є тотожністю для всіх х.

Теорема Кронекера – Капеллі. (умова спільності системи)

(Леопольд Кронекер (1823-1891) німецький математик)

Теорема: Система сумісна (має хоч би одне рішення) тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи рівний рангу розширеної матриці.

RGA = RgA*.

Очевидно, що система (1) може бути записана у вигляді:

Доказ.

1)Якщо рішення існує, то стовпець вільних членів є лінійна комбінація стовпців матриці А, а значить додавання цього стовпця в матрицю, тобто перехід Аа* не змінюють рангу.

2)Якщо RGA = RgA*, то це означає, що вони мають один і той же базисний мінор. Стовпець вільних членів – лінійна комбінація стовпців базисного мінору, ті вірний запис, приведений вище.

Приклад. Визначити сумісність системи лінійних рівнянь:

x1 +3x2 +5x3 + 7x4 +9x5 =1x1 − 2x2 +3x3 − 4x4 +5x5 = 2

2x1 +11x2 +12x3 + 25x4 + 22x5 = 4

16

Система несумісна.

Приклад. Визначити сумісність системи лінійних рівнянь.

Метод Гауса.

(Карл Фрідріх Гаусс (1777-1855) німецький математик)

На відміну від матричного методу і, метод Гауса може бути застосований до систем лінійних рівнянь з довільним числом рівнянь і невідомих. Суть методу полягає в послідовному виключенні невідомих.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

Розділимо обидві частини 1–го рівняння на a11 ≠ 0, потім:

1)помножимо на а21 і віднімемо з другого рівняння

2)помножимо на а31 і віднімемо з третього рівняння

ітак далі

Отримаємо:

17

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Далі повторюємо ці ж дії для другого рівняння системи, потім – для третього і так далі

Приклад. Вирішити систему лінійних рівнянь методом Гауса.

2x1 + x2 − x3 = 5x1 − 2x2 +3x3 = −37x1 + x2 − x3 =10

Складемо розширену матрицю системи.

А* =

Таким чином, початкова система може бути представлена у вигляді:

x1 − 2x2 +3x3 = −3

5x2 −7x3 =11 звідки отримуємо: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

− x3 = −2

Приклад. Вирішити систему методом Гауса.

5x − y − z = 0x + 2y +3z =14

4x +3y + 2z =16

Складемо розширену матрицю системи.

Отримана відповідь співпадає з відповіддю, отриманою для даної системи методом Крамера і матричним методом.

Для самостійного вирішення:

18

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Елементи векторної алгебри.

Визначення. Вектором називається направлений відрізок (впорядкована пара крапок). До векторів відноситься також і нульовий вектор, почало і кінець якого співпадають.

Визначення. Довжиною (модулем) вектора називається відстань між початком і кінцем вектора.

АВ = а

Визначення. Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній або паралельних прямих. Нульовий вектор коллинеарен будь-якому вектору.

Визначення. Вектори називаються компланарними, якщо існує площина, якою вони паралельні.

Колінеарні вектори завжди компланарны, але не всі компланарні вектори коллинеарны.

Визначення. Вектори називаються рівними, якщо вони коллинеарны, однаково направлені і мають однакові модулі.

Всякі вектори можна привести до загального початку, тобто побудувати вектори, відповідно рівні даним і що мають загальний початок. З визначення рівності векторів виходить, що будь-який вектор має нескінченно багато векторів, рівних йому.

Визначення. Лінійними операціями над векторами називається складання і множення на число.

Сумою векторів є вектор -

Твір -, при цьому ar коллинеарен b .

Вектор ar сонаправлен з вектором ( ) a ↑↑, якщо α > 0.

Вектор ar протилежно направлений з вектором b ( a ↑↓b ), якщо α < 0.

3)ar ++ (0rb =+ arс ) = ( a + b )+ с

4)ar +(-1) ar = 0r

5)(α β) ar = α(βar) – асоціативність

6)(+) ar = αar + βar - дистрибутивність

7)α( ar + br ) = αar + αbr

8)1 ar = ar2) a

Визначення.

19

“Курс вищої математики. Частина 1.”

1)Базисом в просторі називається будь-хто 3 некомпланарних вектора, узятих в певному порядку.

2)Базисом на площині називається будь-хто 2 неколінеарні вектори, узяті в певному порядку.

3)Базисом на прямій називається будь-який ненульовий вектор.

Визначення. Якщо e1 , e2 , e3 - базис в просторі іa =αe1 + β e2 +γ e3 , то числа, β і γ - називаються компонентами або координатами вектора a в цьому базисі.