Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

íапруженостi поля

P пропорцiйний до âектора

E :

величину

P = αE ,

личинаормула Клаузiуса

n2

−

1

=

4π

α

Мосоттi.

Äëÿ àнiзотропного середовища ве

hd середн¹ значення дипоëüного моменту атома

äå

P = V

r це радiу -вектор електрона, заряд яêîãî e = −|e|,

d = −|e|r.

Якщо гамiльтонiан iзоль

атома дорiвню¹ ˆ

поля гамiльтонiан

Ha

,

ïðè

äå

ˆ

ˆ

ˆ

H = Ha + V ,

ˆ

e

532

V = −

mc

(Aˆp)

оператор вза¹

дi¨ атома з полем. Ми нехту¹мо в

àòîì.

пада¹ монохроматичне, як величиноюсвiтлочастотидругого по

рядкуНехмайлизни

2

операторi

вза¹модi¨ членом, пропорцiйним до A

отонiв,кажучи,им,iтобтотомумовавекторнийцьомуйдевипадкупротенцiалоперацi¨стан

знищенняполяатимеправо.змiП

çàäà

I àêøå

пню¹тьслероджвважлядатиення.¹мо

мозгкл сич

ою величиною. Чому i за яких умов ми ма¹мовваж

ð

A

-

анiчногоотонiв якпогляду,класичнуцеознача¹,величину?що Покажмима¹ìî, макросщо,векторомопiчневанто

числоîòîíiâìåõ

A

безмежностi,N частотою ω = ω

k

= kc, хвильовим

k,α

k поляризацi¹юу цьому α.анМожна: го орити про сво¹рiдну

онденсацiю

об'¹муознача¹,до що ¨хня густинаколи

величиною. Макроскопiчнiстьсталоюпричислапрямуваннiото-

Nk,α ¹ 1

Nk,α

V → ∞. операторiв пород-

женняУ цьомуiзнищеннявипадкудля

V

= const,

отонiвсереднiхма¹мо:значень добуткiв

ˆ

ˆ+

ˆ+

ˆ

або, враховуючи, щоhBk,αBk,αi − hBk,αBk,αi = 1,

ˆ+

ˆ

Nk,α = hBk,αBk,αi, отрима¹мо

ˆ

ˆ+

Nk,α

hBk,αBk,αi

=

1

+

V

V

i â ìåæi

V

V → ∞

ˆ

ˆ+

Nk,α

Це означа¹, що

hBk,αBk,αi

=

= const.

V

V

+

+

ìiæi,

hBk,αBk,αi = hBk,αBk,αi

Bˆk,α p

Bˆk+,α p

. Ìè äоходимо

Nk,α

Nk,α

, ùî ïðè533

A = s V ωk

ek,α nei

залежностiBˆk,α + e−

Bˆk,αo

(k, α)

когозапису¹мозображурахуванняменняоператорiвчасово¨

вiд гайзенбер iвсь-

2πc2~

kr

kr

+

e− Nk,αe

(δ äåÿê

початкова аза)

p

Bˆk,α

=

eiδ

e−iωt, Bˆk+,α =

iδ

iωt

p

як класичну величину:

A0

A

A =

e−iωt

+

0

eiωt,

2

2

хвилiМи розгляда¹моA0 =

2e

r

ek,αe .

V ω

Таким чином,õâèëi

Aвеличинуне

òüñÿ, ÿêùî r çìiíþ¹òüñя в межах атома.

δ

2πc2~Nk,α

kr

випадок дипольного наближення, коли довжина

зама.нестХвиль

n

àöiîíарного

äå

λ 1000 A,

kr

ka = 2πa/λ 1,

0

Нехай

A0

à¹ì

сталою.

(0)

(r, t) = e− ~

E

(0)t

ψ

(0)

(r)

¹ хвильовою ункцi¹юψ

n

n

n

ацiонарноюву ункцiютеорi¹юатома-гозбуреньствелектромагнiтному.Упершомустану iзольнаближеннiпîлiваногошука¹моато-

ψn(r, t)

=

ψ(0)(r, t) +

X

C

(1)

ψ(0)(r, t),

n

k(k6=n)

kn

k

(1)

1

Z V˜kn(t)dt =

1

Z

Vkn(t)eiωknt dt,

Ckn

=

i~

i~

534

ωkn

=

,

~

Будемо шукатиˆ

e

e

e

середн¹ значення дипольного моменту

атома для

Vkn(t) = hk|V

|ni =

−mc hk|Apˆ|ni = −mc Ahk|pˆ

|ni = −mc Apkn.

