Vakarchuk_I_O_Kvantova_mehanika_Pidruchnik_B

електронаˆ

pˆ

2

ç

+полемU . Òóò

магнiтногооперато а вза¹модi¨ Ha =

2m

пульсу електрон ,

pˆ оператор iм

мiною iмпульсу зар

жен ¨ частинкиϕ = 0 d v A = 0 çäiéñíþ¹òüñÿä

пульсучастинкичастинки.Вiдповiдно iíþ¹ìîöü ãî

квантовiй механiцi, деоператорзарiм

îìó

pˆ

муна полipˆ − e(дивA/c. такожгамiльтонiанŸ16) атома в

електромагнiтн

де оператор вза¹модi¨Hˆ ′ =

1

(pˆ

−

eA/c)2 + U = Hˆ

+ Vˆ ,

a

a

2m

ˆ

e

e2

2

З умови

ïîëÿ

+ pAˆ ) + 2mc2 A

.

поперечностiV = −

2mc

(Apˆ

Тому операторpAˆ =âçà¹ìîäi¨−i~ A +атомаApˆ =ç−полемi~ div A + Apˆ = Apˆ.

амiльтонаˆ

e

e2

2

атома й åëåктромагнiтного поля за-

пису¹моПовний операторувиглядi V = −mc Apˆ + 2mc2 A .

492буваються квантовi перех ди системиV ÿê збурення,атом плюспiд дi¹юполе якого. вiд-

ˆ

ˆ

ˆ

H = H0

+ V

äå

ˆ

ˆ

ˆ

.

Будемо розглядати операторH = H

ph

+ H

0

a

ис. 52. Квантовi пер ди дворiвнев му атомi.

Почнемо

ç

квантового

перех ду,

унаслiдок якого

óíêöié

ñòàí

. Отже, нехай атом зн х дитьс

â ñòàíi

. Ïî÷àò-

êîâèé ωk = kc

системи з гамiльтонiàíîì ˆ

|2i

хвильових

| i

атома

ïîëÿ

H0

опису¹мо добутком

à åíåð iÿ

|ii = |2i | . . . , Nk,α, . . .i,

Кiнцевий стан

E(0) = E2 + E...,N

k,α

,....

i

Ef(0) = E1

+ E...,N ′

,....

493

k,α

(0)

моперехЦе заIмовiрнiсть¹загальноюдiвакзванi¹процесквантовогодноEормулоюрозсiянняото= Eпереходуз+переходисвiтлаŸ56:E . за. одиницюПрикладом+ ~ω . часудворозрахову¹отонних-

f

1

...,Nk,α, ..

k

2π

2ç ó

(0)

(0)

Обчислю¹мовекторногоматричнийпотенцiаëóелементполяˆ

ахуванням запису оп рато-

ðà

w →f =

~ |hf |V |ii|

δ

Ef

−

Ei

.

знищення отонiв:

A ÷åðез оператори породжåííÿ i

ˆ

e

e2

2

hf |V |ii

= −

hf |Apˆ

|ii +

hf |A

|ii,

mc

2mc2

X

2π~c2

hf |Apˆ|ii

=

s

ωk

V

h1|eik′r(ek′,α′pˆ)|2i

операторiв

знищення,

×

h

|

ˆ

|

. . . , Nk,α, . . .

i

. . . , Nk,α + 1, . . . Bk′,α′

+ 1 e− k′r(ek′

,α′pˆ) 2

i

h

|

|

Згiдно з правилами

породженняˆ

i

ìà¹ìî:

×

+

äi¨h. . . , Nk,α + 1, . . . |Bk′,α′| . . . , Nk,α . . .ii .

h

|

ˆ

|

. . . , Nk,α, . . .

i

= 0,

. . . , Nk,α + 1, . . . Bk′,α′

Теперh. . . , Nk,α + 1, . . . |Bˆk+′,α′| . . . , Nk,α, . . .i = δkk′δαα′p

.

Nk,α + 1

hf |Apˆ|ii = p12s

π~c2

494

2

(Nk,α + 1),

V ωk

щоIз тихвнашомужеправилвипадкудi¨операторiвp äíî= 1 e−

ikr

(e pˆ) 2 .

12

h

отоннихпороджпåрехоннядiвзнищення виплива¹,

|

k,α

|

ÄëÿIçäâиразiвоотоннихдля переходiвhf |öÿA2величина|ii = 0. â äìiííà âiä íóëÿ.

f

i

твТепер,

(0)

(0)

= E1

− E2 + ~ωk.

Ef

− Ei

îчного перехознахозбираючидимоу за îтриманiдиницю виразичасу випромiнюваннямразом,для ймовiрносотонаi кваносòîà-

(+)

2π

e

2

2π~c2

2

кiнцевближеннiопису¹тьсПереходимоднохвÿ äîèëüотонрозовоюункцi¹юперехглядуних процесукцi¹юдiв.поглинанняТеперпочатковийсвiтла встантомуатож

ìà

wi→f

=

~

mc

V ωk (Nk,α

+ 1)|p12|

δ(E1

− E2

+ ~ωk ).