очевид о, що i

ëiíié

доданок за

(1)

äî A

2, òî

ÎñêiëüêèV

не беремо

до уваги член,

n-го квантового стану:

hd = dnn = hn|d|n = Z ψn(r, t)erψn(r, t) dr

i

(0)

(1)

iωnk t

(1)

iωknt

+ . . .

Тут крапк=àìèdnn

+ k(k=n) hCkn ernk e

+ Ckn

erkne

позначено дода

к, пропорцiйний доператоромквадрат

6

C(1).

X

ð ííÿ

працю¹моквадратичний íîму наближеннi за

çîâíiø

çáókn -

ˆ

ньому

пропорцiйний

, ÿê

Ckn

у виразi для hd

(0)

н¹ значенняудругогодипольногопорядкумоìализни,ентунезбуреногонадалi атомаврахову¹мо. Серед

величинтеорi¨ою еi дляектухвильШтарка,вих дорiвню¹ункцiйпевно¨левi,парностi,dяк ми¹сталоюбачи

nn

ми цiкавимосьполем.Такимлишечином,дипольним моме

(0)

-

том, iндукованимКрiм того,

íiì

dnn

= 0.

шогоде черезчленак.. .Далidnn

=

X hernk Ckn e

+ . .

,

(1) iωnk t

позначеназнаходимовеличина, комплекснос спряжена до пер-

k(k6=n)

äîðiâíþ¹

ií

òå

(позна

ëåì),

Ckn

= i~

Z e ωknt

02 kn

)

e−iωt

+

(A

02 kn

eiωt dt

(1)

1

e

(A p

p

1

e

(A0pkn)

eiωknt−iωt

A0pkn) eiωknt+iωt

+ 0.

внесокМи = ~

−mc

2

(ωkn

ω) +

2

i(ωkn + ω)

тутвiдопунижньо¨сталумежiñòèëè

рування

÷åíó

ó

тобто

t0

, уважаючи, що збуренíÿ ïðè

t

= t0

нулевi. Можна скористатись i так званою адiабатичною535

e2

X

rnk

(A p

)

1

dnn =

0 kn

e−iωt

mc~ k(k=n)

2

ωkn − ω

6

+

(A02 kn) eiωt ωkn1+ ω + ê.ñ.

p

Переоада¹мо,= ~mc k(k=n)

2

ωkn − ω

+

ωkn + ω

+ . . .

ïишемооляçàìiцейсть вираамплзiтудчерèåçâекторногоамплiтудупотенцiалунапруженостi електричс -

6

íàã

ùî

= −c −iω

A0. Для цього

Îòæå,

E = −c A˙

20 e−iωt

+ iω

20 eiωt .

1

1

A

A

E 0

E

де амплiтуда напруженостiE =

e−iωt

+

0

eiωt,

2

2

Êðiì òîãî,

E 0 =

iωA0

,

A0 = E 0

c

.

c

iω

pkn = mr˙ kn = imωknrkn

З уваги на це,

rkn = rnk .

e2

X

e−iωt ωkn

rnk

(E 0r )

(E 0rnk)

+ ê.ñ. .

536dnn =

kn

− rkn

~ k(k=n)

2

ω

ωkn − ω

ωkn + ω

6

µ

iωt

e2

X

ωkn

xnkµ xknν

xknµ xnkν

ν

dnn = Re e−

X

~

0 ,

причому iндекси

ν, µ = (x, y, z)

ωkn − ω −

Уведемо

ν

k(k=n) ω

ωkn + ω E

6

= Re (

βµν e−iωtE0ν ) .

βµν :

Отже, виходить, щоdnnµ

ν

X

ïîëяризоваíîñòi, βµν

e2

ωkn

xnkµ xknν

X

xknµ

xnkν

βµν =

−

~

k(k=n)

ω

ωkn − ω

ωkn + ω

6

N

напрямленiозглянемополяризованостiвздовжнайпростiшийголовнихсистемосейвипадок,тензораè:

ê

ê

ординатнi

îñi

а тензор

αµν

= V

βµν .

δµν :

X

e2

ωkn

1

1

àáî

βxx =

|xnk |2

− ωkn + ω ,

~ k(k=n) ω

ωkn − ω

6

Якщо в цьому виразiβxx = 2

e2

X

ωkn|xnk|2

.

~ k(k=n) ωkn2 − ω2

6

íà

x

çàìiíèòè íà

y

, отрима¹мо

осцилятора,замiна :

βyy

x

fkn =

|xkn|2.

537

~

e2

fkn

розгляд,iзотропноголяризованiрозрiдженñòîгоь ¹серескаляромдовища, з якого ми починали

нашДля

βxx = m k(k=n)

ωkn2 −

ω2 .

6

X

2

4πe2N

fkn

залЦей млення,виразповнiстюпричомуn =âiäïîâiäà¹1âå+ ичинукласичнié îðìó.лi для п казника

mV

k(k=n)

ωkn2 − ω2

6

X

частотою

fkn

цю. Квантова.Дослiдмехпоканiкзувадатним,да¹днак,простещопоцеясненнячисло

цьому¹ меншим.Величиниди

ωkn

вонивiдможутьузнакквантовiйчабутитотиякдорiвню¹перех

числами,крiм того,

fkn

àнiцi вжду не ¹акцiлимивiд'¹мнимичила-

èницi.Легк.Справдi,

ùî ¨õíÿ ñóìà

першим iндекñîì

ωkn

довести,

fkn =

2m

ωkn|xkn|2 =

m

(ωknxknxnk − ωnkxnkxkn)

k

~

k

~

k

X

X

X

1

1

òóò =

(xnk pkn − pnkxkn =

hn|xpˆ − pxˆ |ni = hn|n

= 1,

k

~

i~

X

(теоремаОтже,¹ -Ткми

айхлиеоператораакКуна):зване правиiмпуëьсуосумелектронадлясил.

pˆ

x омасаотримпонентою

осциляторiв

äiâà¹ìîñü,

X

kn

k

ïåðñi¨ ò âiä'¹ìíî¨

(fkn > 0) äèñ-

чатков10Спого стану значкомщо(÷èòf

ч<не0)буде, колиплутатитомнумерацiюзнаходитьсзаломленняхвильово¨в збудженомуункцi¨ по

kn

538

n iз позначенням показник

лiтерою n.

2

4πe2N

1

рiвноваж

номуКолистанiсистемапритемператуатомiвn = 1çíà+iходитьймовiрнñÿ òåðiстьмодинамiчно.

mV

ω02 − ω2

в початковому станi з енеð i¹þT , òî

перебування атома

ìàíà

En(0)

зада¹ться розподiлом Больц-

де статистична сума

ρn =

e−En(0) /T

,

Z

En(0)/T

539

прикладi до цього парагра а.

X

n

α тепер знаходимо:

N e2

X

X

fkn

.

заломленняЗвiдсиВокможналi.резонанснотриматиα = èõ òчастотρn

емпературну залежнiсть для показника

V m

n

k(k=n)

ωkn2

−

ω2

6

ми,Цевавши,

ω = ωkn

ацiонарнихââ атокзнаменникустмианмлiiâрозгрезонансн,узбудженихляда¹мо¹станiвлишееротримуанiквазiст¨атомнiч¹мовирази,стоти,анацiонарнинулiцiонарнiх,станимиурах.якПримубаяк-.

огопрацюють,зробитиго.нема¹дополяга¹щобувагистацiонарнихпрацюватизамiноючасоскiлькитому,життястщо

ùî

÷èимотацiонарнiмо,Длялегквзятицьсаме:не

ñ

~

(0)

E

(0)t

γn t

ψ

i

(E

(0)

−

i~γ

n

/2)t

ψ (r),

ò äëÿψспряжених(r, t) = e− ~

n

−

2

n

(r) = e− ~

n

n

óíêöié

n

íà

ψ(0) (r, t) = e

i

Ek(0)tψ (r)

~

k

k

äå

ψ(0) (r, t) = e

i

Ek(0)t−

γk

tψ (r) = e

i

(Ek(0)+i~γk

/2)tψ

(r),

~

2

~

k

k

k

ваностiзуль знах