þ

уваги,

викладки, аналогiчнi

E1

âèùå,

да¹тьсплiту

é åíåð i¹þ

причомуãî | . . . Nk α, . . .

à åíåð

E...,Nk,α,...

стану атома

. Хвильова ункцiя

я хв льовою

|2i, åíåð iÿ E2. Кiнцевий

òàí ïîëÿ

÷èñëà îòîíiâ

. . .

N ′

, . . . åíåð

E

...,N ′

,

k

îñòi

...

|

,α

k,α

лишаютьсяотоназчастотоюбеззмiн. езухвильN ′ татом= Nkтакого1 перехдодунаведенихбузникненняN ′

k,α

α −

, à ðåøò

÷èñ

k′,α′

çà-

i беручиОпускаючидо промiжнiщоω ,

îâèì âåêò

ðîì k,

α.

k

iнтенсивностi

2

2

= |p12| ,

õ

=

h2|e

kr

(ek,αpˆ)|1i

h1|e−

kr

(ek,αpˆ)|2

2

линаннямдля ймовiротона

квантового пере-

запишемодудиницюостаточнийчасурезупогльтат

( )

2π e

2 2π~c2

2

глинанняПерш

−

~

нiжсвiтлрозраà, ðозгховляньмоувати рiвноважнийвипромiнюваннястсистеми атомi495по-

wi→f

=

~ mc

V ωk

Nk,α|p12

| δ(E2

− E1 −

ωk).

e−E1/T

e−E2/T

ñóìà

ñòàíiâ)

ρ2

=

,

де статистична ρ1

= (ñóìà

,

Z

Z

En/T

линаннямькостi перехотона)дiв повтудèннi бутиназадрiвними:(тобто

зУвипромiнюваннямрiвн важному станiпогкiZ =

e−

.

n

X

(+)

(

)

балансупереходiв. З урахуваннямтпризаiнi явнихчисел

Цеотонiв¹акдлязванаймовiрностейумовадетальвиразiв кваíтовихого

−

ρ2w

→f

= ρ1wi→f .

ðiвноважнi

àáî

ρ2(N k,α + 1) = ρ1N k,α

1 + 1/N k,α

= ρ1/ρ2,

E2−E1

Ураховуючи закон

збереженнясеред ер i¨

.

T

1 + 1/N k,α

=

e

~

номузнаходимостанi:явний вираз для

числа отонiв у, рiвноважостаточно-

íüîãî E2 − E1 = ωk

1

N k,α =

~ωk

/T

ормула Планка. Повна середняe åíåð− 1iÿ ïîëÿ

кууму

E áåç åíåð i¨ âà-

E0 äîðiâíþ¹

V

∞

4πk2~ω

496 E − E0

=

~ωk N k,α = 2

Z

k

dk

k

α

(2π)3

e~ωk /T

1

X X

0

−

а розрахована на=

îπ2c3

Z

e~ω/T

1 dω,

V ~

∞

ω3

äèíèöþ

îá'¹ìó

0

−

1900

де спектральна

−

∞

i¨= випромiнюванняu (T ) dω,

E

E0

Z0

густиíà åíåð

ω

V

тбувНi1900Це

uω (T ) =

~ω3

1

.

π2c3

~ω/T

ами,iецькогоприпу¹окутаенерстити,i ормула,навiвiзичногоiя щодного¨¨енерякуведеннятоквантiяариспершевипромòâà14пропорцiйнанаписав.грудняДлявипромiнювання¨¨доведенняМаксiíþ¹òüñ й Плачкуглистоти,éíøòвiнкаа¹тьсязасiдан19змушежовтняêâàíèéÿõ-

(çíà

e

−

поглина¹¹мо, о

k

α

айнiвськуε = ~ω.

Öþ çíàмениту ормулу Пла ка,

àê ñà

ÿê

iнтенсивностiбудьймовiрностi-хто .

квантових перехпiдсумуватичокдiвпоглинанотримазади

íицюя свiтлаТеперасу2,.зна¹обчислимоЯкщотеперзнайденi

E = mc

увазi граничнийвiд пiдсумовперехiдóâàííÿ

k до iнте рування, маючи на

âñiìà

w ±

)

помножити на квант енер i¨ ~

ωk

çà

хвильовими векторами

→f

-

÷евид о,чоккiлькiсть) атоменерза

i¨,диницющополяризацiямивипромiню¹часу: (зна,

ìè + ) àáî

Перейдемо

X X

(±)çà~

dE

=

dt .

w →f

ωk

k

α

V → ∞:

X

dE

V

( )

~

системиПереходимокрдивiíàò:òå ðàëi

за хвильовими

±

Z dk α

векторами до с ерично¨

dt

=

(2π)3

wi→f

ωk .

32 I. О. Вакарчук

dE

X

V

∞

2

(±)

~

497

Z dΩ (2π)3

Z0

dt

=

α

dk k

wi→f

ωk,

÷àñó

α, що випромiню¹ (поглина¹) атом за одиницю

t диницю тiлесного кута Ω:

(

±

)

V

∞

2

(

±

)

~

âèïðомiнювання

Отже, iнтенсивнiсть

Z0

dk k wi→f ωk.

Ik,α =

(2π)3

(+)

V

∞

2π

e

2

2π~c2

Ik,α

=

Z0

dk k2~ωk

(2π)3

~

mc

V ωk

Ç âä êè

× (Nk,α + 1)|p12|2δ(E1 − E2 + ~ωk).

причиною спонтанних квантових перехоптичдiв. Число

Nk,α

ñëiäîê

-,

спектральнiпоглинаенераториотонiв,глинаютьпоглядраунгоiнтенунаняiз.-

çâàíiню¹омiнювання,

перший

ëНасправдi,iнад,

квантовi. икНатакСонцяхi¨.вип

випром

ëüíéåðèiñó

åíåð

íöÿñ, íàï

ìî¨

ëiíi¨ò÷èâîíàзаситут¹юердякивипрностiПовернiмосьвiпоглинаннязабжжемiжлсамоякомувипромiнюютьвипромiнюваннянi¨роня¹1. вання:Здавалосьймовiрiснувапрацюютьдоатомiвумовиаджеiстюби,атомнихотонидетальнатмлазеризумовлю¹.атомисзгляньто¨перiîãспектратмлина¹осiндукованеСбала

атомних вз ¹модiй, виник ¹ перерозподiл

ùî

випромiнюються, по всьому спектру. У цьому й

поляга¹ суть ме

ханiзму утворення аунго ерових лiнiй

2

.

Ÿ 62. Електричне

д польне випромiнювання.

зглянемо

отриманi

âèð çè äëÿ

Прав ла вiдбору

âèïðîмiнюваннядокладнiшет поглинання свiтла. Для цього iнтенсивностейдостат ь -

вираз для iнтенсивностi спонт нного

аналiзуватисп , якому зосередимо

увагу

íà матричному елементiвипромiнювання

Ik,α

p12

. Íàñ

цiкавит ме передусiм дiлянк довжин хвиль

виразлю¹ й

що цьомуункцi¨,яквипадкухоп-

длядиму частинуспектра. Виявля¹ться,λ &

1000 A

p12

äè ðàêöiéíi

íà

яких обчислюютьсзначноякмат ичнiощу¹тьселементи.Дiйсно, хвильовi

вiддалях порядку розмiрiв

p12

íóëÿ

атомалим:помiтно вiдмiннi вiд

експо енти

a 1 A. Тому показник

e− kr,

а входить у p12,

2π

3

когоспектрiздобувшиа21

kr ka = λ a 10−

.

-

чавМеханiзмЙозенаенняунiверситетука.вiдомийосвiтуедрiФра укра¨,нгоеоретично¨.вивчаверняськийратки,(1787спектрираунгастроiзики1826)поясниплатаiзикеровихíåòâ наявнiстьАстрономiчнiйБ.мецькийТСолiнiй. Бабiйця, темнихупершеа(1936iз¨хнюобсерваторi¨к,1993),лiнiйзастосувавякий,тонкякийсамостiйносонячномуструктурЛьвiвсьпрацюдля¨х

499

Отже, ми ма¹мо змогу розкласти експоненту в ряд:

λрозкладу:ментУ1точно,цьомуA à kríåïà 1

õiäíî

випромiнюван

У результатi

e−ikr = 1

−

· · ·

.

p12

= h1|(ek,αpˆ)|2 − ih1|(kr)(ek,αpˆ)|2 + · · · .

Зрозумiло, що у випадку рент енiвського

я,данколи

iç

óватилишеядцей.першимматричдоíий елеом-

ðаграозкладаючи, необi ми обмежимосьекспонентрозрах

намПроведеормул:ряд простихp12 = h1|ek,αpˆ

|2 .

перетворень

використанням вiдомих

p12

= h1|ek,αpˆ|2i = ek,αh1|pˆ|2i,

ˆ

ˆ

Скориста¹мось1 pˆòèì,2

=ùî 1 mˆr˙

2 =

1 m

rHa − Har

2 .

h | | i

h |

| i

h |

i~

| i

à

ˆ

,

h1|rHa|2i = h1|r|2iE2

ˆ

X

X

ˆ

|nihn|r|2i =

Enh1|nihn|r|2i

h1|Har|2i =

h1|Ha

n